1、2017 届湖南省长沙市长郡中学高三入学考试数学（文）试题 文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 ，集合 ，则 （ ）|1Ux|2AxUCAA B C D|12|x|2x2.设 是虚数单位，则复数 （ ）i 25()iiA B C D31i3.已知 ， ，则 （ ）(cos,in)6a(cos,in)6b|abA1 B C D23024.分别在区间 和 内任取一个实数，依次记为 和 ，则 的概率为（ ）,61,4mnA B C D71055.在如图所示的算法流程图中，输出 的
2、值为（ ）SA11 B12 C13 D156.将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象可能为（ ）cos(3)yx187.某棱锥的三视图（单位： ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）cmA B C D310cm32030340cm8.已知点 和 在直线 的同侧，则直线 倾斜角的取值范围是（ (1,2)3(,0):10laxy()al）A B C D(,)43(,),)3435(,)4623(,)49.若不等式组 表示的区域 ，不等式 表示的区域为 ，向 区域均匀随102xy21()xy机撒 360 颗芝麻，则落在区域 中芝麻约为（ ）A114 B10 C150 D5010.已知双曲线 的右
3、焦点 也是抛物线 的焦点， 与21:(0,)xyabF2:(0)Cypx1C的一个交点为 ，若 轴，则双曲线 的离心率为（ ）2PF1CA B C D121311.已知函数 且 ，则 （ ）2()()nf为 奇 数为 偶 数 ()1)naf12350aaA50 B60 C70 D8012.若函数 的导函数在区间 上有零点，则 在下列区间上单调递增的是（ ()()bfxR(,2)()fx）A B C D(,1(,0)(,1)(,)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 ， 为 的导函数， ，则 .()ln1,(0)fxaxaR()fxf(1)
4、2fa14.若 满足约束条件 ，则 的最大值为 .,y2yx3zy15.抛物线 的焦点为 ，其准线与双曲线 相交于 两点，若 为等边2(0)xpF21x,ABF三角形，则 .16.若定义在区间 上的函数 满足：对 ，使得 恒成立，则称函数D()yfx,DMR|()|fxM在区间 上有界，则下列函数中有界的是 .()yfx ； ； ； ； ，其中sin1yxtanyxxey321(4)yxabx.,abR三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）已知函数 在 处取最小值.2()sincosin(0)fxxxx（1
5、）求 的值；（2）在 中， 分别为内角 的对边，已知 ，求角 .ABC,abc,ABC31,2,()abfAC18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， .PDP/DAB2CPB1D（1）求点 到平面 的距离；B（2）点 为线段 上一点（含端点） ，设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.MAMsin19. （本小题满分 12 分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了 名学生作为样本，得到这 名MM学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中 的值和频率分布直方图中 的值，并根据频率分布直方图
6、估计该校高一学生寒假参加社,npa区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在 和 的人中共抽取 6 人，再从这 6 人中选 210,5)2,30)人，求 2 人服务次数都在 的概率.10,5)20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 上的左、右顶点分别为 ， 为左焦点，且 ，又椭圆:C2()xyab,AB1F1|2AF过点 .(0,3)（1）求椭圆 的方程；（2）点 和 分别在椭圆 和圆 上（点 除外） ，设直线 的斜率分别为 ，PQC216xy,AB,PBQ12,k若 ，证明： 三点共线.1234k,A21. （本小题满分 12 分）已知函数 .()lnfx（1）求函数
7、的单调区间和最小值；y（2）若函数 在 上的最小值为 ，求 的值；()faFx1,e32a（3）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值.kZ)0fkx1xk请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，圆周角 的平分线与圆交于点 ，过点 的切线与弦 的延长线交于点 ， 交 于BACDACEADBC点 .F（1）求证： ；/BCDE（2）若 四点共圆，且 ，求 .,FACBA23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （ 为参数） ，曲线 （ 为参数）.12:3xtly1c
