1、南安一中 20172018 学年上学期高三年期末考试(理科数学)一、选择题：(每小题 5 分，共 60 分)1.已知全集 ，设集合 |lg(1)Axy，集合 2,1xBy则 ()UACB=（ ） RUA 1,2 B 1,2 C ,2 D 2.如图，将半径为 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分),现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A. B. C D.411123.若复数 满足 ，则复数 的虚部为( )z2()izA B C D10i14.已知 是公差为 的等差数列, 为 的前项和,若 ,则 （ ）na1nSa84S0aA. B. C. D.7292102
2、5.已知函数 ，则 等于( )1l()xxf (lg2)f1lfA B. C D10 26.已知 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.()nx48B C D12 1210297.九章算数中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( ) A B. C D242426428.如图,给出的是计算 的值的一个程序框图，11+0则图中判断框内处和执行框中的处应填的语句是( )A. B 10,in,2inC D52509.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 分别为双曲线 的左右
3、焦点，2:14xyCb(0)62yx12,FC为双曲线 上的一点， ，则 的值是（ ）PC12|:|3:PF21|PFA B C D4260610510. 已知函数 ( 均为正的常数 )的最小正周期为 ，当 时，函数)sin)(xAxf , 32x取得最小值，则下列结论正确的是（ ）)(xfA B)0(2ff )2()0(ffC D)(f 211. 已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位于 轴的两侧，且 （ 为坐标F2yx,Ax6OAB原点） ，若 与 的面积分别为 和 ，则 最小值是( ) ABO1S2124SA. B. C. D. 73263312. 已知函数 ,若有且只有两个整数
4、, 使得 ,且ln24(0)fxaxa1x210fx,则 的取值范围是（ ）20fxaA. B. C. D. ln3l3,ln30,ln3二、填空题：(每小题 5 分，满分 20 分)13.已知向量 ， ,若 ，则实数 的值为 .)1,(a46(b)(batt14. 若实数 满足不等式组 ，则 的最大值和最小值之和为 .,xy21xy22(+)3xy15. 某运动队对 四位运动员进行选拔,只选一人参加比赛,在选拔结果公布前,甲、乙、丙、丁四,ABCD位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是 或 参加比赛” ；乙说：“是 参加比赛” ；丙说：“CDB都未参加比赛” ；丁说：“是 参加比赛”.若这
5、四位教练中只有两位说的话是对的,则获得参赛的运,D动员是 .16在 中，若 ，点 ， 分别是 ， 的中点，则 的取值范围为 ABC3sin2iBEFABECF三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17.(12 分）已知数列 的前 项和 na24nS（1 ）求数列 的通项公式； na（2 ）求数列 的前 项和72n.nT18.(12 分）矩形 中， ， ，点 为 中点，沿 将 折起至 ，如ABCD12ADEABEAPBE下图所示，点 在面 的射影 落在 上.PEOB（1）求证： ； BPCE（2）求二面角 的余弦值.D19(12 分）2018 年某
6、市创建文明城市圆满结束，成绩优异.在创建文明城市过程中，为增强市民的节能环保意识,该市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是： 20,5,30,53,405（1）求图中 的值,并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ,岁的人数；x（2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20名中随机选取 3 名志愿者担任主要负责人，记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 ，求 的分X布列及数学期望20.（12 分)已知椭圆 过
7、点 两点2:1xyCab2,0,1AB（1）求椭圆 的方程及离心率； （2）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，PPyMPBxN求证：四边形 的面积为定值ABNM21.（12 分) 已知函数 .211ln2fxaax(1) 设 ，求函数 的单调区间；gxg(2) 若 , 设 ， 为函数 图象上不同的两点，且满足0a1,Axf 2,Bxffx，设线段 中点的横坐标为 证明： .12fxfB001a请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分。22. （10 分)在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，在极坐标系
8、(与直角xoyl253tyx坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴)中，圆 的方程为xoyOxC. sin52(1)求圆 的圆心到直线 的距离；Cl(2)设圆 与直线 交于点 、 .若点 的坐标为 ，求 .ABP)5,3(PBA23.（10 分)已知函数 错误！未找到引用源。 .（1）求 错误！未找到引用源。 的图象与轴围成的三角形面积；（2）设错误！未找到引用源。，若对 错误！未找到引用源。 恒有 错误！未找到引用源。 成立，求实数 的a取值范围.南安一中 20172018 学年上学期高三年期末考试理科数学参考答案 1、 选择题：（512=60）（1 ） C （2 ）
9、 A （3） B （4） B （5 ） D （6 ） D（7 ） C （8 ） C （9） C （10） A （11 ） B （12 ） C二、填空题：（45=20）（13 ） ； （14） ； (15) ； （16 ） 5352 17(,)4811.【解析】设直线 的方程为 ，点 ，直线 与 轴交点ABxtym12,AxyBABx为 联立 ，可得 ，根据韦达定理得 。0,Mm2xty2t 12ym ，即 6OAB126211260yy 位于 轴的两侧 ,x123m设点 在 轴的上方，则 10y,4F 121211113943 262Syy当且仅当 ，即 时取等号 的最小值是19y1y124S
