1、- 1 -2018 届福建省闽侯第一中学高三上学期模拟考试（期末）数学（理）试题（试卷共 6 页；完卷时间 120 分钟；满分 150 分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上 ）1.
2、集合 0lg|xM， 4|2xN，则 NM（ ） A.2,1 B.2,1 C. ,1 D. 2,12.复数5iz的实部为（ ）A-1 B0 C1 D23.已知 xR，则“ 2x”是“ 2x”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A9 盏 B5 盏 C3 盏 D1 盏5.函数 sinyx， R，在区间 5,6上的图象如图所示，为了得到这个
3、函数的图象，只要将 sinyx， R，的图象上的所有的点（ ） A.向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变- 2 -B.向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变C.向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1倍，纵坐标不变D.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变6.右面程序框图的算法源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,21，则输出的 a=（ ）A2 B3 C7 D147.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的
4、表面积为 4162，则该几何体的体积为（ ）A 482 B 416902 C 48 D 41628.函数 y= |xln的图象大致是（ ）A B C D9.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品 1 件需消耗原料 1 千克，原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗原料 2 千克，原料 1 千克；每件甲产品的利润是- 3 -300 元，每件乙产品的利润是 400 元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过 12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A1800 元 B2400 元 C2800 元 D3100 元10.在如图所示的正方体
5、1AD中，E，F 分别是棱 1,BA的中点,则异面直线BF与 1DE所成角的余弦值为（ ）A25B57C105D14711.已知函数 ()(0)1xf，设 f（x ）在点 (,)nfN*）处的切线在 y 轴上的截距为 nb，数列na满足： 2， *)nnafN，在数列 2nba中，仅当 n=5 时， 2na取最小值，则 的取值范围是( )A. 1,9 B.(5.,4) C.(4.5,) D.(9,1) 12.若 21,F为双曲线 12byax的左右焦点， O为坐标原点，点 P在双曲线的左支上，点 M在双曲线的右准线上，且满足： )(,11 MFPMO0(，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2 B
6、. 3 C.2 D. 3第卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上 ）13.平面向量 a与 b的夹角为 60， ,2a， 1b，则 ba2.14.在120827x的展开式中，项 5x的系数为 .（用数字作答）15.在底面是边长为 6 的正方形的四棱锥 PABCD中，点 H 在底面的射影为正方形 ABCD- 4 -的中心，异面直线 PB 与 AD 所成角的正切值为 53，则四棱锥 PABCD的内切球与外接球的半径之比为 16.定义域为 R 的偶函数 f（x）满足对 xR，有 21fxff，且当 x2,3时，218fx
7、，若函数 log1ayf在 0,上至多有三个零点，则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.（本大题满分 12 分）已知ABC 三个内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，tanB+tanC= CcosBA3（1）求角 A 的大小；（2）当 a=2 时，求ABC 周长的最大值18(本小题满分 12 分)已知在三棱柱 ABCA 1B1C1中，B 1B平面 ABC，ABC=90，B 1B=AB=2BC=4，D、E 分别是 B1C1，A 1A 的
8、中点（1）求证：A 1D平面 B1CE；（2）设 M 是的中点，N 在棱 AB 上，且 BN=1，P 是棱 AC 上的动点，直线 NP 与平面 MNC 所成角为 ，试问： 的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由19(本小题满分 12 分)某企业招聘工作人员，设置 A、B、C 三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试，丙、丁两人各自独立参加 B 组测试已知甲、乙两人各自通过测- 5 -试的概率均为 ，丙、丁两人各自通过测试的概率均为 戊参加 C 组测试，C 组共有 6 道试题，戊会其中 4 题戊只能且必须选择 4
9、 题作答，答对 3 题则竞聘成功（）求戊竞聘成功的概率；（）求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率；（）记 A、B 组测试通过的总人数为 ，求 的分布列和期望20(本小题满分 12 分)已知抛物线2: (0)Cypx在第一象限内的点 (2, )Pt到焦点的距离为52（1）若1,0M，过点 M,P 的直线 1l与抛物线相交于另一点 Q，求|FP的值；（2）若直线 2l与抛物线 C 相交于 A,B 两点，与圆2:()1Mxay相交于 D,E 两点，O 为坐标原点，OAB，试问：是否存在实数 a，使得 |DE的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21(本小题满分
10、 12 分)已知函数 21(axexf.（1）讨论 )的单调性；（2）若 (xf有两个零点,求实数 a 的取值范围本题有(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中- 6 -22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为3cosinxy为 参 数，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 6cs42。（1 ）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程。（2 ）设点 P 为曲线 C 上
