1、2017 届湖南省常德市第一中学高三第七次月考数学（文） （B）卷试题一、选择题1 已知 是虚数单位，则复数 的虚部是（ ）i 32iA. B. C. D. 3【答案】D【解析】试题分析： ，所以其虚部为 ，选2332iiii3D【考点】复数的运算2 已知条件 ；条件 .若 是 的必要:30pxm2:340qxpq不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. ,71,71,7,17,1【答案】B【解析】由题设可得 或 ，所以由题意 或 :4,:3qxpmx34m，即 或 ，也即 ，应选答案 B。1m71,71,3 已知向量 ， ，且 ，则 等于（ ,axy2b,ab2ab）A.
2、 1 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】因为 ，所以 ，由题设,1,2axyb1,2abxy，即 ，所以 ，则123xy,4,3，应选答案 D。2245ab4 已知等差数列 中， 为其前 项和， （其中 为圆周率） ，nanS4S，现从此数列的前 30 项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负2数的概率为（ ）A. B. C. D. 1430516307【答案】A【解析】由题设 ，则 ，所以 或1114302dada1n05n时，都有 ，即 ，由几何概型的计152ncos0n3,54D算公式可得：余弦值为负数的概率是 ，应选答案 A。4701dP点睛：本题将数列的知识与几何概型的
3、计算整合在一起，不仅具有创新意识与意义，而且有效地考查了综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力，以及迁移新概念中的新信息和创新思维的能力。5宋元时期数学名著算学启蒙 中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、 分别为 、 ，则输出的 （ ）ab2nA. B. C. D. 2345【答案】C【解析】第一次循环： ；第二次循环： 1,42nab 452,8nab；第三次循环： ；第四次循环： 35,168；结束循环输出 ，选 C.405,32,16nabn点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先
4、明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6 若 为不等式组 ，表示的平面区域，则当 从-2 连续变化到 1 时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域 A，当 从 连续变化到 时，动直线扫过 中的那部分区域为下图中的四边形 ，所以其面积为，故选 D.【考点】线性规划.7 设双曲线 的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，线段 与双曲线的一条渐近线交于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A.
5、6 B. 4 C. 3 D. 2【答案】D【解析】试题分析：设点 ， ，由 ，得 ，即，所以点 因为点 在渐近线 上，则 ，即 ，选 D【考点】1、向量的运算；2、离心率的求法8如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（ ）A B C D 143443【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是四棱锥，其中 平面 ，底面SABCD是边长为 3 的正方形， ，则 ，ABCD4SA52ABSDB，1532,621 SCSA，所以 ， ；设92ABCD931ABCDSV棱 锥 36926表内切球的半径为 ，则球心到各面的距离为 ，则 ，即 ，RR四 棱 锥表 V31R解得 ，即内切
6、球的表面积为 ；故选 C14【考点】1.三视图；2.球和多面体的组合9 若 满足 ，则 关于 的函数图象大致是（ ）,xy1ln0yxA. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，即 ，则 ，故可排除答案1ln0lxyxxye0yC，D；又 ，即 ，故排除答案 A，所以应选答案 B。xe110 已知三棱锥 ， 两两垂直且长度均为 6，长为 2 的线ABCO,ABC段 的一个端点 在棱 上运动，另一个端点 在 内运动（含边界）MNNCO，则 的中点 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）PA. B. 或 C. D. 或6363663【答案】D【解析】如图，建立如图所示空间直角坐标系，设
7、 ， ,0,Mabc是 的中点，则 ，由于 ，,PxyzMN2,2axbycz22Na即 ，所以 ，所以 的中点 应224xyz221xyzMN,Pxyz在以 为球心，半径为 1 的球面上，则该点的轨迹是以 为球心的球面。该点的轨迹OO与三棱锥围成的几何体的体积是球体的 或是该三棱锥的体积去掉 球体的体积而剩818余的部分的体积。由于球体的体积 ，三棱锥的体积是43V，该点的轨迹与三棱锥围成的几何体的体积是 ，16332V 6V或 ，应选答案 D。点睛：解答本题的难点是依据题设条件搞清楚线段 的中点的轨迹的性质与性质，MN然后再借助空间图形的特征判断该轨迹三棱锥围成的几何体的形状，然后求其体积
8、，从而使得问题获解。11 已知 为 上的可导函数，当 时， ，若yfxR0x0fxf，则函数 的零点个数为（ ）1FxfFxA. 0 B. 1 C. 2 D. 0 或 2【答案】A【解析】令 ，则 。故由题设可知当1hxxfhxffx时， ，函数 在 上单调递0x0,ff 10,增，且 ，即函数 在 内无零点，所以函数1xf0,在 内无零点；Fxfx,当 时， ，函数 在 上单调00,fhx 1hxf,0递减，且 ，则函数 在 内无零点，即函数1h1f,0在 内无零点。综合函数 在 与Fxfx,Fxfx,内均无零点，应选答案 A。0,点睛：解答本题的关键是依据题设条件构设函数 ，然后再1hxf
9、借助导数知识判断该函数的单调性，最后再运用分类整合思想推断函数方程中的零点的个数，从而使得问题获解。12 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：原命题等价于 在 是有解，图像有交点.即在 上有解，令 ，显然 在 上为增函数.当 时，只需 ，解得 ；当 时， 有解.综上， 的取值范围是 .【考点】函数的奇偶性、对称性.二、填空题13 已知 ， ，则 _1sinco50,sinco【答案】 75【解析】由 可得 ，即 ，所以sic112sic2524sic5，则 ，由于 且249ino1sino57no0,，故 ，所以
