1、2016 届湖南省常德市第一中学高三上学期第五次月考数学（理）试题第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则下列关系正确的是（ ）0.313|log(),2Axa（A） （B） （C） （D）aAaA2.等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 的值为（ ）nS34512a7S（A）28 （B）42 （C）56 （D）144.“ ”是直线 “ 与直线 垂直”的（ ）1a10axy(2)30axy（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件5将函数
2、的图象向右平移 个单位长度后，所得到的图象与原图()cos,(0)fx3象关于 x 轴对称，则 的最小值为（ ）（A） （B）3 （C）6 （D）916在 中，已知 ，点 P 是 AB 的中点，则 （ ）O5,4AOBOPAB:（A）10 （B） -10 （C）20 （D）-207已知函数 在 上是增函数， ，若 ，则 x 的取()fx0,()gxf(lg)(1x值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）(1,)1(,)0(0,1)1(0,),)8已知 满足约束条件 ，若 的最大值为 4，则 （ ）,xy2xyzaxya（A） 3 （B）2 （C）-2 （D）-39.若椭圆 的右焦点 是抛物
3、线 的焦点，两曲线的一个交21(0)xyabF24yx点为 ，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）P4F（A） （B) （C） （D）723132110.在如图所示的程序框图中，当 时，函数 表示函数 的导函()RnN()nfx1()nfx数，若输入函数 ，则输出的函数 可化为（ ）1()sicofxx（A） （B） （C） （D）2sin42si()2si()4x()x11.某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线7 6段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条线段的投影分别是长 和 的线段，则 的abab最大值为（ ）（A） （B） （C）4 （D）2232512设函数
4、 在 R 上存在导数 ， ，有 ，在()fx()fxR2()fxf上 ，若 ，则实数 m 的取值范围是（ ）(0,(84fm（A） （B） (C) (D) 2,2,0,2,第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.设复数 的模为 ，则 _(,)abiR3()abi14. 为锐角，若 ，则 _a4cos()652sin()315.已知向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影,b2,ab1abab为_16.已知圆 及抛物线 ，过圆心 P 作直线，此直线与上述两曲线2:4Pxy2:8sxy的四个交点自左向右顺次记为 A，B，C，D，如果线段 的长按此顺序构成一个
5、,ABCD等差数列，则直线的斜率为_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知：在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且角 为锐角，abc C1cos24C（I）求 的值；in（II）当 时，求 及 的长,siinaACbc18.已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列()yfx()62fx的前 n 项和为 ，点 均在函数 的图像上nS,()RnNy（I）求数列 的通项公式；a（II）设 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成立13,nnbTb20nmTRnN的最小正整数 m19.如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的中PABCDA
6、BPABCDEP点（1）证明： 平面 ；/PBAEC（2）设二面角 为 60， ，求三棱锥 的体积D1,3PADEACD20.已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点的任意一点，过点2:(0)cypxFAC的直线交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ，当点 的横坐标ACBDFA为 3 时， 为正三角形DF（1）求 C 的方程；（2）若直线 ，且 和 C 有且只有一个公共点 E1/l1l证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标； 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由ABE21.已知函数 ，其中 2()()lnfxaxaR（1）当 时，求曲线 的点 处的切线方程；y
