1、页 1 第2018 届福建省莆田第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题(全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.)1.设复数 z满足 ，则复数 z在复平面内的对应的点在（ ）1iA. 第一象限 B. 第二象限 C . 第三象限 D.第四象限2设x表示不大于 x（x R）的最大整数，集合 A=x|x=1，B=1，2 ，则 AB=（ ）A1 B1，2 C1，2） D1 ，23. 已知 ，命题 ，命题 ，使得,lnxfegx:,0pRf0:,qx，则下列说法
2、正确的是（ ）0gxA.p 是真命题， B. p 是假命题，00:,pxRf00:,pxfC. q 是真命题， D. q 是假命题，qgxqgx4.某高二（20）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在 内的人数分别为（ ）80,9A20 ，2 B24，4 C 25 ，2 D25 ，45.若双曲线 的离心率为 2，则 （ ） 21mxnymnA- B3 C 或 3 D 或 313116. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程
3、序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的 S 的值为（ ）A. 4 B. -5 C. 14 D. -23 7. 已知 均为正实数，若 ， ，且 ，则,xy(,)axy(2,)bab页 2 第的最小值是（ ）14xyA. B. C. D. 6232642638. 设 ，其中实数 ， 满足 ，若 的最小值为-3 ，则 的最大值为（ ）zxyxy0xykzzA6 B3 C 1 D 929.如图，正 A的中心位于点 G(0,)，A (,2)，动点 P 从 A 点出发沿 BC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度 Px ，向量 O在 (1,0)a方向的投影为 y（O 为坐标原点） ，则 y
4、关于 x 的函数 ()yfx的图像是（ ）10.已知点 P 为椭圆 上的一点，点 A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 PA 与 y 交于点2143xyM，直线 PB 与 x 轴交于点 N，则|AN|BM|的值为（ ）A.4 B.4 C. D. 434311.已知函数 （ 为常数， ）的图像关于直线 对称，则函数()sincofxaxaxR6x的图像（ ）()sincgxA. 关于直线 对称 B. 3关于点 对称,03页 3 第C. 关于点 对称 D. 关于直线 对称,03 6x12.已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 1y的对称点在1ykx的图象上，则实数 k的取值范围是（
5、）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.）13. 设函数 3log,09xff ，则 132ff的值为_14. 对于数 25，规定第 1 次操作为 ，第 2 次操作为 ，如此反复操作，则第323352017 次操作后得到的数是_.15.已知圆 的方程为 ， 是椭圆 上一点，过 作圆的两条切线，切点为 、C2()xyP14xyPA，则 的范围为_.BPA16. 等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ， ， 。naqnnT1a495014950a给出下列结论： ； ， 的值是 中最大的；使 成立的最大自然数
6、0149510a50nnT等于 98.其中正确的结论是 . n三、 （解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17(本小题满分 12 分) 地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取 100 名同学进行紧急避险常识知识竞赛图(1)和图(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按40,50)，50,60)，60,70)，70,80分组，得到的频率分布直方图(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中，同
7、一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(2)完成下面 22 列联表，并回答是否有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？页 4 第成绩小于 60 分人数 成绩不小于 60 分人数 合计七年级八年级合计附： ,其中 .临界值表：22()(nadbcKnabcdP(K2k) 0.10 0.05 0.010k 2.706 3.841 6.63518.（本小题满分 12 分）已知首项为 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn(nN *)，3且2S 2，S 3 4S4 成等差数列,(1)求数列a n的通项公式；(2)对于数列 ，若存在一个区间 ,均有 ，则称 为数列 的“容值区AM
8、)3,21(,iAi MnA间” 。设 ，试求数列 的“容值区间”长度的最小值.nnSb1nb19.（本小题满分 12 分）如图，在 中， 是边 的中点，BC,3tan5BA.27cosAMC（）求角 的大小；B（）若角 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积6AM7ABC20.（本小题满分 12 分）已知点 是抛物线 : 的准线与对称轴的交点， 是抛物线的焦点，E2ypxF是抛物线上一点满足 ，当 取最小值时，点 横坐标为 1.NNFmN（I）求抛物线 的方程；E（II）直线 交 轴于点 ，交抛物线 于不同的两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，)0(kbxyxCBA,xP点 关于 轴的对称点为
