1、2015-2016 学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 ，B=x|xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是（ ）A B Ca 1 Da12若 ab0，且 a+b0，则以下不等式中正确的是（ ）A B Ca 2b 2 D|a|b|3函数 f（x）=lg（|x|1）的大致图象是（ ）A B C D4公比为 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a11=16，则 log2a16=（ ）A4 B5 C6 D75已知 R， ，tan2=（ ）A B C D6“ a0”是“函
2、数 f（x）=|（ax+1 ）x|在区间（0，+）内单调递增”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7设a n是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a 1 a2，则 a2 D若 a10，则（a 2a1）（a 2a3）08已知函数 f（x）= g（x）= ，则函数 fg（x）的所有零点之和是（ ）A B C D二、填空题：（本大题共 7 小题，9-12 题每空格 3 分，13-15 题每小题 6 分，共 36 分）9已知 ，则 = ，tan= 10设二次函数 f（x）=a
3、x 24x+c（xR）的值域为0，+ ），则 + 的最小值为 ；若ax24x+c0 的解集为 （1，2），则 ac= 11已知平面上三点 A，B，C， =（2k，3）， =（2，4）（1）若三点 A，B，C 不能构成三角形，则实数 k 的值是 ，（2）若ABC 为直角三角形，且B=90，则 k 的值是 12若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 ，点（x，y）所在的区域的面积为 13在扇形 OAB 中，AOB=120，P 是 上的一个动点，若 =x +y ，则 + 的最小值是 14已知 f（x）为偶函数，且 f（x）在0，+）单调递增，若 f（ax+1）f（x2）0 在 上恒成立，则实
4、数 a 的取值范围是 15已知函数 f（x）=x 22x，若关于 x 的方程|f（x）|+|f （ax）| t=0 有 4 个不同的实数根，且所有实数根之和为 2，则实数 t 的取值范围为 三、解答题（共 5 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数 f（x）=sin（x+）（ 0，0），其图象经过点 M（ ， ），且与 x 轴两个相邻的交点的距离为 （1）求 f（x）的解析式；（2）在ABC 中，a=13 ，f（A）= ，f（B）= ，求ABC 的面积17三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，ABBC，（1）证明：平面 PAB平面 PBC；（2）若
5、PA= ，PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 ，PB 与底面 ABC 成 60角，求二面角 BPCA 的大小18设 x1，x 2 为函数 f（x） =ax2+（b 1）x+1（a，b R， a0）两个不同零点（1）若 x1=1，且对任意 xR，都有 f（2 x）=f（2+x ），求 f（x）；（2）若 b=2a3，则关于 x 的方程 f（x）=|2xa|+2 是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由19已知椭圆 C： + =1（a b0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 Q（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相较
6、于 A，B 两点，且点 P（4，3），记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，当 k1k2 取最大值时，求直线 l 的方程20已知数列a n的前 n 项和 Tn 满足 an+1=2Tn+6，且 a1=6（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Sn；（3）证明： + + 32015-2016 学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 ，B=x|xa，若 AB，则实数 a 的取值范围是（ ）A B Ca 1 Da1【考点】集合关系
7、中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用菁优网版权所有【专题】阅读型【分析】根据题意 A 集合中的元素是在区间（ ，5）内的整数，再利用 AB，求出 a 符合的条件即可【解答】解：A=x| x 5，x Z， A=1，2，3，4AB， a1故选 D【点评】本题考查集合中参数的取值问题正确理解集合语言是解决此类题的关键2若 ab0，且 a+b0，则以下不等式中正确的是（ ）A B Ca 2b 2 D|a|b|【考点】不等式比较大小菁优网版权所有【专题】计算题【分析】把不等式 a+b0 的两边同时除以负数 ab 可得 0，化简可得 ，从而得出结论【解答】解：a+b0，ab0， 0， ，故选 A【点
8、评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题3函数 f（x）=lg（|x|1）的大致图象是（ ）A B C D【考点】对数函数的图像与性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：函数 f（x）=lg（|x| 1），f（ x）=lg（|x|1）=f（x），f（x）是偶函数，当 x=1 或 1 时，y0，故选 B；【点评】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；4公比为 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a11=16，则 log2a16=（ ）A4 B5 C6 D7【考点】等比数列的通项公式；对数的运算性质菁优网版