7、f(1,)f（2）当 时，若 在区间 上的最小值为-2，求 的取值范围；0()fxe（3）若 ，且 恒成立，求 的取值范12,x1212,()()fxfxa围22.如图， 是 的一条切线，切点为 B，ADE，CFD 和 CGE 都是 的割线，ABO: O:C（I）证明： ；2DE（II）证明： /FGAC23.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为 ，曲线 C 的参数方程是 （ 是参数） 32sin4 cos3iny（1）求直线的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程；（2）求曲线 C 上的点到直线的最大距离24.设函数 （1）当 时，解不等式 ；(
8、2)若 的()fxa2()41fx()1fx解集为 ， ，求证： 0,21(0,)amn24mn理科数学答题卡一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A B A B B B B A C C B二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 14 151 16 242三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题满分 12 分)解：（1） ， ， ；1cos24C21sin4C25sin8C而 C 为锐角， 0in（2） ， ，sA2ac又 ， ；a4c ，256os1in184C由余弦定理得，
9、 22coscabC ，2226410264bb:故 6,c18.（本小题满分 12 分）解：（1）二次函数 的图象过原点，且 ，()yfx()62fx ，2()3fx又点 在 图象上，,nS()yfx 2()f当 时， 也符合上式，1n132aS 65()RN（2） 11()(65)2651nbann ()()7326nT n 当 n 无限增大时， 且无限接近 ，12nT12 对 恒成立时， ，20mRN0m ，故最小正整数 1119 （本小题满分 12 分）（1）证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连 OE，ABCD 为矩形，O 为 BD 中点又 E 为 PD 中点， ，/EPB 平面
10、AEC， 平面 AECO 平面 AEC/PB（2） 平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，AAB、AD、AP 两两垂直以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，因，1P则 , 31(0,),(2DE， ） 31(0,)2AE设 ，则 ；,Bm(,)Cm(,0)Cm设 平面 ACE 的法向量，则(,)nxyz，1 33012ACmxymEyz:取 得 ，13(,)n又 为平面 DAE 的一个法向量2(,0)由题设 ， ，12cos,n231342mE 为 PD 中点，三棱锥 的高为 ，EACD即三棱锥 的体积 13128V20 （本小题满分
11、12 分）解：（1）由题意知 ，设 ，(,0)PF(,)0Dt则 FD 的中点为 24pt ， 或 （舍去）AD33pttt由 ，得 ，抛物线方程为 24pt224yx（2）由（1）知 ，设 设 (1,0)F(,)P(,0)Dt则 的中点为 ，D4t ， （舍去）A332pttpt或由 ，得 ， 抛物线方程为 24pt24yx（2）由（1）知 ，设 ，(1,0)F00(,),()0DAx ，ADDx由 得： ，0x020(2,)x故直线的斜率为 02lyk ，设直线 的方程为 ，12/l10yxb代入抛物线方程中得： ，208由题意 ，200643byy设 ，则 ，(,)Ex2004,EEx当
12、 时， ，204y002044EAyykx直线 的方程为 ，002()yx由 ，整理可得， ，直线 过定点204yx024(1)yAE(1,0)F由知直线 AE 过焦点 ，(1,)F代入抛物线方程得： ，20084yx设 ，则 ，1(,)Bxy011008y ，104点 B 到直线 AE 的距离 000248()14()1xmyxd 的面积 ，AE0000()1 1()()(2)62Sxx 当且仅当 ，即 时取“ ”号， 面积的最小值为 160x0xABE21 （本小题满分 12 分）解：（1）当 时， ，1a2()3ln(0)fxx ， 1()23fx2,(1ff切线方程为 y（2）函数 的
13、定义域为 ，2()()lnfxax(0,)当 时， ，0a211(2)1axxaf 令 得 或 ，fw12xa 当 ，即 时， 在 上递增，0a()fx1,e 在 上的最小值为 ，符合题意； ()fx1,e2 当 ，即 时， 在 上递减，在 上递增，a1a()fx1,a1,ea 在 上的最小值为 ，不合题意；()fx1,e2ff 当 ，即 时， 在 上递减，a0e()x1,e 在 上的最小值为 ，不合题意，()fx,f综上， 的取值范围是 ；1.（3）设 ，则 ，只要 在()2gxfx2()lngfxax()gx上单调递增，即 在 上恒成立即可，(0,0,而 ，211()2(0)axgxa 当 时， ，此时 在 上递增，0()0ggx(,) 当 时， ，依题意，只要 在 上恒成立，ax210a(,)记 ，则抛物线过定点 ，对称轴 2()1hx(0,)4x ，2088aa综上可得： 的取值范围为 0,22（1）AB 为 切线，ADE 为割线，O: ，而 ，2ABDEACB C（2）由（1）知 ，2AED:又 ， ， AECC又四边形 DEGF 为圆内接四边形， ，FG ， CFG/A23 （1）由 得：32sin()4，23sicoi 30yxxy由 得 平方相加得： 3sinxycosin3xy213
