1、2015-2016 学年浙江省杭州市七校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=2，3，4，B=1，4，则（ UA） B 为（ ）A1 B1，5 C1，4 D1 ，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】由全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=2，3，4先求出 CUA=1，5，再由B=1，4，能求出（ CUA） B【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=2，3，4，CUA=1，5，B=1，4 ，（
2、 CUA）B=1，4，5故选：D【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2设 a，b 是实数，则“ab 0”是“a+b0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件已知【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；试验法；简易逻辑【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可【解答】解：a，b 是实数，如果 a=1，b=2 则“a+b0”，则“ab0”不成立，不是充分条件，如果 a=1，b=2，ab0，但是 a+b0 不成立，不是必要条件，所以设 a，b 是实数，则“ab 0”是“a+b0”的
3、既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查3设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，且 a1a7+a13=6，则 S13=（ ）A78 B91 C39 D2015【考点】等差数列的前 n 项和【专题】等差数列与等比数列【分析】在等差数列a n中，由 a1a7+a13=6，解得 a7=6，再由等差数列的通项公式和前 n项和公式能求出 S13 的值【解答】解：等差数列a n中，a1a7+a13=6，2a7a7=6，解得 a7=6S13= 故选：A【点评】本题考查了等差数列的性质，灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值，是一道基础题4已知函数 ，下面四个
4、结论中正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期为 2B函数 f（x）的图象关于直线 对称C函数 f（x）的图象是由 y=2cos2x 的图象向左平移 个单位得到D函数 是奇函数【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性【专题】计算题【分析】由 f（x）=2cos（2x+ ）可求得周期 T=，从而可判断 A 的正误；将 代入 f（x）=2cos（2x+ ）可得 f（ ）的值，看是否为最大值或最小值，即可判断 B 的正误；y=2cos2x 的图象向左平移 个单位得到 y=2cos2（x+ ）=2cos（2x+ ），显然 C 不对；f
5、（x+ ）=2cos（2x+ ）=2sinx ，可判断 D 的正误【解答】解：f（x）=2cos（ 2x+ ），故周期 T=，可排除 A；将 代入 f（x）=2cos（2x+ ）可得：f（ ）=2cos =02，故可排除 B；y=2cos2x 的图象向左平移 个单位得到 y=2cos2（x+ ）=2cos（2x+ ），故可排除 C；f（x+ ）=2cos（2x+ ）=2sinx ，显然为奇函数，故 D 正确故选 D【点评】本题考查余弦函数的奇偶性与对称性及其周期的求法，关键是熟练掌握三角函数的性质，易错点在于函数图象的平移变换的判断，属于中档题5函数 f（x）的部分图象如图所示，则 f（x）的
6、解析式可以是（ ）Af（x）=x+sinx BCf（x）=xcosx D【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（ ，0），排除选项，得到结果【解答】解：依题意函数是奇函数，排除 D，函数图象过原点，排除 B，图象过（ ，0）显然 A 不正确，C 正确；故选 C【点评】本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型6在ABC 中， =（cos16，sin16）， =（2sin29，2cos29 ），则ABC 面积为（ ）A B C D【考点】向量在几何中的
7、应用【专题】向量法；平面向量及应用【分析】根据向量 ， 的坐标及两角和的正弦公式、向量夹角的余弦公式便可求出cosB，从而求出 sinB，而 ABC 的两边 BA，BC 的长度可以求出，从而根据三角形的面积公式便可求出ABC 的面积【解答】解：cos B= =； ； = 故选 A【点评】考查向量夹角余弦的坐标公式，两角和的正弦公式，sin 2+cos2=1，以及三角形的面积公式：S= 7若 （ ，）且 3cos2=4sin（ ），则 sin2 的值为（ ）A B C D【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件化简可得 3（cos +sin）=2 ，平方可得
8、 1+sin2=，从而解得 sin2 的值【解答】解：（ ，），且 3cos2=4sin（ ），3（ cos2sin2）=4（ cos sin），化简可得：3（cos+sin ）=2 ，平方可得 1+sin2=，解得：sin2 =，故答案为：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题8已知函数 ，若方程 f（x）=x+a 在区间2， 4内有 3 个不等实根，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa|2a0 Ba|2a0Ca|2 a0 或 1a 2 Da|2a0 或 a=1【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用【分析】作出函数 y=f（x）和 y=x+a
