1、湖南省长沙市 2017 届高三 12 月联考数学（理科）全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合 |Ax2， 1|04xB，则 AB（ ）A B ,)C 2,)D (4,)（2）已知复数 z满足 1i，则 |z（ ）A B 2C D 2（3）已知数列 na的前 项和 nSAq(0)，则“ AB”是“数列 na是等比数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分且不必要条件（4）在矩形 BD中， 2A，在 C上任取一点 P， AB的最大边是 AB的
2、概率是（ ）A 2B 32C 1D 1（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）3 33正视图 侧视图俯视图A BCD PA 27B C 273D（6）若变量 ,xy满足约束条件40yx，则 2zxy的最小值是_ _A 4B 6C 8D 12（7）已知 12,F是双曲线2:1xyEab的左，右焦点，过点 1F且与 x垂直的直线与双曲线左支交于点,MN，已知 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A B C 12D 2（8） BC是边长为 的等边三角形，向量 a， b满足 ABa， Cb，则向量 a， b的夹角为（ ）A 30B 60C 120D 150（9）执行如图
3、所示程序框图，若输出的 S值为 ，则条 件框内应填写（ ）A 3?iB 4C iD 5?（10）等差数列 na的前 和为 nS，且 1a 0，若存在自 然 数 m3，使得 m，则当 时， n与 的大小 关系是（ ）A nS aB ,iS1i2iS输出 S开始结束是否C nS aD大小不能确定（11）已知函数 ()sin)fx（ 0， |2）的部分图象如图，则2016(nf（ ）A 1BC 2D 1（12）已知函数 2()(0)xfe与2lngxa的图象上存在关于 y轴对称的点，则 a的取值范围是（ ）A 1,eB ,eC 1,eD 1,e第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）（21
4、）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22） 、 （23）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（13）已知直线 :30lmxy与圆 2(1)xy相交，弦长为 2，则 m_（14）在 5(21)的展开式中含 3项的系数是_（用数字作答） （15）有共同底边的等边三角形 ABC和 D所在平面互相垂直，则异面直线 AB和 CD所成角的余弦值为_（16）有一支队伍长 L米，以一定的速度匀速前进排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了 L米，则传令兵所走的路程为_三、解答题：本大题共
5、6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤65121（17） （本小题满分 12 分）已知 ,abc分别为 ABC三个内角 ,的对边，且 cos3in0aCbc（I）求 ；（II）若 D为 边上的中线， 1cos7， 29AD，求 AB的面积（18） （本小题满分 12 分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的 A 县推进光伏发电项目在该县山区居民中随机抽取 50 户，统计其年用电量得到以下统计表以样本的频率作为概率用电量（度） (0,2(0,4(0,6(0,8(0,1户数 511155（I）在该县山区居民中随机抽取
6、户，记其中年用电量不超过 6度的户数为 X，求 的数学期望；（II）已知该县某山区自然村有居民 300 户若计划在该村安装总装机容量为 300 千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以 0.8元/度进行收购经测算以每千瓦装机容量年平均发电 1000 度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？ AB CD（19） （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中 PABCD， 平面 ABCD， /， ACD，且 2，42BC， （I）求证： ；（II）在线段 P上，是否存在一点 M，使得二面角 A的大小为 45，如果存在，求BM与平面 A
7、所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由（20） （本小题满分 12 分）如图，设点 ,AB的坐标分别为 (3,0)， (,)，直线 AP， B相交于点 P，且它们的斜率之积为 23（I）求点 P的轨迹方程；（II）设点 的轨迹为 C，点 M、 N是轨迹为 C上不同于 ,AB的两点，且满足 /APOM，PB CDMA/BPON，求证： M的面积为定值（21） （本小题满分 12 分） ，函数 31()|fxa（ xR， a） （I）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围；（II）若函数 ()fx在 上不单调时：（i）记 在 1,上的最大值、最小值分别为 ()Ma、 m，求 ()a； （ii）设
8、 bR，若 2|()|3fxb对 1,x恒成立，求 b的取值范围请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分（22） （本小题满分 10 分） （选修 4-4：坐标系与参数方程）BAPO xy在直角坐标系 xoy中，设倾斜角为 的直线 l的参数方程为 3cosinxty（ t为参数）与曲线1:cstanxCy（ 为参数）相交于不同的两点 A、 B（I）若 3，求线段 AB的中点的直角坐标；（II）若直线 l的斜率为 2，且过已知点 (3,0)P，求 |APB的值（23） （本小题满分 10 分） （选修 4-5：不等式选讲）已知函数 ()|3|fxax（
