数列求和的8种常用方法_最全_.pdf

1、 求 数 列 前 n 项 和 的 叫 种 常 用 方 法 一 .null 式 法 null 定 null 法 null null 1.等差数列求和null式null 1 1( ) ( 1)2 2nn n a a n nS na d+ += = + 特别地null当前 n项的个数为奇数时null 2 1 1(2 1)k kS k a+ += + null即前 n项和为中间项乘以项数nullnull个null式在很多时候可以简化运算null 2.等比数列求和null式null null1null 1q = null 1nS na= null null2null 1q null ( )111nna

2、qS q= null特别要注意对null比的讨论null 3.可转化为等差null等比数列的数列null 4.常用null式: null1null1nkk= 121 2 3 ( 1)n n n+ + + + = +L null null2null 21nkk= 2 2 2 2 1 16 311 2 3 ( 1)(2 1) ( )( 1)2n n n n n n n+ + + + = + + = + +L null null3null 31nkk= 3 3 3 3 2( 1)21 2 3 n nn + + + + =L null null4null1(2 1)nkk= = 21 3 5 (2 1

3、)n n+ + + + =L . 例 1 已知 3log1log23=x null求 2 3 nx x x x+ + + +L 的前 n项和. 解null由 212loglog3log1log 3323 = xxx 由等比数列求和null式得 2 3 nnS x x x x= + + + +L xxxn1)1( 211)211(21 n1null n21 例 2 设 1 2 3nS n= + + + +L null *n N ,求1)32()(+=nnSnSnf 的最大值. 解null易知 )1(21 += nnSn null )2)(1(211 +=+ nnSn null 1)32()(+=

4、nnSnSnf 64342 + nnn nn64341+50)8(12 +nn501 null 当 88n null即 8n = 时null 501)( max =nf . 二 .倒 序 相 加 法 :如果一个数列 na nullnull首null两端等null距离null的两项的和相等或等于同一常数null那null求null个数列的前 n项和即可用倒序相加法null如null等差数列的前 n项和即是用null法推导的null就是将一个数列倒过来排列null反序nullnull再把它null原数列相加null就可以得到 n个 )( 1 naa + . 例 3 求 ooooo 89sin88s

5、in3sin2sin1sin 22222 + 的值 解null设 ooooo 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 +=S null 将null式右边反序得 ooooo 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 +=S null null反序null 又因为 1cossin),90cos(sin 22 =+= xxxx o null+null得 null反序相加null )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222 oooooo +=S 叫9 null S44.5 例 4 函数 ( ) 1 xf x x= + null求

6、( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 2 2012 12012 2011 2f f f f f f f + + + + + + + + L L 的值. null .错 位 相 null 法 null 适用于差比数列null如果 na 等差null nb 等比null那null n na b null做差比数列null即把null一项都乘以 nb 的null比 qnull向后错一项null再对应同次项相nullnull即可转化为等比数列求和. 如null等比数列的前 n项和就是用null法推导的. 例 5 求和null 132 )12(7531 += nn xnxxxS null 解nul

7、l由题可知null 1)12( nxn 的通项是等差数列 2 1n 的通项null等比数列 1nx 的通项之null 设 nn xnxxxxxS )12(7531 432 += null null设制错位null nullnullnull得 nnn xnxxxxxSx )12(222221)1( 1432 += null错位相nullnull 即null nnn xnxxxSx )12(1121)1( 1 += null 21)1()1()12()12(xxxnxnS nnn += + 变 式 求数列 ,22,26,24,22 32 nn 前 n项的和. 解null由题可知null 22nn

8、的通项是等差数列 2n 的通项null等比数列 n21 的通项之null 设 nn nS 22262422 32 += null 1432 2226242221+= nnnS null null设制错位null nullnullnull得null 1432 222222222222)211( += nnn nS null错位相nullnull 11 22212 + = nn n null 124 2n nnS += 四 .裂 项 相 消 法 :即把null一项都拆成null负两项null使nullnull负抵消nullnull余有限几项null可求和nullnull是分解null组合思想nul