9、，求证： 三点共线.CQPA,21.（本小题满分 12 分）已知函数 在定义域内有两个不同的极值点.2lnafxxR（1）求实数 a 的取值范围；（2）记两个极值点为 ，且 ，已知 ，若不等式 恒成立，求 的取值范12,x120112xe围.页 5 第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.22 (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系 的原点，极轴为 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲xOyx
10、线 的极坐标方程为 .C)sin(co2（1 ）求 的直角坐标方程；（2 ）直线 （ 为参数）与曲线 交于 两点，与 轴交于 ，求 tyxl231: CBA,yEBA23 (本小题满分 10 分) 选修 45：不等式选讲设 1fxx（1 ）求 的解集；2（2 ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围1af0ax2017-2018 学年高三上学期期中考参考答案一.选择题 ADCDDC BBCBAA二.填空题 13. 0 14. 133 15. 16. 5623,9三.解答题17. 解析 (1)七年级学生竞赛平均成绩为(4530554065207510)10056(分)，八年级学生竞赛平
11、均成绩为页 6 第(4515553565357515)10060(分)(2)22 列联表如下：成绩小于 60 分人数 成绩不小于 60 分人数 合计七年级 70 30 100八年级 50 50 100合计 120 80 200 K2 8.3336.635，200 5030 5070 210010012080有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异” 18.（1） 5 分1)(nna（2）由（1）可知 nnS)2(当 为偶数时 ，易知 随 增大而增大， 1nS ，此时,43nSnnb125,当 为奇数时 ，易知 随 增大而增小，n)21(S ，此时3,1nSnnb63,2又
12、， 11 分2561,n故数列 的“容值区间”长度的最小值为 12 分nb6119.解：（）由题意可知 ，AMBC又 1 分27cosC所以 ， 2 分AB2sin7AB3tan2AMB4 分ttant()1tM，35231页 7 第又 ， 所以 6 分(0,)B23B（）由（1）知 ，且 所以， ，则 7 分6AC6ABC设 ，则Mx2x在 中由余弦定理得 ， 9 分AB2 2cosBMM解得 10 分 1故 12 分 24sin3ABCSx20.【答案】 （I） ；（II）证明见解析.y【解析】 （I）设 ，则(,),0)(,)2pNxMF当且仅当222222411333() 44xF p
13、xpmpp xxy时， 取得最小值.所以抛物线方程为： .2px 2yx（II）由条件可知 ，则 . )0,(kbC),(kQ联立 ，消去 得 ，xyk42y0422bxx. 0)1(6)(2bkb设 ，则, 221xyBxA2,yP,4,42121 kk .2142kbx因为 122(),81APyxbkk110()()2AQykxbk bkkx所以 三点共线. PAQP,21、解：（）由题意知，函数 f（x）的定义域为 （0，+），方程 f （ x）=0 在（0，+ ）有两个不同根； 即方 程 lnxax=0 在页 8 第（0 ， + ）有两个不同根； （解法一）转化为函数 y=lnx 与
14、函数 y=ax 的图象在（0，+）上有两个不同交点， 如右图 可见，若令过原点且切于函数 y=lnx 图象的直线斜率为 k，只须 0ak 令切点 A（x 0， lnx0）， 故 ，又 ，故 ，解得，x 0=e， 故 ， 故4 分（解法二）转化为函数 与函数 y=a 的图象在（0 ， + ）上有两个不同交点 又 ， 即 0xe 时，g （x ）0，xe 时，g（x）0 ， 故 g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+）上单调减 故 g（x）极大= g（e ）= ； 又 g（x）有且只有一个零点是 1，且在 x0 时，g （x），在在 x+时，g（x）0， 故 g（x）的草图如右图， 可见，要想函
15、数 与函数 y=a 的图象在（0 ，+）上有两个不同交点， 只须 4 分（解法三）令 g（x）= lnxax，从而转化为函数 g（x）有两个不同零点， 而 （x0 ）， 若 a0，可见 g（x）0 在（0 ，+）上恒成立，所以 g（x）在（0，+）单调增， 此时 g（ x）不可能有两个不同零点 若 a0，在 时，g （x）0，在 时，g（x）0， 所以 g（ x）在 上单调增，在 上单调减，从而 = ， 又因为在 x0 时，g （x ），在在 x+ 时，g（x ）， 于是只须：g （ x）极大0，即 ，所以 综上所述， 4 分页 9 第（）因为 等价于 1+ lnx 1+ lnx2 由（）可知
16、 x1，x 2 分别是方程 lnxax=0 的两个根， 即 lnx1=ax1，lnx 2=ax2 所以原式等价于 1+ ax 1+ ax2=a（x 1+ x2），因为 0，0x 1x 2， 所以原式等价于 又由 lnx1=ax1，lnx 2=ax2 作差得， ，即 所以原式等价于 ， 因为 0 x1x 2，原式恒成立，即 恒成立 令 ，t（0，1 ）， 则不等式 在 t（0，1 ）上恒成立 8 分令 ， 又 = ， 当 21 时，可见 t（0，1 ）时，h （t ）0 ， 所以 h（ t）在 t（0，1 ）上单调增，又 h（1）=0，h（ t）0 在 t（0，1）恒成立，符合题意 当 21 时，可见 t（0， 2）时，h（t）0 ，t（ 2， 1）时 h（t）0， 所以 h（ t）在 t（0， 2）时单调增，在 t（ 2，1）时单调减，又 h（1 ）=0， 所以 h（ t）在 t（0，1 ）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去 综上所述，若不等式 恒成立，只须 21，又 0，所以 1 12 分22【答案】 （1） （2）21xy5页 10 第23【答案】(1) ；（2） 0x3,2（2）1211223aaa当且仅当 时，取等号8 分0由不等式 对任意实数 恒成立，可得12fxa0a13x页 11 第解得： 或 32x故实数 的取值范围是 10 分3,2
