1、重庆一中高 2016 级 2015-2016 学年度高三上期第四次月考数学试题卷（理科）2015.12第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）23|1,|213nMxNZ且 NMA B C D2,30,2.已知随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）(31)(21)(5)PXccA B-1 C0 D4433.已知复数 ，且有 ，则 （ ）()zxyiR、 1xyiizA5 B C3 D4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 且支出在 元的
2、样本，其频20,6率分布直方图如图所示，其中支出在 元的学生有 30 人，则 n 的值为（ ）50,6A100 B1000 C90 D9005.已知椭圆 和双曲线 有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ）2135xymn213xymnA B C D22434yx6.在区间 内任取两个数 ，则满足 概率是（ ）(0,1),xy2xA B C D34237右图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）A B C D36236536836208 莱因德纸草书 （Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把 120 个面包分成 5 份，使每份的面包数成等差数
3、列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7 倍，则最少的那份有（ ）个面包A4 B3 C2 D110.执行右图所示框图，若输入 ，则输出的 p 等于（ ）6,4nmA120 B240 C360 D72011.已知函数 图像上的一个最低点为 A，离 A 最近的()3sin()cos(in()cos()2fxxx两个最高点分别为 B 与 C，则 （ ）:A B C D2929242412.（原创）已知函数 ，若对任意三个实数 、 、 ，均存在一个以 、241()()xkf Rabc()fa、 为三边之长的三角形，则 的取值范围是（ ） ()fbfcA B C D24k142k21k12k第卷（
4、共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.已知曲线 在原点处的切线方程为 ，则 _2()ln(1)fxaxyxa14.（原创）已知 的展开式中 的系数为 0，则 _51:(15)rxZr且 r15.（原创）设 内角 的对边分别是 若 的面积为 2， 边上的中线长为 ，ABC, ,abcABCAB2且 ，则 中最长边的长为_cosinba16.如右图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是： 在杯内放2,0,1xy一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分
5、）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下面表中所示：是否需要帮助 性别 男 女 合计需要 50 25 75不需要 200 225 425合计 250 250 500（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否在出错的概率不超过 1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由附：独立性检验卡方统计量 ，其中 为样本容量，独立22()(nadbcKnabcd性检
6、验临界值表为： 2()PKk0.15 0.10 0.05 0025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818.（原创） （本题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且 anS13(),naZ（1）求出数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ，若 对于任意正整数 n 都成立，求实数 t 的取值范围nb13()2nabn:nt19.（本题满分 12 分）我国政府对 PM2.5 采用如下标准：PM2.5 日均值 m（微克/立方米） 空气质量等级35一级7二级超标某市环保局从一年 365 天的市区 PM2.5 监测
7、数据中，随机 抽取 10 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （1）求这 10 天数据的中位数；（2）从这 10 天数据中任取 4 天的数据，记 为空气质量达到一级的天数，求 的分布列和期望；（3）以这 10 天的数据来估计这一年 365 天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响记 为这一年中空气质量达到一级的天数，求 的平均值树茎 树叶2 8 23 8 2 14 4 56 3 87 720.（本小题满分 12 分）已知直线 被圆 截得的弦长恰与椭圆 的短轴长相等，椭圆1yx23y2:1(0)xyCab的离心率 Ce（1）求椭圆 的方程；（2）已知过点 的动
