1、2018 届福建省永春县第一中学高三上学期期初考试数学（理）试题考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 第 I 卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 集合 ，集合 ，则lg10Mx1NxMNA. B. C. D. 0,12. 设复数 z满足 (2)5i，则 zA 3i B 3i C 23i D 23i3. 已知等比数列a n 的 ，若 14,a成等差数列，则7S1aA. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 实数设 ， ， ，的大小关系正确的是 149157b27log9cAacb Ba bc Cc ba Dbc a5
2、. 给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应 填入的条件是Ai10？ B i10？ Ci20？ Di20？ 6.将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位后，sin()cos()2yxx8得到一个偶函数的图象，则 的取值不可能是A B C D5444347.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范()21)xfea10x0()fxa围为A B C D3,)e3,)4e3,)24e3,1)2e8. 甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 32，甲胜丙的概率为 1，乙胜丙的概率为 5.则甲获第一名且丙获第二名的概率
3、.A. B. C. D. 1630129. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A. B. 80 380C. D.40 410. 公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数 的动点轨迹为圆后来人们称该1圆为阿波罗尼斯圆若点 为双曲线 的左、右焦点，点 为其左、右顶点。直BA,2:3yCxNM,线 为双曲线的其中一条渐近线，动点 满足 ，记点 的轨迹为 ，则l PBAPCA点 B点 C 与 相切 D 与 相交CMNll11. 在棱长为 3 的正方体 中， 在线段 上，且 ，
4、为线段 上的动1AD1121B点，则三棱锥 的体积为PA1 B C D与 点的位置有关29M12. 如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB3，AC 4， D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交与点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点 D1 重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1 的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2 重合，折痕与 AD 交于点 P3；设 Pn1 Dn2 的中点为 Dn1 ，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点 Dn1 重合，折痕与 AD 交于点 Pn(n2)，则
5、AP6 的长为A. B. C. D. 5321365295361437521第 II 卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13. 设变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值 2yx3zxy14. 学校为了解同学的上学的距离，随机抽取 50名同学，调查他们的居住地与学校的距离 d(单位:千米 )若样本数据分组为 ,2， (,4，(4,6， ,8， ,10， (,2，由数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中同学与学校的距离不超过 4千米的人数为 人15. 展开式中不含 y 的各项系数之和为 .5)3(yx16.已知函数 。任取实数 ，以 为三边长可以构成三角形，221fxk,1,
6、abc,fabfc则实数 的取值范围为 。k三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC, ,abc CABCAsinsinisin222（1）求 的大小；（2）设 的平分线 交 于 ， ， ，求 的值ADBC231BDsi18. （本小题满分 12 分）在一次文、理科学习倾向的调研中，对高一年段 名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为10分） 测试后，随机抽取若干名学生成绩（理综成绩记为 ，文综成绩记为 ） ，将文综、理综成绩分30 XY差绝对值 记为 ，并将其分组统计制成下表YXZ分组 ,20),4)0,6)
7、,80),10),120),4频数 41824(第 17 题)图）ABCD（）如果将样本中女生的 值分布情况制成相应的Z频率分布直方图（如图所示） ，已知 的频数为60,8)25估计全体学生中， 的男、女生人数)2,（）记文综、理综成绩分差绝对值的平均数为 ，Z如果将 称为整体具有显著学科学习倾向，估计年段60Z女生的 值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向19. （本小题满分 12 分）如图，在等腰梯形 中， ， ， ，四边形 为矩形，ABCD/ 1ADCB60ACACFE平面 平面 ， .FE1F（1）求证： 平面 ；E（2）点 在线
