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2017年湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题.doc

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1、2017 届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题 数学试题(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ,则 ( )31,032xNxMNMCR)(A B C D)1,0(),(3,12.下列命题中,正确命题的个数为( ) 是命题; 是 成立的充分非必要条件;命题“三角形的三个内角32x2x04x和为 ”的否命题是“三角形的内角和不是 ”;命题“ ”的否定是“180 180,2xR”.,2xRA B C D1233.设 ,则 的大小关系为( )5.03.5.0,zyzyx,A B

2、 C Dzxxzxxzy4.已知 ,且 使第三象限的角,则 的值为( )132sintanA B C D551251255.函数 在区间 上为减函数,则实数 的取值范围是( )xafl)(),A B C D2,0(,(),6.如图,是某几何体的三视图,其中矩形的高为圆的半径,若该几何体的体积是 ,则此几何体的表面352积为( )A B C D33436427.已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动,则 的取值范围是( )),(yxP02,1yx yxzA B C D1,2,2,18.已知数列 满足: ,若 ,则 ( )na)(12nan ,3642aa864aA B C D846349.已知

3、 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,且 ,则( ), ml, ml,A若 ,则 B若 ,则 l l C若 ,则 D若 ,则 10.等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )nanS25,32Sa8aA B C D131411611.函数 的图象关于点 成中心对称,则 最小的 的值为( ))2si()(xf )0,34(A B C D36612.已知直线 与曲线 相交于 两点,且曲线 在 两点处的切线089yx xmxy:23BA,CBA,平行,则实数 的值为( )mA 或 B 或 或 C 或 D434113二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13.已知向量 ,且

4、,则 _.),2(),(baba14.已知 则 _.),0(3log)(2xf )21(f15.过 的重心 的直线 分别与边 、 交于 、 两点,设ABCGlABCFE,则 的最小值为_.),(,yFxEyx16.观察如下数表的规律(仿杨辉三角:下一行的数等于上一行肩上相邻两数的和):该数表最后一行只有一个数,则这个数是_.三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 10 分)已知锐角 的内角 的对边分别为 ,且 , 的面积为 ,又ABC, cba,3,2cABC23.D,2(1 )求 ;acos(2 )求 的值.18.(本

5、小题满分 12 分)已知数列 的前 项和为 ,且 ,又数列 满足: .nanSn2)1(nbnba(1 )求数列 的通项公式;(2 )当 为何值时,数列 是等比数列?并求此时数列 的前 项和 的取值范围.nbnnT19.(本小题满分 12 分)正方体 中,点 分别为 的中点 .1DCBAFE,1,DABC(1 )求证:平面 平面 ;EBA1CDF(2 )求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .D120.(本小题满分 12 分)已知函数 .axxf12)((1 )当 时,解不等式: ;a3)(f(2 )当 ,则称点 为平面上单调格点;若 或 为格点,则称点 为半格Zyx,yxP),2(yx),(

6、 ),(yxP点.设 .,3)(,302),( ayxfAQ求从区域 中任取一点 ,而该点落在区域 上的概率;求从区域 中的所有格点或半格点中任取一点 ,而该点是区域 上的格点或半格点的概率.PA21.(本小题满分 12 分)若函数 的图象与直线 所围成的封闭图形的面积2,01cosin)( xaxf 0,yx为 .21(1 )求 的值;a(2 )求函数 单调区间及最值;)(xf(3 )求函数 在区间 上的零点个数.mg2,0x22.(本小题满分 12 分)已知焦点在 轴上的椭圆 ,其离心率为 ,过椭圆左焦点 与上顶点 的直线为 .x13:2yaC211FB0l(1)求椭圆的方程及直线 的方程

7、;0l(2)直线 与椭圆 交于 两点,点 是椭圆上异于 的一点.)0(:kxylCNM,PNM,求证:当直线 存在斜率时,两直线的斜率之积为定值,即 为定值;PNM, Pk当直线 与点 满足什么条件时, 有最大面积?并求此最大面积.l 常德市一中 2017 届高三第三次月考数学答案一、选择题:CACAB ADCDC CA6.几何体是由一个球截去 的余下的球的部分与圆柱的组合体,其体积为 ,则81 35234872R,2R则其表面积为 .3243722 RRS11.当 时, ,即 , 时 最小,此时 .34xkx88k3313. 5,1am14. 3log1l)3(1()2(log)2( 22f

