1、2016 届福建省南安第一中学高三上学期期中考试数学（理）试卷第卷（选择题 共 60 分）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在z(1i)2zz（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）已知集合 ，集合 ，则|ln(1)xy2|30x()RACB（A） （B ） （C） （D ）(1,3),3,)3,)（3）已知 是 上的奇函数，当 时， ，则当 时，fxR0x3()ln(1fxx0(fx（A） （B） （C） （D）3ln()3ln1)3ln1)（4） 中，
2、“ ”是“ ”的BCsiiA（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知角 的始边与 轴非负半轴重合，终边在直线 上，则x12yxcos2（A） （B） （C） （D） 45453535（6）设 ， ， ，则4log8a0.4l8b0.2c（A） （B） ba （C） cab （D） bacc（7）已知函数 ，且 的图象关于点 对称，则函数 的图象的()sin)fx()yfx(,0)3xf一条对称轴是（A） （B） （C） （D）561276x（8）有一个函数的图象如图所示，则这个函数可能是下列哪个函数（A） （B） 2xysin1xy（C）
3、 （D）2()xexl（9）若 是 所在平面内任意一点，且满足 ，则 一定是OB|2|OBCOABC（A） 等边三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形 （D）等腰直角三角形x4 2 2 4 64321123y（10）已知函数 ，则在下列区间中，函数 不存在零点的是()4sin(21)fxx()fx（A） （B） （C） （D）,00,22,4（11）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个正三棱柱的体积为 ，63那么这个球的体积是（A） （B） （C） （D）443163169（12）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，
4、最长的棱的长度为（A） （B ） （C） （D ） 223013第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13定义在 上的奇函数 满足 ，则 = R()fx()3),(2015)ffxf(1)f14 20|dx15如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一个底面为正三角形的三棱柱的正视图，则三棱柱侧面积的取值范围为 16有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在 中， ABC,abc分别是角 的对
5、边已知 ， ，且 ，求角,ABC6a2cos(1)os现知道破损缺少的条件是三角形的一个边长，且该题答案为 ，试将条件补充完整（必60oA须填上所有可能的答案） 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已知 分别为 三个内角 的对边，且 ， 边上的cba,ABC, 33cosinaCbAC垂直平分线交边 于点 D（）求 的大小；B（）若 ，且 的面积为 ，求边 的值2aDC32c（18） （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PAB中，底面 是边长为 2 的菱形，且 ，侧面 PDCAB60oABC为等边三角形，且与底面 CD垂直， M为 P的中点（）求
6、证： ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值（19） （本小题满分 12 分）已知函数 .1()(,0)exfaR（）当 时，求函数 在 处的切线方程；af(1f（）若函数 没有零点，求实数 的取值范围；()fx（）若函数 恰有一个零点，试写出实数 的取值范围（不必写出过程） a（20）（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 中， 分别为 和 的中点， ，侧面1ABC,DM1CAB11DC为菱形且 ， ， 1AB60o12A（）证明：直线 平面 ；（）求二面角 的余弦值1（21）（本小题满分 12 分）设函数 ， ()exf()lngx（）证明： ；2（）若对所有的 ，都有 ，求实数 的取值范围
7、0x()fxaxMD AC BPC1B1A1MACBD请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22） （本小题满分 10 分）选修 ：几何证明选讲41题目略，得分略（23） （本小题满分 10 分）选修 ：坐标系与参数方程4在极坐标系中，曲线 的方程为 ，点 ，以极点为原点，极轴为C2231cos(2,)4R轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位x（）求曲线 的直角坐标方程及 点的直角坐标；R（）设 为曲线 上一动点，以 为对角线的矩形 的一边垂
8、直于极轴，求矩形PPPQS周长的最小值及此时 点的直角坐标QRS（24） （本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲45已知函数 ， ()|2|fxax()|1|3gx（）解不等式 ；|g（）若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围2xR1x12()fxga南安一中 20152016 学年度上学期期中考高三数学理科参考答案一选择题：（1）B 【解析】 ， ， z 对应的点为 ，在第二象限(1)2iz1izi(1,)（2）B 【解析】 ， ， ， ， 选,A(,0)(3,)B0,3RCB(1,3RACBBxxx（3）B 【解析】 0x， ， ，3()ln(1)fxx3()ln(1)fx