8、段 上运动，设平面 与平面 二面角的平面角为 ，试求 的取MMF(90)cos值范围.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 (a b 0)的一个焦点是 F (1,0)，O 为坐标原点.12yax（1）已椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点 F 的直线 L 交椭圆于 A，B 两点，若直线 L 绕点 F 任意转动，恒有|OA| 2 + |OB|2 |AB| 2，求a 的取值范围.21. （本小题满分 12 分）已知函数 )()(Rxef（1）求函数 的单调区间和极值；)(xf（2）已知函数 与函数 的图像关于直线 x = 1 对称，证明：当 x1 时，f(x
9、) g(x)；g)(xfy（3）如果 ，证明： .)(,2121fxf且 21请考生在 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，直线 tyxl3:（为参数） ，曲线 sin1co:yxC（ 为参数） ，以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的方程为 sin32co（1）分别求曲线 1C的极坐标方程和曲线 2的直角坐标方程；（2）设直线 l交曲线 于 AO,两点，直线 l
10、交曲线 2C于 BO,两点 ， 求 A的长23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 2,fxxaR（1）当 3a时，解不等式 0f；（2）当 ,x时， x恒成立，求 a的取值范围永春一中 2018 届高三（上）期初考数学（理科）参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B7.D 8.D 9.C 10.D 11.B 12.A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13.-8 14.24 15. 16.102423,三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤。17.解：（1） CABCAsinsinisin2222 分acba24 分21cos2B5 分(0,)6 分3（2）在 中,由正弦定理：ABDsiniADB8 分31sin2sin410 分17cocsin268BACBAD12 分2275sin1os1()8C18.解：（）依题意，由频率分布直方图可知，女生 的频率为 ，)80,6Z 8032)16502160160( 故 2 分321a由频率分布直方图可知，女生 的频率为 )8,Z24则样本中女生总人数为 4 分506则女生 的频数为 )20,Z321结合统计表可知，男生 的频数为 6 分),Z41又样本容量为 ，故样本中，男、女生
12、的频率分别为 与 ，)0,Z3201采用频率估计概率，样本估计总体的统计思想，年段 名学生中， 约有男生 名，女生),Z15名 8 分5（）依题意，样本女生文、理综分差绝对值 平均数 约为YXZZ10 分3102105851617090388065.2采用样本估计总体的统计思想，全体女生 .2因为 ，所以年段女生整体具有显著学科学习倾向12 分62.19.（1）证明：在梯形 中，ABCD ， ， ，/AB160AB ，2 ，2cos3C ，2AB ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，FEABCDFEABCDABCD 平面 .C（2）由（1）可建立分别以直线 为 轴， 轴， 轴的如图所示空间
13、直角坐标系，,xyz令 ，则 ，(03)FM(0)(3,0)(,1)(,0)ABM .,1AB设 为平面 的一个法向量，1()nxyzB由 ，得 ，10BM30xyz取 ，则 ，x1(,)n 是平面 的一个法向量，2(,0)FCB .1222|11cos3()(3)4n ，当 时， 有最小值 ，030cos7当 时， 有最大值 ，cos12 .71cos,220.解（1）设 M，N 为短轴的两个三等分点，由 MNF 为正三角形， 3,2OFMN即 1= ， 椭圆的方程为 . 4 分32b23,4a2143xy(2)AB 与 x 轴重合，则 5 分222, .OABAaBAAB 与 x 轴不重合
14、，令 AB 方程为 ，联立 ，即1xmy21xyb，且 ，7 分222()0abmyba21212,mbaa恒有 ,故 为钝角，即 恒成立，9 分22OABAOB120ABxy整理得 对于 恒成立，此时 的最小值为 0.2ababmRb220,又 ，1，解得 12 分2242(),1aba512a21.解：（1） 在 上增，在 上减，故 在 x=1 处 (),xfe(f,()fx取得极大值 4 分1（2）因为函数 的图像与 的图像关于直线 x=1 对称，()fx()gx所以 = ，g22e令 ，则()()Fxfx2()()xxFe又 ，当 时有 ，21xe 10F在 上为增函数， . 8 分(
15、)x,)()(3) 在 上增，在 上减，且 ，f,12xx 1, x2 分别在直线 x=1 两侧，不妨设 x11, 即 ， 12(),fg1()fxf21,x又 . 12 分1,x12x1222.解：（1）圆 的标准方程为： 即：圆 的极坐标方程为： 即： 圆 的方程为： 即：圆 的直角坐标方程为：（2）直线 的极坐标方程为 ,圆 的极坐标方程为：所以圆 的方程为所以故23.解： （3 分）当 时， ，即 ，解得 ；当 时， ，即 ，所以 ；当 时， ，即 ，所以 ，不等式解集为 ；（5 分）（2）由题意，得当 ，不等式 为 ，即 ，解得 或 恒成立，则由条件，得 ，即 ，故 的取值范围 （10 分）