9、的图象利用两个图象的交点个数问题确定 a 的取值范围【解答】解：若 0x2，则2x2 0，f（ x）=2f（x 2）=2（1|x 2+1|）=2 2|x1|，0x2若 2x4，则 0x22，f（ x）=2f（x 2）=2（22|x 21|）=44|x 3|，2 x4f（ 1）=2，f（2）=0 ，f （3）=4设 y=f（x）和 y=x+a，则方程 f（x）=x+a 在区间2，4内有 3 个不等实根，、等价为函数 y=f（x）和 y=x+a 在区间 2，4 内有 3 个不同的零点作出函数 f（x）和 y=x+a 的图象，如图：当直线经过点 A（2，0）时，两个图象有 2 个交点，此时直线 y=
10、x+a 为 y=x2，当直线经过点 O（0，0）时，两个图象有 4 个交点，此时直线 y=x+a 为 y=x，当直线经过点 B（3，4）和 C（1，2）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y=x+a 为y=x+1，要使方程 f（x）=x+a 在区间 2，4内有 3 个不等实根，则 a=1 或 2a 0故选：D【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法二、填空题：（本大题共 7 个小题，第 9-12 题每题 6 分，13-15 题每题 4 分，共 36 分.）9lg0.01+log 216= 2 ； = 6 【考点】对数的运算性质【专题】函数
11、思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出【解答】解：lg0.01+log 216=2+4=2；=232=6故答案分别为：2； 6【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题10已知等差数列a n的公差 d0，且 a1，a 3，a 9 构成等比数列b n的前 3 项，则 = 3 ；又若 d=2，则数列b n的前 n 项的和 Sn= 3 n1 【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的性质和等差数列的通项公式可得 d=a1，再由等比数列的定义和等差数列的通项公式，以及等比数列的求和公式计算
12、可得【解答】解：由题意可得 a32=a1a9，即为（a 1+2d） 2=a1（a 1+8d），即 4d2=4a1d，（d 0），可得 d=a1， = =3；若 d=2，则 a1=2，a 3=2+4=6，即有等比数列b n的公比为 q=3，和 Sn= =3n1故答案为：3，3 n1【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题11设函数 f（x）= ，则 f（f（2）= 2 ；满足不等式 f（x）4 的 x的取值范围是 x 16 【考点】其他不等式的解法；函数的值【专题】规律型；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】
13、利用分段函数，逐步求解函数值得到第一问的结果；利用分段函数列出不等式求解即可【解答】解：函数 f（x）= ，则 f（f（2）=f（log 22）=f （1）=2 1=2；当 x1 时，2 x24，不等式 f（x） 4 恒成立当 x1 时，log 2x4，解得 1x16综上 x16故答案为：2；x 16【点评】本题考查指数函数与对数函数的简单性质的应用，分段函数的应用，考查分类讨论以及计算能力12若实数 x，y 满足不等式组 若 a=4，则 z=2x+y 的最大值为 7 ；若不等式组所表示的平面区域面积为 4，则 a= 6 【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的
14、平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值结合不等式组的图形，根据面积即可得到结论【解答】解：当 a=4 时，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 C 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 C（3，1），代入目标函数 z=2x+y 得 z=23+1=7即目标函数 z=2x+y 的最大值为 7作出不等式组对应的平面区域，由 ，解得 ，即 A（1，1），若不等式组构成平面区域，则必有点 A 在直线 x+y=a 的下方，即满足不等式 x+ya，即 a1+1=2，由
15、，解得 ，即 C（a 1，1），由 ，解得 ，即 B（，），则三角形的面积 S= （a 11）（ 1）= （a 2） 2=4，即（a2） 2=16，即 a2=4 或 a2=4，解得 a=6 或 a=2（舍），故答案为：7，6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法13若 是两个单位向量，且 =，若 ，则向量= 【考点】平面向量数量积的运算【专题】对应思想；向量法；平面向量及应用【分析】运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【解答】解：若 ，则 =（2 + ）（ 3 +2 ）=6 2+2 2+ =6+2+=，故答案为：【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题14若 x，yR +， + =1，则 2x+y 的最小值是 2+2 【考点】基本不等式【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用