8、fff15.利用向量的基本定理,可得 ,yx则 .34,2)1()(3 yxyx16.观察规律,发现:第 行有 个数时,最后一个数为 ,3)1(28第 行有 个数时,最后一个数为 ,14)14(20第 行有 个数时,最后一个数为 ,558.再由余弦定理: ,得 ,73cos23cos222 Aba a.73)7(coscbB(2)由 ,知 ,由 为正三角形,即 ,CDA21ABD3BD且 ,7cos1sinB,147523721sin3cs)3(co B.14s2s18.解:(1)由 ,nnS2)(当 时, ;当 时, ,n1a 111 2)(2)( nnnnnSa故数列 的通项公式为n)2(

9、,1nn(2)由 有 ,则数列 为等比数列,ban)()2,1nnnb则首项为 满足 的情况,故 ,1则 .)21(1)(121 nnnnqbb而 是单调递增的,故 .)(n )2,(2nnb19.解:(1 )在正方体中,有 ,又 分别为 的中点,DCBA1FE,1DABC取 的中点 ,连 ,有 ,ADMAE1,DFM1则可证明 ,且 ,即 是平行四边形,故有 ,1B EB1 MAEB1所以 ,所以平面 平面 .F1 1C(2 )以 点为空间直角坐标系的坐标原点, 分别为 轴建系如图,C1,Dzyx,设 ,则 ,故 ,AB)2,()0,(),(FDE )2,10(),2(FE平面 的法向量 ,

10、不妨设平面 的法向量为 ,11mB1zyxn,可取 ,即 ,02yzFnx,2zyx)1,2(则平面 与平面 所成锐二面角为 ,满足 .DEB11A61cosnm20.解:(1)当 时,函数2a)21(3,)()(xxf作出函数 的图象,则 的解集,由图上可看出 .)(xfy)(xf 3,0x(2 )作出集合 及 所对应的区域(如图):矩形 与 ,则:AOABCD记事件 “从区域 中任取一点 ,而该点落在区域 上” ,MP则事件 符合几何概型,即 .8321)(OABCDS记事件 “从区域 中的所有格点或半格点中任取一点 ,而该点是区域 上的格点或半格点” ,NPA则事件 符合古典概型,即 .

11、N中 格 点 或 半 格 点 个 数区 域 中 格 点 或 半 格 点 个 数区 域 ANP)(区域 中的格点个数:格点个数:当横坐标分别为 时,纵坐标可以为 中的任一个,此时有 个;2,103,2101243半格点个数:当横坐标为 时,纵坐标为整数 ,此时有 个,3 8当纵坐标为 时,横坐标为整数 ,此时共有 个,即区域 中的格点或半格点个数有 个,25,1,99而区域 中的格点或半格点有 共 个,A )3,2(1),(2,)3(1),0( 7 .97)( 中 格 点 或 半 格 点 个 数区 域 中 格 点 或 半 格 点 个 数区 域NP21.解:(1)由题意,知函数 的图象与直线 所2

12、,01cosin)( xaxf 0,yx围成的封闭图形的面积为 ,210dS即 ,121)()21sinco( 2 axax .,)f(2)对函数 求导,2,01cosi)( xxf得 ,)4in(2snco)( xf令 ,又 ,则 或 ,列表:)4i(0xf 2,0xx23x, ),( )2,3()(f+ 0 - 0 +)(xf单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增所以函数 单调递增区间为 , ;递减区间为 ,),0()2,3)23,(的极大值为 , 的极小值为 ,而 ,)(xf 2)(fxf(f 2)(,0ff.)(,2minma (3)由(1)可作出函数 的简图,2,01cosxxf则

13、 的零点可看作 与 的交点问题,xfg)( )(gym当 时,有一个零点;2,0当 时,有两个零点;,23m当 时,有三个零点.),(22.解:(1)由已知,有 1,2,213cabac椭圆的方程为: ,其左焦点 和上顶点 的坐标分别为 ,则直线 的方1342yx1FB)3,0(),1BF0l程为 .)(3y(2)点 是椭圆上的任意一点,依题意不妨设点 ,ze,0xP ),(),(11yxNyM 为定值.43, 21010101010 xxykxykyk PNMPNM不妨设点 ,而根据对称性,有R,)sin3,co2(),sin3,co2(ONMPOSMPN ,sin2 222 )()()(1 P,)sin(32)sin3co4)(sin3co4()sin3cos4( 2222 当 即 时 的面积有最大值(即点 的离心率相差 的奇1)sinZk,MNPMP,2数倍时).

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