9、l分是为了更好地合null在数列求和中的null体应用. 裂项法的实质是将数列中的null项null通项null分解null然后重新组合null使之能消去一些项null最终达到求和的目的. 适用于1n nca a + nullnull中 na是各项null为 0 的等差数列nullc 为常数null部分无理数列null含阶乘的数列等nullnull基null方法是( ) ( )1na f n f n= + . 常 见 裂 项 null 式 null null1null 1 1 1( 1) 1n n n n+ += null 1 1 1 1( )( )n n k k n n k+ += null

10、1 11 1 1 1( )n n n na a d a a+ += null na 的null差为 d nullnull null2null 111 1 ( )n nn na ada a += + .null根式在分母null时可考虑利用分母有理化null因式相消求和nullnullnull3null 1 1 1 1( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2) n n n n n n n + + + += null null4null 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1na n n n n= = + + null )12 112 1(211)12)(12( )2(

11、2+=+= nnnnnan null null5null nnnnnnn nSnnnn nnnnna 2)1( 11,2)1( 12121)1( )1(221)1( 2 1 +=+=+ +=+= 则 null null6null ooooonnnn tan)1tan()1cos(cos 1sin +=+ null null只null 1 1( 1)! ! ( 1)!nn n n+ += null null叫null常见放缩null式null 2 1 21 11 12( ) 2( )n n n nn n n n n+ + + + = = . 例 6 求数列 + ,11,32 1,21 1 nn

12、的前 n项和. 解null设 nnnnan +=+= 111 null裂项null 则 1132 121 1 += nnSn null裂项求和null )1()23()12( nn + 11+n 例 只 求 和 1 1 1 11 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1)nS n n= + + + + +L . 例 叫 在数列 na 中null 11211 += nnnnan null又12+=nnn aab null求数列 nb 的前 n项的和. 解null null 211211 nnnnnan =+= null )111(82122+=+= nnnnbn null裂项null null 数

13、列 nb 的前 n项和 )111()4131()3121()211(8 += nnSn null裂项求和null )111(8 + n 18+n n 例 9 求证null oooooooo 1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12=+ 解null设 oooooo 89cos88cos 12cos1cos 11cos0cos 1 +=S null ooooonnnn tan)1tan()1cos(cos 1sin +=+ null裂项null null oooooo 89cos88cos 12cos1cos 11cos0cos 1 +=S null裂项求和nu

14、ll 88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1 ooooooooo + )0tan89(tan1sin1 ooo oo 1cot1sin1 oo1sin1cos2 null 原等式成立 变 式 求 1 1 1 13 15 35 63nS = + + + . 解null1 1 1 13 15 35 631 1 1 11 3 3 5 5 7 7 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 5 2 5 7 2 7 91 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 3 5 5 7 7

15、 91 1(1 )2 949+ + += + + + = + + + = + + + = =五 .分 段 求 和 法 null 例 10 在等差数列 na 中 10 2523, 22a a= = null求nullnull1null数列 na 前多少项和最大nullnull2null数列 na前 n项和. null .分 组 求 和 法 : 有一类数列null既null是等差数列null也null是等比数列null 可把数列的null一项分成多个项或把数列的项重新组合null使null转化成常见的数列null然后分别求和null再将null合并即可. 例 11 求数列的前 n项和null 23

16、1,71,41,11 12 + naaa n null 解null设 )231()71()41()11( 12 += naaaS nn 将nullnull一项拆开再重新组合得 )23741()1111( 12 += naaaS nn null分组null 当 1a = a1 时null 2 )13( nnnSn += 2 )13( nn + null分组求和null 当 1a 时null 2 )13(1111nnaaS nn+= 2 )13(11 nnaaa n + . 例 12 求数列 ( )( ) 1 2 1n n n+ + 的前 n项和. 解null设 kkkkkkak +=+= 23

17、32)12)(1( null =+=nkn kkkS1)12)(1( )32( 231kkknk+=将nullnull一项拆开再重新组合得 3 21 1 12 3n n nnk k kS k k k= = = + + null分组null )21()21(3)21(2 222333 nnn + 2 )1(2 )12)(1(2 )1(22 + nnnnnnn null分组求和null 2 )2()1(2 + nnn变 式 求数列 1 1 1 11 ,2 ,3 , , ,2 4 8 2nn + L L的前 n项和. 解null2 31 1 1 11 2 3 ( )2 4 8 21 1 1 1(1

