1、第 1 页 共 19 页2018 届湖南省常德市第一中学高三第一次水平考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ,则（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】先化简集合 B,根据集合的交并运算即可解决 .【详解】由 可得 ，故 ，所以 ，选 D.【点睛】本题主要考查了指数不等式及集合的交并运算，属于容易题.2设 ，则 等于( )A B C D 0【答案】C【解析】【分析】由定积分性质知 ，即可计算其值.【详解】,故选 C.【点睛】本题主要考查了定积分及定积分的性质，属于中档题.3已知 ，且 是函数 的零点，则对于函数 ，下列说法第 2 页 共 19 页正确的是（ ）A ； B ；C ；
2、 D 【答案】C【解析】【分析】因为 是函数 的零点，所以 ，又 图象开口向下，所以 是最大值.【详解】因为 是函数 的零点，所以 ，又 图象开口向下，且对称轴 ，所以 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了函数零点，二次函数的最值，属于中档题.解题关键是一次函数的零点恰好是二次函数对称轴的横坐标，从而 是最大值.4若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A 10 B 30 C 24 D 60【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，几何体为底面是直角三角形的直三棱柱去掉了一个三棱锥，故可求其第 3 页 共 19 页体积.【详解】由三视图可知，几何体为底面是直角三角形的直三棱柱去掉了一
3、个三棱锥,如图所示【点睛】本题主要考查了三视图及棱柱与棱锥的体积，属于中档题.5函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，且是 R 上的奇函数，则函数 在 上的最小值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】因为 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，且为奇函数，所以 是奇函数，故 ，故 ，从而可求解.【详解】因为 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，且为奇函数，所以 是奇函数，且 ，故 ，所以 ，当第 4 页 共 19 页时， ，所以 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，三角函数的奇偶性以及三角函数值域的求法，属于中档题.解决此类平移问题，需要特别注
4、意，平移的量是变化在自变量 x 上的，左移 变为 而不是 .6已知命题 p：不等式 的解集为 ，命题 q： 是减函数，若pq 为真命题，p q 为假命题，则实数 m 的取值范围是（ ）A 1m2 B 1m2 C 1m2 D 1m2【答案】B【解析】【分析】若 pq 为真命题，pq 为假命题,可知 p 真 q 假或 p 假 q 真，化简 p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按 p 真 q 假或 p 假 q 真求解即可.【详解】若 p 为真时， ，即 ，若 q 为真时， ，即 ，若 pq 为真命题，pq 为假命题,可知 p 真 q 假或 p 假 q 真，当 p 真 q 假时， ，无解，若 p
5、假 q真时， ，即 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7已知 ，若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）.A 或 B 或 C 或 D 或【答案】D【解析】【分析】对函数求导， ，由函数在 上单调递减，可知 在区间第 5 页 共 19 页上恒成立即可求解.【详解】因为 ，函数 在区间 上单调递减，所以在区间 上恒成立，只需 ，即 解得 或 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了导数、函数的单调性，二次函数的性质及不等式的恒成立问题，属于难题.解决三次函数的单调性问题，一般要考虑求导数，利用导数研究函数的单调区间
6、或者是求参数的取值范围，若函数在某区间单调，则转化为函数的导数在区间上大于等于零（或小于等于零）恒成立.8若函数 满足 且 时， ，函数，则函数 在区间 内的零点的个数为 （ ）A 7 B 8 C 9 D 10【答案】B【解析】【分析】由 知 函数 是周期为 2 的函数，进而根据 与函数的图象得到交点为 8 个.【详解】因为 ，所以函数 是周期为 2 的函数，作出 时，的图象，并根据周期扩展到 上，再作出函数 的图象，如图所示：第 6 页 共 19 页从图中易看出有 8 个交点，故选 B.【点睛】本题主要考查了函数的周期性，函数的图象及利用图象判断函数零点个数，属于中档题.处理函数零点个数问题
7、，可以转化为判断两个函数图象交点个数问题，在同一坐标系内分别画出图象，容易看出交点个数.9设函数 的两个极值点分别为 ，若 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】求导函数，利用 的两个极值点分别为 ， ， ，建立不等式，利用平面区域，即可求出 的取值范围.【详解】由题意， ，因为 的两个极值点分别为 ， ，所以 ，对应可行域如下图：三个顶点坐标 ，当 过 时， ，所以 ，故 即第 7 页 共 19 页可，故选 C.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.10如图，四边形 ABCD 是半径为 1