9、x（4）A 【解析】由三角形中大边对大角和正弦定理， 故选 AsiiABabAB（5）D 【解析】 终边在 上， ，12yx1tan2故 221cosin1ta345（6）A 【解析】 ， ， ，故 故选 A0.4lg8132234log8lbca（7）B 【解析】 关于 对称，又周期 ，对称轴是 ，即xf，T342Txk， ，当 时， 故选 B12kxZ0k712x（8）A 【解析】函数图象过原点，所以 D 排除；当 时函数是负数，C 函数原点左侧为正数，0所以 C 排除；B 函数有无数多个零点，且所以 B 排除，而 A 都满足，故选 A（9）C 【解析】设 为 中点，MBC，11| 2|2
10、|2OOAMO ， 为直角三角形故选 C|MC（10）D 【解析】 由 和 图像可知，4sin(1)yxyx两图象在 无交点故选 D2,（11）B 【解析】球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，故球心在底面的射影为底面的中心，设正三棱柱底面边长为 ，高为 ，ah则 ，即 ， ，故正三棱柱的体积 ，312Ra23Rh 23()634VR ，故球的体积为 ，故选 B134V球（12）B 【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥其中 底面 ， ， ，SABCD,ACA1D CAS BD 6422468522322 2322523，经计算知最长棱为 故选 B2SABC23SC二
11、填空题：（13） 【解析】根据题意有 ，从而求得函数是周期函数，且周期为 ，所以2(3)(fxfx6，所以 (015)(1)2ff12（14） 【解析】 2001|d()d()d2xxx（15） 【解析】三棱柱的侧面积随侧棱与底面的夹角的增加而减小，当且仅当三棱柱是正6,)三棱柱时，侧面积最小为 6，故侧面积的取值范围是 6,)（16） 【解析】由31c2cos(1)coscs()2cosACBACB即 ，又 ， ，由正弦定理，s45oB60756sin0i45sin7ooobc ， 但 时，则原题设为： ，可求得 有两个值2,312b6,245oabBA，不合题意，舍去 时，经检验，符合题意
12、6o 31c三解答题：（17） 【解析】 （） ，sin3osinaACbB，3sincoin3()3icos3incosBCCB， scBsi0, 即 ， 6 分sita3B（）由 ， ， 8 分11sin222DBCSD 1BD 在 中， ， 10 分2cos432C ， 12 分3A31cAB（18） 【解析】 由底面 为菱形且 ， ， 是等边三角形，CD60oABDC取 中点 ，有 ， DCO,ADCP 为二面角 的平面角， P90oOA分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系如图， , ,xyz则 (3,0)(,3),(01,)(3,20)(,1)ADBC 3 分（）由 为 中点，
13、 ,2M ,PB(3,0),0,DCAPA 6 分A（）由 ， ， ，(,2)DCC 平面 的法向量可取 (3,0),PA 9 分M， 设直线 与平面 所成角为 ，(0,13)PC M则 12 分6sin|co,|4|2CPA（19） 【解析】 （）当 时， ， ，1a1()exf()exf 切线斜率 ，又切点 ，()ekf, 切线方程为 即 5 分yx10y（） ， 1()0exxfxaa记 由 得 ，g2()eg2x 的情况如下表：()x2,),2()gx0单调递增 极大值 单调递减又 时， ； 时， ， ，x()gx()0gxmax21()()egyzxMDACPBO1234564 2
14、2 4 6 8 分若 没有零点，即 的图像与直线 无公共点，()fx()ygxya由图像知 的取值范围是 10 分a21ea（） ，若 恰有一个零点，则 的取值范围是 或 12 分0()fx 021ea（20） 【解析】 ，且 为中点， ，11ADC12AD ，15又 ，1,2B ，CA又 ， 平面 ，1CB1A取 中点 ，则 ，即 两两互相垂直，F1,FB以 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系如图， 3 分B1,xyz 4 分1 111(2,0)(,)(,30),(,)(2,0)(,)(,0)2CACDM（）设平面 的法向量为 ，则 ， ，B,xyzm3BAxyBCzm取 ， ， ，(
15、3,10)m13(,)2MD 02 ，又 平面 ， 直线 平面 7 分ABCDAB（）设平面 的法向量为 ， ，1AC1(,)xyzn1(,3),(,0)， ， 取 ， 9 分130xyzm10mn又由（）知平面 的法向量为 ，设二面角 为 ， 10 分B(,)1BAC 二面角 为锐角， ，1AC1cos|24n 二面角 的余弦值为 12 分14C 1A1 B1FMDBA Cxyz（21） 【解析】 （）令 ， ，ee()2ln2Fxgx21e()xFx由 在 递减，在 递增，()0eFx(0,) 即 成立 5 分min()l )Fxe(gx（） 记 ， 在 恒成立，xhxfaea)0h,)，
16、 ， ()ex()xhe 在 递增， 又 ， 7 分0,)02 当 时， 成立， 即 在 递增，2a(x()x0,)则 ，即 成立； 9 分()hx()fa 当 时， 在 递增，且 ，()x0,min()20hx 必存在 使得 则 时， ，,tht0,t()t即 时， 与 在 恒成立矛盾，故 舍去(0)x()t()x2a综上，实数 的取值范围是 12 分a2a（22） 解析略（23） 【解析】 （）由 ，cos,inxy 曲线 的直角坐标方程为 ，点 的直角坐标为 4 分C213R(2,)（） 曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，cosinxy0,) 设 ，如图，依题意可得：(cos,3i)P， 6 分|2|23siQR 矩形周长 ， 8 分|4co23sin84si()6Q 当 时，周长的最小值为 此时，点 的坐标为 10 分3P1(,) 622463 2 2 3RQSP（24） 【解析】 （） 即 ， 即 ，|()|5gx()5gx|1|35x8|1|2x 即 ， 不等式的解为 4 分213（）对任意 ，都有 ，使得 成立，R112()f ， 6 分|()|ygxyx又 ， 8 分|2|4|(2)(4)|faaxa， ()|1|3x|3解得 ， 实数 的取值范围是 10 分771
