1、1 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 知识整合与阶段检测 对应学生用书P24 对应学生用书P24 绝对值不等式的解法 求解绝对值不等式或根据绝对值不等式解集及成立情况求参数的值或取值范围问题， 是高考中对绝对值不等式考查的一个重要考向，每年高考均有重要体现，以填空题、解答 题为主，属中档题，解绝对值不等式的基本思想，是转化、化归，不等式的性质是实现 “转化”的基本依据，通过利用绝对值的几何意义、平方法、零点分区间讨论法等将绝对 值不等式转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解 例1 不等式|x1|x|0时， x ，得a2. 4 a 2 a (2)法一：记h(
2、x)f(x)2f( )， x 23 则h(x)Error! 所以|h(x)|1，因此k的取值范围是k1. 法二：Error!f(x)2f Error! ( x 2 ) |2x1|2|x1| 2Error!1， 由 Error!f(x)2f Error!k恒成立，可知k1 ( x 2 ) 所以k的取值范围是k1. 平均值不等式的应用 利用平均值不等式求函数的最值及解实际问题，为近几年新课标各省市高考的热点， 常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出现在利用平均值不等 式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：x、y为正数“和”或“积”为定 值等号一定能取到，这三个条件缺一不可 例
3、3 当00，tanx0. ( 0， 2 ) 1 tan x 故f(x) 4tan x2 4. 1 tan x 1 tan x 4tan x 答案 C 例4 为了提高产品的年产量，某企业拟在2014年进行技术改革经调查测算，产 品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m0)满足x3 (k为常数)如果 k m1 不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为 8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均 能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固 定投入和再投入两部分资金)4 (1)将20
4、14年该产品的利润y万元(利润销售金额生产成本技术改革费用)表示 为技术改革费用m万元的函数； (2)该企业2014年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意可知，当m0时，x1(万件)， 13k.k2.x3 . 2 m1 每件产品的销售价格为1.5 (元)， 816x x 2014年的利润 yx (816x)m 1.5 816x x 29(m0) 16 m1 m1 (2)m0， (m1)2 8， 16 m1 16 y29821. 当 m1，即m3，y max 21. 16 m1 该企业2014年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大. 不等式的证明 证明不等式是近
5、几年新课标高考的一个热点考向，常以解答题的形式出现，常与函数、 数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有： 1比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法 证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是 证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简 或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用 一切有效的恒等变形的方法 例5 已知ab0，求证：2a 3 b 3 2ab 2 a 2 b. 证明 2a 3 b 3 (2ab 2 a 2 b) 2a(a 2 b 2 )
6、b(a 2 b 2 ) (a 2 b 2 )(2ab) (ab)(ab)(2ab)5 因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0， 即2a 3 b 3 2ab 2 a 2 b. 2综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方向是“顺推” ，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条 件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论：证明时要注意 的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要 先考虑是否具备应有的条件，避免错误、如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的 条
7、件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握 例6 设x0，y0，z0，求证： xyz. x2xyy2 y2yzz2 证明 x2xyy2 ( x y 2 ) 2 3y2 4 x ， y 2 z ， y2zyz2 ( z y 2 ) 2 3 4 y2 y 2 由得： xyz. x2xyy2 y2zyz2 3分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基 本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推” ，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它 成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式 当要证的不等式不知从何入手时，可
8、考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结 论复杂的题目往往更为有效 由教材内容可知，分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法 是“由因导果” ，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来 说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途 径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用 例7 已知a0，b0，且ab1，6 求证： 2. a 1 2 b 1 2 证明 要证 2， a 1 2 b 1 2 只要证 2 4， ( a 1 2 b 1 2 ) 即证ab12 4. ( a 1 2 )( b 1 2 ) 只要证：
9、 1. ( a 1 2 )( b 1 2 ) 也就是要证：ab (ab) 1， 1 2 1 4 即证ab . 1 4 a0，b0，ab1. 1ab2 ， ab ab ，即上式成立 1 4 故 2. a 1 2 b 1 2 4反证法和放缩法证明不等式 (1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命 题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说 明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确 (2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到 证明的目的 例8 已知a0，求证 a 2. a2 1 a2 2