9、权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】由公比为 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a11=16，知 ，故 a7=4， =32，由此能求出 log2a16【解答】解：公比为 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a11=16， ，a7=4， =32，log2a16=log232=5故选 B【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5已知 R， ，tan2=（ ）A B C D【考点】二倍角的正切菁优网版权所有【专题】计算题；三角函数的求值【分析】由已知和平方关系可得 sin 和 cos 的值，进而可得 tan，代入二倍角的正切公式计算可得【解答】解：
10、， ，sin2+cos2=1，（ 3cos） 2+cos2=1，5cos23 cos+2=0，cos= 或 cos= ，sin= 或tan= 或 tan=2，当 tan= 时，tan2= = = ；当 tan=2 时，tan2 = = = 故选 D【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题6“ a0”是“函数 f（x）=|（ax+1 ）x|在区间（0，+）内单调递增”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；简易逻辑【分析】根据函数的性质：a0
11、， 0，“函数 f（x）=|（ ax+1）x| 在区间（0，+）内不是单调递增” ；a=10，“函数 f（x）=|（ax+1 ）x|在区间（0，+）内单调递增，可判断答案【解答】解：函数 f（x）=|（ax+1）x|，a0， 0，“函数 f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+）内不是单调递增” ，“函数 f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+）内单调递增” ，a0，不一定成立，如 a=10，“函数 f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+）内单调递增”，根据充分必要条件的定义判断：“a0”是 “函数 f（x）=|（ax+1 ）x|在区间（0，+）内单调递增”的既不充分也不必要条件故选
12、：D【点评】本题考查了函数的性质，充分必要条件的定义，属于中档题7设a n是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a 1 a2，则 a2 D若 a10，则（a 2a1）（a 2a3）0【考点】等差数列的性质菁优网版权所有【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a1+a30，则 a1+a2=2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 B 不正
13、确；an是等差数列，0a 1a 2，2a 2=a1+a32 ，a 2 ，即 C 正确；若 a10，则（a 2a1）（a 2a3）=d 20，即 D 不正确故选：C【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础8已知函数 f（x）= g（x）= ，则函数 fg（x）的所有零点之和是（ ）A B C D【考点】函数的零点菁优网版权所有【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先求得 fg（x）的解析式，x 0 时，由 ，可解得：x=1 或 1 （小于 0，舍去）；x0 时，由 =0，可解得：x= ，从而可求函数 fg（x）的所有零点之和【解答】解：f（x）= g（x）= ，fg（x）=
14、 ，且 fg（x） =x22x+2，（ 0x2）分情况讨论：x 2 或 x=0 时，由 ，可解得：x=1 或 1 （小于 0，舍去）；x0 时，由 =0，可解得：x= 当 0x2 时，由 x22x+2=0，无解函数 fg（x）的所有零点之和是 1 = 故选：B【点评】本题主要考察了函数的零点，函数的性质及应用，属于基本知识的考查二、填空题：（本大题共 7 小题，9-12 题每空格 3 分，13-15 题每小题 6 分，共 36 分）9已知 ，则 = ，tan= 【考点】两角和与差的正切函数菁优网版权所有【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得 以及 ta
15、n 的值【解答】解： = ， = 再根据 ，求得 tan= ，故答案为： ； 【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题10设二次函数 f（x）=ax 24x+c（xR）的值域为0，+ ），则 + 的最小值为 3 ；若 ax24x+c0 的解集为 （1， 2），则 ac= 12 【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据二次函数的性质求出 ac=4，根据基本不等式的性质求出 + 的最小值即可；（2）问题转化为1，2 是方程 ax24x+c=0 的解，求出 a，c 的值即可【解答】解：二次函数 f（x ）=ax 24x+c 的值域为0 ，+ ），
16、，解得 a0，c0，ac=4， + 2 =2 =3，若 ax24x+c0 的解集为 （1，2），则1 ，2 是方程 ax24x+c=0 的解， ，解得： ，ac=12，故答案为：3，12【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题11已知平面上三点 A，B，C， =（2k，3）， =（2，4）（1）若三点 A，B，C 不能构成三角形，则实数 k 的值是 ，（2）若ABC 为直角三角形，且B=90，则 k 的值是 3 或1 【考点】平面向量的坐标运算菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】（1）根据条件利用 A，B，C 三点共线，所
17、以存在实数 ，有 = ，带入坐标即可求 k（2）ABC 为直角三角形，所以两条直角边相互垂直，所以对应的两个向量的数量积为 0，从而求出 k 的值【解答】解：（1）A，B ， C 三点不能构成三角形，三点 A，B ，C 共线；存在实数 ，使 = ； ，解得 k= k 满足的条件是：k= 故答案为： （2） =（2k，3）， =（2，4）= =（ k2，3） （2，4）=（k，1）ABC 为直角三角形；若 B 是直角，则 ， =k2+2k+3=0，解得 k=1 或 3；综上可得 k 的值为：3 或1故答案为：3 或1【点评】本题考查的知识点为：共线向量基本定理，向量的相等，数量积的坐标运算，相互