10、.12. 【 解析】由题意可知, ,即 , 0fxln0,xaa,设 ,由 ,可知2ln4axa2l4,2ghx12 xgx,在 上为减函数,在 上为增函数, 的图象恒过点 ,lg1021a0在同一坐标系中作出 的图象：若有且只有两个整数 ,使得 ,且 ,则,gxh12x10fx2fx,即 ,解得 .013ahg023aln2ln3a16.【 解析】 为 中点，由 得 ，EACcoscosBEAC22bBEca同理可得 ，已知 , ， ，22Fba3in2i3b2218，设 ，2279bCFa22218()749baBEabCF2135698ba4bta结合 ，由 .23cb,cab23,55
11、aa, 故答案为 .221514917,6648BEBECFtCF17(,)48三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）解：（1）当 时, ，3 分2n221415nnaSnn当 时， 适合上式， 4 分113 5 分5n(2) 令 ， 所以 ， 172nnab232145n nT， 7 分 两式相减得：3142nT8 分21n10 分12n11 分 故 12 分3n 1362nnT18.（本小题满分 12 分）解：（1）由条件，点 在平面 的射影 落在 上PBCDEOBE平面 平面 ， 1 分BE3 分222,C,P
12、BEPBCDEBCDE平 面 平 面 平 面 平 面 平 面平面 ，5 分EB而 平面 6 分 BPEPBC（2）以 为坐标原点，以过点 且平行于 的直线为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴，OODxOBCy直线 为 轴，建立如图所示直角坐标系z则 ， ， ， 8 分1,02B13,02C13,02D2,P设平面 的法向量为PD11,xyz则 ，即 ，令 ，可得10C132012120,3设平面 的法向量为B2,xyz则 ，即 ，令 ，可得 10 分20P2y22,011 分12123cos,考虑到二面角 为钝二面角，则二面角 的余弦值为 12 分BPCDBPCD3119.（本小题满分 12
13、分）解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除 40,35外的频率和为 0.70，(2 分)所以 0.7.65x，(4 分)所以 500 名志愿者中，年龄在 40,35岁的人数为 .615(人)；(5 分)（2）用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄 “低于 35 岁” 的人有 12 名， “年龄不低于 35 岁 ”的人有 8 名(6 分)故 X的可能取值为 0,1,2,3，2851403CXP， 9528130CXP，9201， 712, (8 分)故 的分布列为： X0 1 2 3P2851492895471(11 分)所以 144170328595EX(12 分)20. （本
14、小题满分 12 分）解：（1）由题意得， ，,ab所以椭圆 的方程为 ，(2 分)C214xy又 ,所以离心率 (5 分)23cab32cea（2）设 ，则 ，00,Pxy04xy又 ，所以直线 的方程为 ，,1ABPA02x令 ，得 ， (7 分)0x02Myx从而 ，直线 的方程为 01mBPB01yx令 ，得 ，从而 ，(9 分)0y0Nxy02NAxy所以四边形 的面积：ABM20000044811212 2xyxxySyy004xy从而四边形 的面积为定值(12 分)ABNM21.（本小题满分 12 分） 解：(1) , 1 分21ln2gxax22 axg 时， 定义域为0a0,当
15、 时 ，故 在 上单调递减；2,xgxgx,a当 时 ，故 在 上单调递增. 3 分,a02, 时， 定义域为0gx,当 时 ，故 在 上单调递增；2,xa0gx2,a当 时 ，故 在 上单调递减. 5 分,0gx,0(2) 12012axxa，故 在定义域 上单调递增.7 分2 0fxf0,只需证： ，即证 (*) 12ffa221fxfxa注意到 不妨设 . 12,fxff120令 ，9 分2 211lnlnFffxaxaxaaxa则 ，11 分32222 2411 0xxaxaxa从而 在 上单减，故 ， 即得(*)式. 12 分F,a2F22.（本小题满分 10 分）解：（1）.由 2
16、 sin ，得 x2y 22 y0，(1 分)5 5即圆 C 的直角坐标方程为 x2(y )25。(2 分)5由 (3 分)325xty可得直线 l 的普通方程为 x y 30。(4 分)5所以圆 C 的圆心(0， )到直线 l 的距离为 。(5 分)5|0 5 5 3|2 322（2）.将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，可得t23 t40。(6 分)2由于 (3 )24420，故可设 t1， t2是上述方程的两个实根，2所以当 (8 分)123t又直线 l 过点 P(3， )，故由上式及 t 的几何意义得5|PA| PB| t1| t2| t1 t23 。(10 分) 223.（
17、本小题满分 10 分）解：（） 错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。(2 分)， 错误！未找到引用源。 的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ，(3 分)错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。 的图象与轴围成的三角形面积是错误！未找到引用源。(5 分)（）错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ，当且仅当 错误！未找到引用源。 时， 错误！未找到引用源。 有最小值 错误！未找到引用源。 (7 分)又由（）可知，对 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 (8 分)错误！未找到引用源。 恒有 错误！未找到引用源。 成立，等价于 错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ，(9 分)等价于 错误！未找到引用源。 ，即 错误！未找到引用源。 ，实数的取值范围是 错误！未找到引用源。(10 分)