11、的任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值。23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)|x1|，(1)解不等式 f(x)2x1；(2) xR，使不等式 f(x2)f(x6)m 成立，求 m 的取值范围。- 7 -2018 届高三第一学期模拟考试数学(理科)试卷参考答案1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C 10.A 11.A 12.C13. 23 14. 26415. 61716.5,1,17.（1）tanB+tanC= ， = = = = ，sinA= cosA，tanA= ，又 0A，A= （2）由正弦定理得： ，b= =
12、 sinB，c= = sinC= sin（ B） ，b+c= sinB+sin（ B）=4（ cosB+ sinB）=4sin （B+ ） ，当 B+ = 即 B= 时，b+c 取得最大值 4ABC 周长的最大值 4+2=618.证明：（1）证法一（几何法）：连结 BC1，与 B1C 交于点 O，连结 EO，DO，在B 1BC1中，DO B1B，在四边形 B1BA1A 中，A 1E B1B，A 1E DO，四边形 A1EOD 是平行四边形，A 1DEOA 1D平面 B1CE，EO平面 B1CE，A 1D平面 B1CE- 8 -证法二（向量法）：如图，建立空间直角坐标系 Bxyz，由已知得 A（
13、4，0，0） ，C（0，2，0） ，B 1（0，0，4） ，C 1（0，2，4） ，D（0，1，4） ，E（4，0，2） ，则 =（4，1，0） ， =（0，2，4） ， =（4，0，2） ，设平面 B1CE 的一个法向量 =（x，y，z） ，则 ，取 x=1，得 =（1，4，2） ， =4+4=0，且 A1D平面 B1CE，A 1D平面 B1CE解：（2）设存在符合题意的点 P如图，建立空间直角坐标系 Bxyz，由已知得 A（4，0，0） ，C（0，2，0） ，M（2，0，3） ，N（1，0，0） ，则 =（1，0，3） ， =（1，2，0） ， =（4，2，0） ，设平面 MNC 的一个法
14、向量 =（x，y，z） ，则 ，取 x=6，得 =（6，3，2） ，设 = ， （01） ，则 = =（34，2，0） ，由题设得 sin=|cos |= = = ，设 t=1（01） ，则 =1t，且 0t1，sin= ，当 t=0 时，sin=0，当 0t1 时，sin= = = 当且仅当 ，即 t= 时，sin 取得最大值 ，此时 = 存在符合题意的点 P，且 = - 9 -19.（ I） 设“戊竞聘成功”为 A 事件，而事件 A 竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中 4 题都选上，另一种是选上会其中 4 题的其中 3 道题和另一道题，基本事件的总数为 P（A）= =（）设“参加 A 组
15、测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件，包括三种情况：第一种是甲乙两人都通过，而丙丁两人都没有通过；第二种情况是甲乙两人都通过，而丙丁两人种只有一人通过；第三种情况是甲乙两人中只有一人都通过，而丙丁两人都没有通过P（B）= + = （） 可取 0，1，2，3，4可得 P（=0）= = ，P（=1）=+ = ，P（=3）= + = ，P（=4）= = ，P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）P（=4）= 列表如下： 0 1 2 3 4PE= = 20.（ 1）点 (2, )Pt，52p，解得 p=1，故抛物线 C 的方程为： yx，当 x=2 时，t=2， 1l的方程为
16、45，联立可得2yx，18Q，- 10 -又12QFx，12PFx，1824QF .5 分（2）设直线 AB 的方程为 tym，代入抛物线方程可得20ytm，设 1(, )Axy 2(, )Bx，则 12t， 12y，由 O得： 1()0tty，整理得2 22()tytm，将代入 解得 m=2，直线 : lxty，圆心到直线 l 的距离 2|1adt，22()|1aDEt，显然当 a=2 时， |DE， |的长为定值 12 分21.(1)f(x)e x+(x1)e x-axx (ex-a)(1 分)(i)设 a0，则当 x(，0)时，f(x)0；当 x(0 ，)时，f(x)0，所以 f(x)在
17、( ，0)单调递减，在(0，) 单调递增(2 分)(ii)设 a0，由 f(x)0 得 x 0 或 xln a若 a1，则 f(x)x (ex-1) 0，所以 f(x)在(，)单调递增若 0a1，则 ln a0，故当 x( ，ln a) (0，)时，f(x)0；当 x(ln a，0)时，f(x) 0，所以 f(x)在(，ln a)，(0 ，)单调递增，在(ln a，0)单调递减(3 分)若 a1，则 ln a0，故当 x(，0)(ln a， )时，f (x)0；当 x(0，ln a)时，f(x)0，所以 f(x)在( ，0)，(ln a， ) 单调递增，在(0 ，ln a)单调递减(5 分)综
18、上所述，当 a0 时 f(x)在(，0) 单调递减，在(0，) 单调递增；当 0a1 时 f(x)在(，ln a)，(0，)单调递增，在(ln a，0) 单调递减；当 a1 时 f(x)在(，) 单调递增；当 a1 时 f(x)在(， 0)，(ln a，)单调递增，在(0，ln a)单调递减(6 分)(2)(i)设 a0，则由(1)知，f( x)在(，0) 单调递减，在(0，) 单调递增又 f(0)1，f(1) (a，取 b 满足 b-3 且 b=ln(a)，则 f(b)- a (b1)(a b 2( a(b2+2b-2)0.所以 f(x)有两个零点(8 分)(ii)设 a1，则 f(x)x
19、(ex-1)，所以 f(x)只有一 个零点(9 分)- 11 -(iii)设 0a1 ，则由(1) 知，f (x)在(，ln a)，(0，)单调递增，在(ln a，0)单调递减，f(0)1,当 b ln a 时，f(x )有极大值 f(b)=a (b1)( a b 2(a(b 2-2b+2) 0，故 f(x)不存在两个零点；当 a1 时，则由(1)知，f(x)在( ，0)，(ln a，)单调递增，在 (0，ln a)单调递减，当 x0 时，f (x)有极大值 f(0)10，故 f(x)不存在两个零点(11 分)综上，a 的取值范围为 a0(12 分)22.因为直线 l 的极坐标方程为 264cos，所以 26sinco2，即 03yx3 分曲线 C 的参数方程为 si3coyx（ 为参数）所以 1392x5 分设 sin,coP，则 P 到直线 l 的距离为23d6 分= sin38 分所以当 13si时，d 取最大值 26310 分23.(1)当 x10 即 x1 时，x12x1，1x0，当 x10 即 x1 时，x12x1，x1，不等式的解集为x|x05 分(2)f(x2)|x1|，f(x6)|x7|，|x1|x7|m， xR，使不等式|x1|x7|m 成立，m 大于|x1|x7|的最小值m810 分