10、 ， 应填答案42sc050,cssic。7514 已知等比数列 为递增数列， 且 ，则公比na12a2130nna_q【答案】 13【解析】由题设可得 ，即 ，解之得可得 或 ，2310q2310q13q又数列是递增数列，所以 舍去， 应填答案 。15 钝角三角形 的面积是 ， ， ，则 _【答案】【解析】三角形面积公式为 ,所以 ，若 为钝角时，则,由余弦定理， ，解得 ；若 为锐角时，则 ，由余弦定理， ，解得，此时， 为直角边 1 的等腰直角三角形，不符合题意。综上， . 16 已知函数 ， ，若对于任意 ，24gxa1fx10,x存在 ，使 ，则实数 的取值范围是_ 21,x12fg
11、xa【答案】 9,4【解析】因为 ，则函数 在 上是单调递210fx1fx0,增函数，所以 ；由题设可知 ，即minmax,ffmin12fgx在 上有解，也即 在 上有解，因此问题转化为241xa252x,，因 ，函数 在 上单调min5250Fx 5Fx1,2递减，所以 时，则 ，应填答案 。in994a9,4点睛：本题将不等式恒成立中的存在型问题与全称型的问题整合在一起，综合考查与检测这两类问题的求解思路与解答模式，以及综合运用所学知识去分析问题与解决问题的能力。三、解答题17 已知函数 的最小正周期为22sinco3sin(0)fxxx.（1）求函数 的单调增区间；fx（2）将函数 的
12、图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数6的图象，求 在区间 上零点的个数.ygxygx0,2【答案】 （1） .（2）405,21kkZ【解析】 【试题分析】 （1）先求出函数解析式中的参数的值，再借助正弦函数的单调性探求单调区间；（2）依据题设与函数的周期性探求函数的零点的个数：（1） ，因为最小正周期 ， ，2sin3fxx2T1，if令 ， ，解得 ， 2k23xkZ51212kxk，Z所以 的单调增区间为 .fx 5,1（2） ，依题意，有 2sin3fx2sin163gxx，令 ，得 ，得 或 ， sin1x0g1sin2x7k2k， 或 ， ，kZ76kkZ所以 在
13、每个周期上恰有两个零点，而 在 恰有 20 个周期，所x gx0,以有 40 个零点.18随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位:cm） ，获得身高数据的茎叶图如下图.（1 ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2 ）计算甲班的样本方差；（3 ）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm的同学被抽中的概率.【答案】 （）乙班平均身高高于甲班（）身高为 176cm 的同学被抽中的概率为 2/5【解析】试题分析：本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答试题解析：（1）由茎叶图可知：
14、甲班身高集中于 之间，而乙班身高集中于之间，因此乙班平均身高高于甲班. （2 ）甲班的样本方差为（3 ）设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A，从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有：（181，173）,（181，176）（181，178）,（181，179 ） ,（179，173）,（179 ，176） ,（179，178）,（178，173）（178, 176） ,（176 ，173 ）共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件；.【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；等可能事件的概率19 如图，已知正方体 的棱长为 ， 分别是棱1ABCDa,EF
15、的中点.,ABCD（1）求证：平面 平面 ；1CEAF1BC（2）求点 到平面 的距离.B【答案】 （1）详见解析（2） 63a【解析】 【试题分析】 （1）先证明线面垂直，再借助面面垂直的判定定理进行推证；（2）依据题设与点面距离的定义构建三角形探求：（1）证明：连 和 ，易知四边形 是平行四边形，1EFBCA， ， 11EBCF，又 ， ， ，所以 平面/A1B，所以 平面 ，1ABC1又 平面 ，所以平面 平面 .EF1ACEAF1BC（2）解：在平面 内，过 作 ， 为垂足，则 的长就是BHBH到平面 的距离，在 中， ，所以所求B1C1Rt163aA的距离为 .63a点睛：立体几何是
16、高中数学中的重要内容之一，也是高考重点考查的知识与内容之一。本题以正方体为载体和背景，创设了两道与计算和证明有关的综合性问题。求解第一问时，依据题设条件，直接运用线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理进行分析推证，从而使得问题获解；解答第二问时，运用点面距的定义，构造出直角三角形，通过解直角三角形的边长使得问题获解。20 如图，抛物线 的焦点为 ，取垂直于 轴的直线于抛物线交于不同的两点 ，过 作圆心为 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且 .（1）求抛物线 和圆 的方程；（2）过点 作倾斜角为 的直线 ，且直线 与抛物线 和圆 依次交于，求 的最小值.【答案】 （1）抛物线 的方程为 ；圆 的方程为 ；（2 ） 【解析】试题分析：（1）首先根据抛物线的焦点坐标求出 的值，由此得到抛物线的方程，再由题可知在 处圆和抛物线相切，从而利用导数的几何意义求得点 的坐标，得到圆的方程；（2）设出直线 的方程，并联立抛物线方程，利用点到直线的距离公式结合圆的半径和弦长公式求得 ，再利用抛物线的焦点弦长公式求得 ，从而求得 的最小值试题解析：（1）因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .由抛物线和圆的对称性，可设圆 ， ， 是等腰直角三角形，则 ， ，代入抛物线方程有 .由题可知在 处圆和抛物线相切，对抛物线 求导得 ，