8、 的圆 O 的外切正方形， 是圆 O 的内接正三角形，当 绕着圆心 O 旋转时， 的最大值是（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积求得 ，再求得 的范围.【详解】由题意， ，又 ，所以 ，故选 D.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦函数的值域，属于中档题.11设集合 ,对 的任意非空子集 A，定义 为集合 A 中的最大元素，当 A 取遍 的所有非空子集时，对应的 的和为 ，则 （ ）A B C D 【答案】A第 8 页 共 19 页【解析】【分析】由题意， 的任意非空子集 A 共有 个，在所有非空子集中每个元素出现 次，可知含有 n 的子集有
9、个，不含 n 含 有 个，不含 ，含 的有 个以此类推有 个子集不含 n,n-1,n-2,k-1,而含有 k.利用错位相减法求出其和.【详解】由题意， 的任意非空子集 A 共有 个，在所有非空子集中每个元素出现 次，可知含有 n 的子集有 个，不含 n 含 有 个，不含 ，含 的有 个以此类推有 个子集不含 n,n-1,n-2,k-1,而含有 k,因为 为集合 A 中的最大元素所以 ，错位相减可得 ，所以= ，故选 A.【点睛】解决此类问题的关键是读懂并弄通题意，找出规律是关键，然后结合数列求和，采用错位相减法即可求出.12已知函数 （其中 为实数）的图象在 处的切线与 轴平行，.且对任意 ，
10、存在 ，使得 ，则实数 的最小值（其中 为自然对数的底数）为（ ）A B C 1 D 2【答案】A【解析】【分析】问题等价于 ，通过讨论 b 的范围，求出 的最小值，从而求出 的最小值即可.【详解】因为 （其中 为实数）的图象在 处的切线与 轴平行，所以第 9 页 共 19 页，因为 在 是增函数，在 上是减函数，而，所以 时， ， ，因为原不等式可转化为 ，所以应存在 ，使得 即可，当 时，不合题意，当 时 是 上的减函数，故 ，当 ， ，故，综上 ，故选 A.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论的思想以及导数的应用，属于难题.熟练掌握导数的综合应用是解答此类问题的关键.二
11、、填空题13由曲线 23yx=与 围成的封闭图形面积 S= 【答案】 1【解析】试题分析： 341230 1()()02xSxd【考点】曲边图形的面积与定积分的计算14函数 图象上点 处的切线 与直线 ： 平行，则 =_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，又切线与 平行，即可求出 k.第 10 页 共 19 页【详解】, 所以 ， ，故填 .【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，利用导数求切线的斜率，属于中档题.15设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足 ， ,若 为数列 中的项，则所有的正整数 的取值集合为_【答案】【解析】【分析】设等差数列首项和公
12、差，联立方程组，求出通项公式 ，化简 ，令其等于 ，令 ，化简得 ，所以 为偶数且 且 为奇数，可得出b 的取值，利用 b 值求出 m 的值 .【详解】由 得： ，由 得： ， 联立解得 ，所以 ，令 ，得到 ，所以 为偶数且且 为奇数，故 或 ，进而得到 或 ，当 时，n 不为整数，舍去，故 .【点睛】本题主要考查了学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值，等差数列的性质，属于中档题.16定义域为 的函数 的图象的两个端点为 A,B,且 M 是 图象上任意一点，其中 ， 为实数， 为坐标原点，向量 ，若不等式恒成立，则称函数 在 上“ 阶相近”若已知函数 在 上“ 阶第 11
13、 页 共 19 页相近” ，则实数 的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据条件得出 M,N 的横坐标，再将恒成立问题转化为函数最值问题.【详解】由已知， , , ，点 M 的横坐标 ， ，纵坐标， 令 ，故 而 ， ，且 ，故 ，而不等式 ，即 恒成立，故 k 的最小值为【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，基本不等式，属于难题.解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略.三、解答题17某校高三数学竞赛考试后，对 90 分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若 130140 分数段的人数为 2 人.第 12 页 共 19 页（1 ）请估计这组数据的平均数；（2
14、 ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第五组）所有人中任意选出两人，形成帮扶小组. 若选出的两人成绩差大于 20，则称这两人为“黄金搭档组” ，试求选出的两人为“ 黄金搭档组” 的概率.【答案】 （1）113 分；（2） .【解析】试题分析：(1)由条件易得总人数为 40，平均数等于各小矩形底边中点横坐标与小矩形面积的乘积之和求得 M113.(2) 依题意第一组共有 4 人，第五组共有 2 人，从第一组和第五组中任意选出两人共有 15 种选法, 选出的两人为“ 黄金搭档组”,若两人成绩之差大于 20，则两人分别来自第一组和第五组，共有 8 种选法，故概率为
15、.试题解析：设 90140 分之间的人数为 n，由 130140 分数段的人数为 2，可知0.00510n2，得 n40.(1)平均数 M950.11050.251150.451250.151350.05113.(2)依题意第一组共有 400.01104 人，记作 A1，A 2，A 3，A 4；第五组共有 2 人，记作 B1， B2. 从第一组和第五组中任意选出两人共有下列 15 种选法：A1，A 2，A 1，A 3，A 1，A 4，A 1，B 1，A 1，B 2，A 2， A3，A 2，A 4，A 2，B 1，A2，B 2，A 3， A4，A 3，B 1，A 3，B 2，A 4，B 1，A