18、垂直的两向量的数量积为 0，注意第二问对于角为直角的讨论12若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 ，点（x，y）所在的区域的面积为 1 【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；转化思想；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域， 的几何意义是区域内的点到定点（ ，1）的斜率的一半，利用数形结合进行求解即可直接求解可行域的面积即可得到第二问【解答】解：作出束条件 所对应的可行域（如图阴影），的几何意义是区域内的点到定点 P（1，0）的斜率的一半，由图象知可知 CD 的斜率最大，由 ，得 ，即 C（1，3），则 = ，即 的最大值为 ，
19、故答案为： ，可得 A（1，1）； ，可得 B（2，2）点（x，y）所在的区域的面积为： |AC|（x BxA）= =1故答案为：1【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题13在扇形 OAB 中，AOB=120，P 是 上的一个动点，若 =x +y ，则 + 的最小值是 2 【考点】向量加减混合运算及其几何意义；基本不等式菁优网版权所有【专题】作图题；数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式【分析】设 =a ，则 a1，从而可得 =a =ax +ay ，从而可得 ax+ay=1，从而利用基本不等式求最小值即可【解答】解：如图，设 =a ，则 a1，
20、=x +y ， =a =ax +ay ，A， Q， B 三点共线，ax+ay=1，故 + = +=a（2+ + ）4a，（当且仅当 = ，即 x=y= 时，等号成立），此时 a= ；4a=2；故答案为：2【点评】本题考查了基本不等式的应用及平面向量的应用14已知 f（x）为偶函数，且 f（x）在0，+）单调递增，若 f（ax+1）f（x2）0 在 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 2，0 【考点】奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；函数的性质及应用【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中 f（x）是偶函数，且 f（x）在（0，+）上是增函数，易得 f（x）
21、在（，0）上为减函数，又由若 x ，1 时，不等式 f（ax+1）f（x2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出 x ，1时 f（x 2）的最小值，从而可以构造一个关于 a 的不等式，解不等式即可得到实数 a 的取值范围【解答】解：f（x）是偶函数，且 f（x）在（0，+）上是增函数f（ x）在（，0）上为减函数当 x ，1时， x2 ， 1故 f（x 2）f（1）若 x ，1时，不等式 f（ax+1 ） f（x 2）恒成立，则当 x ，1时，|ax+1| 1 恒成立，解得2a 0故答案为 2，0【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函
22、数在对称区间上单调性相反，证得 f（x）在（，0）上为减函数，进而给出 x ，1 时f（x 2）的最小值，是解答本题的关键15已知函数 f（x）=x 22x，若关于 x 的方程|f（x）|+|f （ax）| t=0 有 4 个不同的实数根，且所有实数根之和为 2，则实数 t 的取值范围为 【考点】根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】令 h（x）=|f （x）|+|f（ax）| ，从而可判断 h（x ）的图象关于 x= 对称，从而可得 a=1；进而化简 h（x）=|x 22x|+|（1x） 22（1x）|，再作图求解即可【解答】解：令 h（x）=
23、|f （ x）|+|f（ax）| ，则 h（ax）=h （x）；故 h（x）的图象关于 x= 对称，又 方程 |f（x）|+|f（a x）| t=0 有 4 个不同的实数根，且所有实数根之和为 2，故 4 =2；故 a=1；故 h（x）=|f（ x）|+|f（ax） |=|x22x|+|（1x） 22（1 x）|= ；作函数 h（x）= 的图象如下，关于 x 的方程|f（x）|+|f（a x）| t=0 有 4 个不同的实数根可转化为函数 h（x）=|x 22x|+|（1x） 22（1x）|与 y=t 有四个不同的交点，故结合图象可知，实数 t 的取值范围为： 故答案为： 【点评】本题考查了绝
24、对值函数的应用及函数的性质应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题三、解答题（共 5 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数 f（x）=sin（x+）（ 0，0），其图象经过点 M（ ， ），且与 x 轴两个相邻的交点的距离为 （1）求 f（x）的解析式；（2）在ABC 中，a=13 ，f（A）= ，f（B）= ，求ABC 的面积【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；正弦定理 菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】由图象与 x 轴两个相邻的交点的距离为 确定周期，然后以点 M（ ， ）代人函数解析式求 ，由 f（A）
25、= ，f（B）= ，求出 sinA= ，sinB= ，再求 sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= ，根据正弦定理求边 b，然后应用面积公式即可【解答】解：依题意 T=2，=1，函数 f（x）=sin （x+ ）f（ ）=sin（ +）= ，且 0 ， + ， += ，= f（ x）=sin （x+ ）=cosxf（A）=cosA= ，f（B）=cosB= ，A ，B（0， ），sinA= ，sinB= ，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= ，在三角形 ABC 中， = ，b=15，SABC= absinC= 1315 =84【点评】本题