9、 a） （I）若不等式 4的解集为 1|2或 9x，求 a的值（II）若对 xR， ()|fx，求实数 的取值范围数学（理科）参考答案1命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算答案：D2命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算答案：A 1()iizi ，故选 A3命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件答案：B若 0B，则 nS，故数列 na不是等比数列；若数列 na是等比数列，则1aAq， 2aqA， 32qA，由 321，得 AB选 B4命题依据：几何概型答案：D分别以 、 B为圆心， 为半径作弧， 交 CD于 1P、2P，则当 在线段
10、12P间运动时，能使得 ABP的 最大边是 AB，易得 13C，即 A的最大边是 的概 率是 35命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球 的表面积计算答案：B由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为32，从而计算得表面积为 234()7故选 B6命题依据：线性规划的应用答案：B作出可行域为开放区域， zxy在直线 40xy与直线 0xy的交点 (2,)处取得最小值 故选 B7命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解答案：C由已知2bca，即 220ac，得 210e，解得 12e，故选 C8命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算
11、答案：C易得 1209命题依据：算法，程序框图答案：D10命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性答案：C若 1a 0，存在自然数 m 3，使得 maS，则 0d因为若 d 0，则数列是递减数列，则 mS，不会有 S由于 1 0， ，当 3，有 maS，则 m，而 1nna ，显然 n故选 CA BD P CP1P211命题依据： ()sin()fxAx的图象与性质答案：B易得 2，由五点法作图可知 26，得 6即 ()si)6fx故 1， 1(2f， 31()2f， 4()1f， 51()2f， 1()62f，2016()30nf故选 B12命题依据：函数的零点、方程的根的关系答案：B由题
12、意得即方程 221lnxexa有正根，即 1ln2xea有正根，作函数 xy与 lyx的图象，则可知 0时， 1l2故 ae故选 B13命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系答案： 3m由已知可得圆心 (1,0)到直线的距离为 2|3|1md，所以 2|3|()1，解得 314命题依据：二项式定理的应用答案： 2355(1)()10C15命题依据：线线角，面面垂直答案： 416命题依据：数学应用，数学建模答案： (12)L思路一：设传令兵的速度为 v，队伍行进速度为 v，则传令兵从队尾到排头的时间为 Lv，从排头到队尾的时间为 ，往返共用时间为 Lt，则传令兵往返路程 St由于传令兵
13、回到排尾后，整个队伍正好前进了 米，则 t故2()tvL，可得 22()tvOxy ln()a12xye即 22()()0vtLt，解得 (12)vtL，传令兵所走的路程为 (12)L思路二：设传令兵的速度为 ，队伍行进速度为 v，则传令兵从队尾到排头的时间为 v，从排头到队尾的时间为 v，则易得Lv，化简得 2v，得 21v，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为 ()L17命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理【分析】 （I）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出 B值（II）先根据两角和差的正弦公式求出 sinC，再根据正弦定理得到边长 ,abc的比值关系
14、，再在ABD或 C利用余弦定理可求 ,bc的值，再由三角形面积公式可求结果【解答】 （I）因为 cos3i0a ，由正弦定理得：sinco3insnABC，即si()iC，3 分化简得： ico1，所以 1s02A5 分在 AB中， 08，所以 3，得 66 分（II）在 C中， 1cos7B，得 4sin77 分则 335sini()21A 8 分由正弦定理得 sin75acC9 分设 7x， ，在 BD中，由余弦定理得：22cosADBA，则19115495742xx，解得 1x，即 7,ac，11 分故 sin1032ABCS12 分18命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思
15、想的应用数学抽象与应用意识解：（I）记在该县山区居民中随机抽取 1户，其年用电量不超过 60度为事件 A由抽样可知， 3()5PA3 分由已知可得从该县山区居民中随机抽取 0户，记其中年用电量不超过 度的户数为 X服从二项分布，即 (10,)XB，故 3()165EX6 分（II）设该县山区居民户年均用电量为 ()EY，由抽样可得5015()379050EY（度）10 分则该自然村年均用电约 1度又该村所装发电机组年预计发电量为 3度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约 1度，能为该村创造直接收益 2元12 分19命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用【分析】
16、 （I）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明；（II）假设存在点 M，利用二面角 ACD的大小为 45确定点 M的位置，再利用平面 MAC的法向量求线面角【解答】 （I）如图，由已知得四边形 B是直角梯形，由已知 2ADC， 42，可得 B是等腰直角三角形，即 AC，又 P平面 ，则 P，所以 平面 ，所以 4 分（II）存在法一：（猜证法）观察图形特点，点 M可能是线段 D的中点下面证明当 M是线段 PD的中点时，二面角ACD的大小为 45 5 分 过点 作 N于 ，则 /NPA，则 平面 ABC过点 作 G于 ，连接 G，则 是二面角 的平面角因为 是线段 P的中