10、 1 a 证明 假设 2，Bx|x 2 6x82x|x3或x1”是“ 1， 1 a 1a a 所以“a1”是“ 0，ac0 c a b a ba c C D c，a0，即 0，可得 ，故A恒成立 1 a b a c a b0，故B恒成立 ba c c0. 又aca 2 ，而ca，对于xR均成立，那么实数a的取值范围是( ) A(，5) B0,5) C(，1) D0,1 解析：由绝对值的几何意义知|x2|x3|表示的是x与数轴上的点A(3)及B(2) 两点距离之和，A，B两点的距离为5，线段AB上任一点到A，B两点距离之和也是5.数轴 上其它点到A，B两点距离之和都大于5， |x2|x3|5，故
11、a2 ， 2 ， a b b a b a a b 相加得 2 2 a b b a b a a b 即 . a b b a a b 答案：M N 6(湖南高考)若关于x的不等式|ax2|0，则 ， ， 从大到小的顺序为_ 1 2 a 1 2 a1 1 a a1 解析：a0，2 . 1 2 a 1 a a1 1 2 a1 答案： 1 2 a 1 a a1 1 2 a1 三、解答题 9某数列由下列条件确定：x 1 a0，x n1 ，nN . 1 2 ( xn a xn ) (1)证明：对n2总有x n ； a10 (2)证明：对n2总有x n x n1 . 证明：(1)由x 1 a0，及x n1 可
12、以归纳证明x n 0，从而有x n1 1 2 ( xn a xn ) 1 2 (nN )，所以当n2时，x n 成立 ( xn a xn ) xn a xn a a (2)当n2时，因为x n 0，x n1 ， a 1 2 ( xn a xn ) 所以x n1 x n x n 0. 1 2 ( xn a xn ) 1 2 ax2 n xn 故当n2时，x n x n1 成立 10已知关于x的不等式|ax1|axa|1(a0) (1)当a1时，求此不等式的解集； (2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围 解：(1)当a1时，得2|x1|1， |x1| ，x 或x ， 1 2 3 2 1 2
13、 不等式的解集为Error!. (2)|ax1|axa|a1|， 原不等式解集为R等价于|a1|1， a2或a0. 又a0，a2. 实数a的取值范围为2，) 11(1)设x是正实数，求证：(x1)(x 2 1)(x 3 1)8x 3 ； (2)若xR，不等式(x1)(x 2 1)(x 3 1)8x 3 是否仍然成立？如果成立，请给出证 明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x值 解：(1)证明：x是正实数， 由基本不等式知， x12 ，1x 2 2x，x 3 12 ， x x3 故(x1)(x 2 1)(x 3 1)2 2x2 8x 3 (当且仅当x1时等号成立) x x3 (2)若xR，不等
14、式(x1)(x 2 1)(x 3 1)8x 3 仍然成立 由(1)知，当x0时，不等式成立； 当x0时，8x 3 0. 而(x1)(x 2 1)(x 3 1)11 (x1) 2 (x 2 1)(x 2 x1) (x1) 2 (x 2 1) 0， ( x 1 2 ) 2 3 4 此时不等式仍然成立 对应学生用书P49 (时间90分钟，总分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1若 0，则下列结论不正确的是( ) 1 a 1 b Aa 2 b 2Babb 2 C. 2 D|a|b|ab| b a a b 解析：法一：(特殊值法)：令a1，b2，代入A、B、C、D中，知D
15、不正确 法二：由 0，得ba0，所以b 2 ab，aba 2 ，故A、B正确 1 a 1 b 又由 0， 0，且 ，得 2正确 b a a b b a a b b a a b 从而A、B、C均正确，对于D，由ba0|a|b|. 即|a|b|0，而|ab|0. 答案：D 2设a，b，cR ，则“abc1”是“ abc”的( ) 1 a 1 b 1 c A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要的条件 解析：当abc2时，有 abc，但abc1，所以必要性不成立； 1 a 1 b 1 c 当abc1时， ，abc 1 a 1 b 1 c bc ac ab
16、 abc bc ac ab ，所以充分性成立，故“abc1”是 abbcac 2 ab bc ac12 “ abc”的充分不必要条件 1 a 1 b 1 c 答案：A 3不等式Error!的解集是( ) A(0,2) B(0,2.5) C(0， ) D(0,3) 6 解析：用筛选法，容易验证x2是不等式的解，否定A；x 不是不等式的解，否定 5 2 D；x 使 与 取“” ， ，故否定B. 6 3x 3x | 2x 2x | 6 5 2 答案：C 4若ab0，则下列不等式中一定成立的是( ) Aa b B. 1 b 1 a b a b1 a1 Ca b D. 1 b 1 a 2ab a2b a
17、 b 解析：ab0 0， 1 b 1 a a b . 1 b 1 a 答案：A 5若不等式x 2 |2x6|a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是( ) A7 B9 C5 D11 解析：令f(x)x 2 |2x6|， 当x3时，f(x)x 2 2x6(x1) 2 79； 当x0， a 3 b 3 c 3 3abcabc0. 答案：abc0 14用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是_cm 2 . 解析：设矩形长为x cm(00,8x0，15 可得S 2 16，当且仅当x8x即x4时，S max 16. ( x8x 2 ) 所以矩形的最大面积是16 cm 2 . 答案
18、：16 三、解答题(本大题共4小题，共50分) 15(本小题满分12分)已知函数f(x)|x8|x4|. (1)作出函数yf(x)的图象； (2)解不等式|x8|x4|2. 解：(1)f(x)Error! 图象如下： (2)不等式|x8|x4|2，即f(x)2. 由2x122，得x5. 由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(，5) 16(本小题满分12分)设a，b，c，d是正数，求证：下列三个不等式： ab0，4cd0，b0，且 . 1 a 1 b ab (1)求a 3 b 3 的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由 解：(1)由 ， ab 1 a 1 b 2 ab
19、得ab2，且当ab 时等号成立 2 故a 3 b 3 2 4 ，且当ab 时等号成立 a3b3 2 2 所以a 3 b 3 的最小值为4 . 2 (2)由(1)知，2a3b2 4 . 6 ab 3 由于4 6，从而不存在a，b，使得2a3b6. 3 18(本小题满分14分)(辽宁高考)设函数 f(x)2|x1|x1，g(x) 16x 2 8x1.记f(x)1 的解集为M，g(x)4 的解集为N. (1)求M； (2)当 xMN时，证明：x 2 f(x)xf(x) 2 . 1 4 解：(1)f(x)Error! 当x1时，由f(x)3x31得x ， 4 3 故1x ； 4 3 当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1. 所以f(x)1的解集为M 4 0 3 x x .17 (2)证明：由g(x)16x 2 8x14， 得16 2 4，解得 x . ( x 1 4 ) 1 4 3 4 因此N 1 3 4 4 x x ， 故MN 3 0 4 x x . 当xMN时，f(x)1x，于是 x 2 f(x)xf(x) 2 xf(x)xf(x)xf(x)x(1x) 2 . 1 4 ( x 1 2 ) 1 4