18、2 3 ) ( )2 2 2 21 1( 1) 12 2n nnnS nnnn= + + + + += + + + + + + + + += + + LL L 七 .并 项 求 和 法 null 在数列求和过程中null将某些项分组合并后即可转化为null有某种特殊的性质的特殊数列null可将null些项放在一起先求和null最后再将它们求和null则null之为并项求和.形如 ( ) ( )1 nna f n= 类型null可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数null是偶数进行讨论. 例 13 求 cos1+ cos2+ cos3+ + cos1只叫+ cos1只9的

19、值. 解null设 S n cos1+ cos2+ cos3+ .+ cos1只叫+ cos1只9 null )180cos(cos ooo nn = null找特殊性质项null nullS n nullcos1+ cos1只9null+null cos2+ cos1只叫null+ nullcos3+ cos1只 只null+ L +nullcos叫9+ cos91null+ cos90 null合并求和null 0 例 14 数列 na null nnn aaaaaa = + 12321 ,2,3,1 null求 2002S . 解null设 2002S 2002321 aaaa + 由

20、nnn aaaaaa = + 12321 ,2,3,1 可得 ,2,3,1 654 = aaa ,2,3,1,2,3,1 121110987 = aaaaaa 2,3,1,2,3,1 665646362616 = + kkkkkk aaaaaa null 0665646362616 =+ + kkkkkk aaaaaa null找特殊性质项null null 2002S 2002321 aaaa + null合并求和null )()()( 66261612876321 + + kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 )( aaaaaaa + 20

21、02200120001999 aaaa + 46362616 + + kkkk aaaa 5 例 15 在各项均为null数的等比数列中null若 103231365 logloglog,9 aaaaa += 求 的值. 解null设 1032313 logloglog aaaSn += 由等比数列的性质 qpnm aaaaqpnm =+=+ null找特殊性质项null 和对数的运算性质 NMNM aaa =+ logloglog 得 )log(log)log(log)log(log 6353932310313 aaaaaaSn += null合并求和null )(log)(log)(log

22、 6539231013 aaaaaa + 9log9log9log 333 + 10 变 式 求 和 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 99 100nS = + + + + L . null .利 用 数 列 的 通 项 求 和 先根据数列的结构及特征进行分析null找出数列的通项及null特征null然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和null是一个重要的方法. 例 16 求11 11 111 111 1n+ + + 23个之和. 解null由于1 11 1111 1 999 9 (10 1)9 9kk k = = 23 14243个 个null找通项及特征

23、null null 11 11 111 111 1n+ + + 23个 )110(91)110(91)110(91)110(91 321 + n null分组求和null ( )1 2 311 1(10 10 10 10 ) 1 1 1 19 9nn+ + + + + +1442443个 9110 )110(1091 nn )91010(811 1 nn + 例 1只 已知数列 na null =+=11)(1(,)3)(1(8nnnn aannna 求 的值. 解nullnull )4)(2( 1)3)(1( 1)1(8)(1( 1 +=+ + nnnnnaan nn null找通项及特征n

24、ull )4)(3( 1)4)(2( 18 + nnnn null设制分组null )4131(8)4121(4 + nnnn null裂项null null =+ +=+1111 )4131(8)4121(4)(1(nnnnn nnnnaan null分组null裂项求和null 418)4131(4 + 313 变 式 求55 55 555 555 5n+ + + 14243个的前 n项和. 解nullnull ( )5 10 19nna = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 35 5 5 510 1 10 1 10 1 10 19 9 9 9 nnS = + + + + L ( )1 2 35 10 10 10 109 n n = + + + + L ( )15 10 9 1081 n n+= 以null 叫 种方法虽然各有null特点null但总的原则是要善于改变原数列的形式结构null使null能使用等差数列或等比数列的求和null式以及null它已知的基null求和null式或进行消项处理来解决nullnull要很好地把握null一规律null就能使数列求和化难为易null迎刃而解.