8、os:inxCy（1）设 与 相交于 两点，求 ；l1C,AB|（2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，设点1 12322C是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值.P2 l24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .()|fxa（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；6f|64xa（2）在（1）的条件下，若不等式 的解集非空，求实数 的取值范围.2()1)5fkxk参考答案一、选择题ABCAB ABDAA AD二、填空题13. 2 14. 4 15. 16.23三、解答题17.（1） 1cos()sinsinfxxx
9、sincoixs()x（2）因为 ，所以 ，因为角 为 的内角，所以 .3()2fA3cos2AABC6A又因为 ，所以由正弦定理，得 ，1,absiniab也就是 ，sin1i2B因为 ，所以 或 .ba43当 时， ；47612C当 时， .3B18 （1）过点 作 ，由平面 平面 可知， 即点 到面 的距离，在正FPDCPBFBDCP中， ，即点 到平面 的距离为 .PCB3（2） ，所以点 到平面 的距离即点 到平面 的距离，/DAM而 ，,2M所以 .63sin,4BFP19 （1）因 ，所以 ，所以 ，20.58050.628n，3.56.74p.8na中位数位于区间 ，设中位数为
10、 ，1,20)(15)x则 ，所以 ，所以学生参加社区服务区次数的中位数为 17 次.0.25.xx（2）由题意知样本服务次数在 有 20 人，样本服务次数在 有 4 人，,)25,30)如果用分层抽样的方法从样本服务次数在 和 的人中共抽取 6 人，则抽取的服务次数在10,5),)和 的人数分别为： 和 .10,5),30)2641记服务次数在 为 ，在 的为 .10,5)12345,a2,30)b从已抽取的 6 人任选两人的所有可能为：1213415232425234(,),(,),(,),(,),(,),abaaa共 15 种，355ba设“2 人服务次数都在 ”为事件 ，则事件 包括0
11、,)A11341523242534(,),(,),(,),aaa3545(,),a共 10 种，所有 .02()5PA20 （1）由已知可得 ，又 ，解得 ，,23acb221ac4a故所求椭圆 的方程为 .C216xy（2）由（1）知， ，设 ，(4,0)(,AB12(,)(,)PxyQ所以 ，因为 在椭圆 上，2116PAyykx1,C所以 ，即 ，所以 .216y221134x211346PAxk又因为 ，所以 .（ ）1234k2PAka由已知点 在圆 上， 为圆的直径，(,)Qxy16yB所以 ，所以 （ ）AB2QAkb由（ ） （ ）可得 ，因为直线 有共同点 ，abP,PAQ所
12、以 三点共线.,21.（1）因为 ，令 ，即 ，所以 ，()ln1(0)fxx()0fx1lnlxexe同理，令 ，可得 ，所以 的单调递增区间为 ，单调减区间为 .0,e,)1(0,（2） ， ，()laFx 2()aFx当 时， ， 在 上单调递增， ，所以1,min3()(1)2Fxa，舍去.30,)2a当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，(Fx0,)a(,)a若 ， 在 上单调递增， ，所以 ，舍去，(1,)1emin312Fx30,)2a若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以ae()x, ,e，解得 .min3()l2Fxaa若 ， 在 上单调递减， ，所以 ，,e()F
13、x1,emin3()()12aFxe(,)2e舍去，综上所述， .a（3）由题意得： 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立.(1)lnkxx1ln1xk1x令 ，则 ，令 ，则 ，ln()hx 2()h()l2()x()0x所以函数 在 上单调递增，(1,)因为方程 在 上存在唯一的实根 ，且 ，当 时， ，即)0x0x(3,4)01x()x，(h当 时， ，即 .0x()x()hx所以函数 在 上递减，在 上单调递增.01,0,)所以 0min0 00(ln(12() (3,4)xxhx x所以 ，又因为 ，故整数 的最大值为 3.inkg(3,4)k22.（1） 的平分线与圆交于点BACD
14、， ，EDAB ， ， ，ECB ./（2）因此 四点共圆，所以 ，,CFFD由（1）知， ，AD所以 .设 ，DACBx因为 ，所以 ，2ACx所以 ，3F在等腰三角形 中， ，7FAFx则 ，所以 .7x27Bx23.（1）直线 的普通方程为 ， 的普通方程为 ，联立方程组l3(1)yxC21xy23(1)yx解得 与 的交点为 ，则 .l1C(,0),)2AB|AB（2）曲线 为 （ 为参数） ，故点 的坐标是 ，从而点 到直线 的距2cos3inxyP13(cos,in)2Pl离是 ，由此当 时， 取得最小|cosi|322sin()244dsin()14d值，且最小值为 .6(1)424.（1） ， ，|2|xa262axa 33， .62（2）由（1）知， ，2|2|1()xkx