8、直线 交椭圆 于 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 ，使1(0,)3MlC,ABT得无论 如何转动，以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由lABTT21.（本小题满分 12 分）已知存在实数 和 使得 ，,abc,32()()()fxabxcx（1）若 ，求 的值；122（2）当 时，若存在实数 使得 对任意 恒成()3且 ,mn()()2fxfmnxR立，求 的最值()fm22.（本小题满分 10 分） （原创）如右图，圆 与圆 内切于点 ，其半径分别为 3 与 2，圆 的弦 交圆 于点 （ 不在 上） ，1O2A1OAB2C1OAB是圆 的一条直径A
9、D（1）求 的值；（2）若 ，求 到弦 的距离ACB3BC2OAB23.（本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t 为参数） ，再以原点为极点，以 x 正半轴为极xoyl 214xy轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆 C 的方程为 4sin（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 将于点 、 ，若点 的坐标为 ，求lABM(2,1)的值 MAB24.（本小题满分 10 分） （原创）已知函数 ， （1）解不等式 ；（2）若对于 ，有()2,fxxR()1fx,xyR求证： 1,36y()f参考答案一、选择题 （每小题 5
10、分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B A D B A C D C D B二、填空题 （每小题 5 分，共 20 分）13-1 142 15 16124或三、解答题 （共 75 分）17解：（1）调查的 500 位老年人中有 75 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为 15%（2） ，2250(250)56.3741K所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年
11、人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好18解：（1）由已知 ，令 可得 ，又 ，32nSa1na111332nnnnSaa19.解：（I）10 天的中位数为 （微克/立方米） 2 分(384)/21（II）由于 ，所以 ，即得分布列如下：(10,)H:4610(,234)kCP:0 1 2 3 4P5289010 7分所以 9 分41.60E（III）一年中每天空气质量达到一级的概率为 ，由 ，得到 （天） ，252(365,)B:236514E一年中空气质量达到一级的天数平均为 146
12、天 12 分20解：（I）则由题设可求的 ， 2 分1b又 ，则 ，所以椭圆 的方程是 4 分2eaC21xy（II）解法一：假设存在点 ，若直线 的斜率存在，设其方程为 ，将它代入椭圆方程，(,)Tuvl 13ykx并整理得 5 分2(189)160kxk设点 的坐标分别为 ，则 ，AB、 12(,)(,)AyBx12896kx因为 及 ，12(),()TxuyvTuv121,3ykxykx所以 2 2212111()()(39vAByuvxu: 8 分22(6)4(35)6vkv当且仅当 恒成立时，以 为直径的圆恒过定点 ， 9 分0TAB:ABT所以 ，解得 ，2435uv0,1uv此时
13、以 为直径的圆恒过定点 10 分AB(,)T当直线 的斜率不存在， 与 轴重合，以 为直径的圆为 也过点 llyAB21xy(0,)T综上可知，在坐标平面上存在一个定点 ，满足条件 12 分(0,1)解法二：若直线 与 轴重合，则以 为直径的圆为 ，ly2xy若直线 垂直于 轴，则以 为直径的圆为 ， 6 分lyAB2216()39xy由 ，解得 ，由此可知所求点 T 如果存在，只能是 7 分216()39x01xy (0,1)事实上点 就是所求的点，证明如下：0,T当直线 的斜率不存在，即直线 与 轴重合时，以 为直径的圆为 ，过点 ；l lyAB21xy(0,)T当直线 的斜率存在，设直线
14、方程为 ，l 13kx代入椭圆方程并整理得 ， 8 分2(189)60k设点 的坐标为 ，则 ，因为 ，AB、 12(,)(,)xyB1289kx12(,),(,1)TAxyTBxy所以有 222121212124616316()()() 03989kkTAxykxkx:，所以 ，即以 为直径的圆恒定过点 ， 11 分BA(0,)T综上可知，在坐标平面上存在一个定点 满足条件 12 分,121 解：（1）由题意 1ab 4 分222()()3（2）由题意知 关于 中心对称，所以 取两个极值点的平均值，即 ，则有yfx,mnm3am2()()()(33127()()16()1367aafmftt
15、:其中 ，令 ，则 ，所以()2t()32)(16)gttt2()9186)gtt在 上递增，在 上递减()gt13,61,6由此可求出 ， 无最小值 12 分max23()()748fg()fm22解：（1）设 交圆 于点 ，连接 ，圆 与圆 内切于点 A，点 在 AD 上ADOE,BDC1O22OAD，AE 分别是，圆 与圆 的直径 12AE/BDCE 6 分23CBE（2）若 ，由（1）问结果可知 ，而 ，所以在 中， ，又由3BRTA03，推得 到弦 的距离为 1， 10 分AO2A23解：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为 ， 4 分22()xy（2）直线 的普通方程为 ，点 在直线上 的标准参数方程为 6 分l3yxMl 21ty代入圆方程得： 设 对应的参数分别为 ，则 ， 8 分210tAB、 12t、 123t12t于是 ， 10 分223MABtt24.解：（1） 4 分() 10fxxx（2） 11)()fy， 10 分5236xy