17、点，则 1， 2AN，在四边形 ABC求得 ，则 45MG8 分在三棱锥 M中，可得 13ABCABVSN，设点 B到平面 AC的距离是 h， BMAAh，则 ABCMACSN，解得 210 分在 Rt中，可得 7PB CDMNGAzxyA DB C设 BM与平面 AC所成的角为 ，则 26sin9hBM12 分法二：（作图法）过点 作 ND于 ，则 /NPA，则 平面 ACD过点 作 G于 ，连接 G，则 是二面角 的平面角若 45，则 ，又 2N，易求得 1即 M是线段 P的中点8 分（以下同解法一）法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系则 (0,)A， (2,0)C， (,20)
18、D， (,2)P，(2,0)B， (,2)PD 设 Mt（ 1t） ，则 M的坐标为 (,)t6 分设 (,)nxyz是平面 AC的一个法向量，则0AC，得 20()xyttz，则可取 2(1,)tn8 分又 (,1)m是平面 D的一个法向量，所以 2|1|cos, cos45()tnt解得 12t即点 M是线段 PD的中点10 分此时平面 AC的一个法向量可取 (1,2)n， (2,31)BMB与平面 所成的角为 ，则 6si|co,|9n12 分20命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。【分析】 （I）由题意易得；（II）此题本质利用对于椭圆上一点有2APBbk
19、a这一结论，得到2OMNbka，再利用直线 MN与椭圆的位置关系，建立 MON的表达，虽然直线 N的位置不确定，由于2Ok，则其斜率与在 y轴上的截距必定满足方程关系，代入 O的面积表达式则可求得 的面积【解答】 （I）由已知设点 的坐标为 (,)xy，由题意知2(3)3APBykxx，化简得 的轨迹方程为 1y5 分（II）由题意 M、 N是椭圆 C上非顶点的两点，且 /APOM， /BN，则直线 AP， B斜率必存在且不为 0又由已知 23APBk因为 /O， /，所以 23OMNk6 分设直线 N的方程为 xmyt，代入椭圆方程 1xy，得22(3)460yt， 7 分设 M、 的坐标分
20、别为 1(,)， 2(,)xy，则 1、 2是方程的两根，则 122t， 3ty8 分又21122 6()3OMN tkxmtytm ，9 分所以2633t，得 10 分又212|487| 3MONttSty 所以 26|4t，即 MON的面积为定值 6212 分21命题依据：导数的应用，三次函数的图象与性质，不等式的应用，分类讨论的数学思想【分析】【解答】由已知得331,()1()|,xaxfxa， 1 分令 3()g，则 2()10gx，所以 ()gx在 ,)a上必为增函数；2 分令 31()hxa，则 2()h令 0，得 ，所以 x在 (,1)和 (,)上是增函数，在 (1,)上为减函数
21、3分（I）因为 ()fx在 R上是增函数，所以 ()h在 ,)a为增函数，所以 a4 分（II）因为函数 在 上不单调，所以 1 （i） 1 当 1a时， ()fx在 ,1)上是增函数，在 (1,)a上是减函数，在 (,)a上是增函数，所以3()mh， 24()ma(),x,3Mhg5 分当 423a，即 1时， 43a，31()(4)Ma；6 分当 ，即 时， 2()，3()(2)am；7 分2当 1时， )fx在 1,上是减函数，所以 ()3ha， 2()3Mha故 4Mm 综上得311(4),()3()2,4,(1)3aaaa 8 分（ii） 22()3bfxb对 ,x恒成立，即 (fx
22、在 1,上的值域是 2,3b的子集当 13a时，342ab，即32a所以32b令32()a，易得 ()a在 1,3上是增函数，则 182()3ab，所以 8,1b10 分当 13a时，32b，即32a，所以32ab令32()，易得 ()a在 1,3上是增函数，则 (1)2ab，所以 ,)ab11 分当 1时，23ba，即 a，即 b所以 2b，所以 2,)b综上得 ,)3a12 分22命题依据：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】 （I）将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程，利用 12t的几何意义求解；（II）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，化为：，利用根与系数的关
23、系即可得出【解答】解：（I）由曲线1:costanxy（ 为参数） ，可得 的普通方程是 21xy2 分当 3时，直线 l的参数方程为132xty（ 为参数） ，代入曲线 C的普通方程，得 2610t，3 分得 126t，则线段 AB的中点对应的 2t，故线段 的中点的直角坐标为 9(,)2 5 分（II）将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程，化简得22(cosin)6cos80tt，7 分则21222(1tan)| |inPABt ，9 分由已知得 tan2，故 40|3PAB10 分23命题依据：绝对值不等式的解法【分析】 （I）通过讨论 x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出
24、 a的值即可；（II）问题转化为：通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集，从而确定出 a 的范围即可【解答】解：（I） 2a；法一：由已知得3,(),af xx，2 分当 xa，即 34，得 1；3 分当 3，即 72a，4 分 由已知 ()fx的解集为 |2x或 9，则显然 2a5 分法二：由已知易得 ()|3|fa的图象关于直线 3x对称，3 分又 ()4fx的解集为 1|x或 ，则 12，即 5 分（II）法一：不等式 ()|f恒成立，即 |1xa恒成立6 分当 xa时，即 350xa恒成立，得 350，解得 52；7 分当 ，即 恒成立，得 a，解得 a；8 分当 ，即 7恒成立，得 97，解得 9 分综上得 210 分法二：不等式 ()|3|1fx恒成立，即 |3|1xx恒成立，由图象可知 |a在 3处取得最小值 a，8 分而 |3|1x在 处取得最大值 ，故 1a，得 210 分