26、主要考查怎样求函数解析式，灵活运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，正弦定理及面积公式17三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，ABBC，（1）证明：平面 PAB平面 PBC；（2）若 PA= ，PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 ，PB 与底面 ABC 成 60角，求二面角 BPCA 的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】综合题；空间角【分析】（1）由 PA面 ABC，知 PABC，由 ABBC，且 PAAB=A，知 BC面 PAB，由此能够证明面 PAB面 PBC（2）法一：过 A 作 AEPB 于 E，过 E 作
27、EFPC 于 F，连接 AF，得到EFA 为 BPCA 的二面角的平面角由此能求出二面角 BPCA 的大小法二：由 AB= ，BC=1，以 BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BPCA 的大小【解答】（1）证明：PA 面 ABC，PA BC，ABBC，且 PAAB=A，BC面 PAB而 BC面 PBC 中， 面 PAB面 PBC（2）解法一：过 A 作 AEPB 于 E，过 E 作 EFPC 于 F，连接 AF，如图所示则EFA 为 BPCA 的二面角的平面角 由 PA= ，在 RtPBC 中， cosCOB= RtPAB 中，PBA=60AB= ，P
28、B=2 ，PC=3AE= =同理：AF= sinEFA= ，EFA=60解法二：向量法：由题可知：AB= ，BC=1，建立如图所示的空间直角坐标系B（0，0，0），C（1，0，0），A （0， ，0），P（0， ， ），假设平面 BPC 的法向量为 =（x 1，y 1，z 1），取 z1= 可得平面 BPC 的法向量为 =（0，3 ， ）同理 PCA 的法向量为 =（2， ，0）cos ， = = ， 所求的角为 60【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18设 x1，x 2 为函数 f（x） =ax2+（b 1）x+1（a，b R， a
29、0）两个不同零点（1）若 x1=1，且对任意 xR，都有 f（2 x）=f（2+x ），求 f（x）；（2）若 b=2a3，则关于 x 的方程 f（x）=|2xa|+2 是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用【分析】（1）由题意可得函数 f（x）=ax 2+（b 1）x+1（a，bR ，a0）两个不同零点分别为x1=1，x 2=3，从而解得；（2）由题意只需讨论 即可，从而化简可得 ax2+（2a 2）xa 1=0，从而可知，从而解得【解答】解：（1）f（2x
30、）=f（2+x），函数 f（x）关于 x=2 对称，x1=1， x2=3，故 1+3= ，13= ，解得： ，故 ；（2）a0，只需讨论 即可，当 时，f（ x）=|2x a|+2，ax2+（ 2a4）x+1=a 2x+2，即 ax2+（2a2）xa1=0 ， ，关于 x 的方程 f（x）=|2xa|+2 存在唯一负实根 x0，令 ，在 上单调递增，则 【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，同时考查了分类讨论的应用19已知椭圆 C： + =1（a b0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 Q（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相较于 A，B
31、 两点，且点 P（4，3），记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，当 k1k2 取最大值时，求直线 l 的方程【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得：b=c= ，a=2，即可得出椭圆 C 的标准方程为 =1（2）当直线 l 的斜率为 0 时，利用向量计算公式可得 k1k2= ；当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x=my+1，A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），与椭圆方程联立可得（m 2+2）y 2+2my3=0，利用斜率计算公式与根与系数的关系可得 k1k2= = ，令t=4m+1，只考虑 t0 时，
32、再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）由题意可得：b=c= ，a=2，椭圆 C 的标准方程为 =1（2）当直线 l 的斜率为 0 时， k1k2= = ；当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x=my+1，A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立 ，化为（m 2+2）y 2+2my3=0，y 1y2= ，又 x1=my1+1，x 2=my2+1，k1k2= ，令 t=4m+1，只考虑 t0 时，k1k2= + = 1，当且仅当 t=5 时取等号综上可得：直线 l 的方程为： xy1=0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可
33、得根与系数的关系、直线斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知数列a n的前 n 项和 Tn 满足 an+1=2Tn+6，且 a1=6（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Sn；（3）证明： + + 3【考点】数列的求和；数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）运用数列的通项和前 n 项和的关系，以及等比数列的通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式计算即可得到；（3）运用裂项相消求和方法，变形整理即可得证【解答】解：（1）由 an+1=2Tn+6，得 an=2Tn1+6（n2）：有 an+1an=2Tn2Tn1，即 an+1=3an（n2），又 a1=6，由有 a2=2T1+6=2a1+6=18，知 a2=3a1，数列 an是以 6 为首项，公比为 3 的等比数列，an=63n1=23n； （2）由（1）得： ，得 Sn= + + = （ + + ）= = ，（3）证明： ，= 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题