16、4，B 2，B 1，B 2设事件 A：选出的两人为“ 黄金搭档组” 若两人成绩之差大于 20，则两人分别来自第一组和第五组，共有 8 种选法：A1，B 1，A 2， B1，A 3，B 1，A 4，B 1，A 1，B 2，A 2，B 2，A 3，B 2，A 4，B 2，故 P(A) .【考点】1.频率分布直方图;2.古典概型的概率计算18在 中, 分别是角 的对边，且 .（）求 的值；（）若 ， ,求 的面积.【答案】 （） ；（） .【解析】第 13 页 共 19 页【分析】（）利用同角三角函数之间的关系，整理求出 的值，进而求出 的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简即可 ；（）利用余弦定理
17、表示出 ,利用完全平方公式变形后，求出 ，代入三角形面积公式即可.【详解】（）由 得：，又（）由余弦定理得： .又 ， ，【点睛】此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题.19如图， 、 分别是正三棱柱 的棱 、 的中点，且棱 ，.（1 ）求证： 平面 ；（2 ）若二面角 的大小为 ，试求 .第 14 页 共 19 页【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】【分析】在线段 上取中点 ，连结 、 ，可证明四边形 是平行四边形,从而得证（2）易知 ,过点 E 作 于 ,连接 ,则 为二面角 的平面角，即【详解】（1）在线段
18、 上取中点 ，连结 、 .则 ，且 ， 是平行四边形 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 . (2)易知 ,过点 E 作 于 ,连接 ,则 为二面角 的平面角，即 ,求其正切即可.第 15 页 共 19 页在 中，由等面积法可知斜边 上的高为 ,则 ,又 ,在 中， .故 为所求. (法二：坐标法，利用空间向量)【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直，二面角，涉及中位线，三角函数的计算等，属于中档题.20已知圆 C： .(1)若直线 在 y 轴上的截距为 0 且不与 x 轴重合，与圆 C 交于 ，试求直线: 在 x 轴上的截距;（2 ）若斜率为 1 的直线 与圆 C 交于 D,E 两点，求使 面
19、积的最大值及此时直线 的方程.【答案】 （1） ；（2） 的最大值为 2，直线 的方程为 或 .【解析】【分析】（1）根据题意设直线 ： ，联立消元可得 ， ，化简，即可写出直线 m（2）设直线 的方程： ，利用圆心距，半径，半弦长构成直角三角形求出弦长，写出三角形面积求最值即可.【详解】（1）圆 C： ，设直线 ： ，联立 ，则有：，故 ，则 ，故直线 : ， 令 ，得 为直线在 x 轴上的截距.第 16 页 共 19 页(2) 设直线 的方程： ，则圆心 C 到直线 的距离为 .弦长 ，则 面积的为： ， （当且仅当 ，即 或 时取“=”）.故 的最大值为 2，此时直线 的方程为 或 .【
20、点睛】本题主要考查了圆、圆与直线的位置关系，均值不等式，属于难题.解决面积最值问题，一般要先表示出三角形的面积，然后根据表达式选择合适的求最值方法，本题采用了均值不等式求最值的方法.21已知函数 满足 ，且当 时， ，时， 的最大值为 .（1 ）求实数 的值；（2 ）是否存在实数 使得不等式 对于 时恒成立？若存在，求出实数 的取值集合；若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用函数性质可得 ，求导分析函数单调性，求其最大值即可（2）由原不等式可转化为 ，构造函数，利用导数求其最大值 ，当 时，令 可求其最小值， ，所以可求出 b=1.【详解】第 17 页 共
21、 19 页（1）由已知得： 当 ，当， ，（2）由（1）可得： 时，不等式 ， 即为 恒成立， 当 时， ，令 则令 ，则当 时， ， 递增 ， ， 递增 ，故此时只需 即可；当 时， ，第 18 页 共 19 页令 则令 ，则当 时， ， ， 递增 ，故此时只需 即可. 综上所述： ，因此满足题中 的取值集合为：【点睛】本题主要考查了函数的性质，利用导数求函数的单调性，构造函数利用单调性证明不等式，属于难题.22已知函数 与 （ 为常数）的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.（1 ）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围；（2 ）对于函数 和 公共定义域内的任意实数 ，我们把 的值称
22、为两函数在 处的“瞬间距离”.则函数 与 的所有“瞬间距离”是否都大于 2？请加以证明.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数的切线平行，利用导数相等可求出 c，则原不等式可转化为 ，只需求 的最大值即可（2）由题意 = ，只需分析其值大于 2 即可，构造函数 可证 ，构造 并证明，利用不等式传递性即可证出 .【详解】（1）函数 只与 轴交于点 ， 只与 轴交于点 .而， ，由 得 ，又由已知显然 ，故 ， ， 第 19 页 共 19 页. 那么，不等式 可化为 （ ）令 ，则 ， ，又 ， ，故， ，则 在 递减， ，要使（ ）有解，则应有 .（2） 与 的公共定义域为 ，且 =令 ，则 ， 在 递增， ，即 同理，令 ，则 ，当 时， ， 递减；当 时， 递增.故 ，即 由知， ，故 .故函数 与 的所有“瞬间距离”都大于 2.【点睛】点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
