1、2015-2016 学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 R 为实数集，M=x|x 22x0，N=x|y= ，则 M（ RN）= （ ）Ax|0x1 Bx|0 x2 Cx|x2 D2已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D3下列命题中错误的是（ ）A如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
2、D如果平面 平面 ，平面 平面 ，=l，那么 l4设命题 p：平面向量 和 ，| | |+| |，则p 为（ ）A平面向量 和 ，| | |+| | B平面向量 和 ，| | |+| |C平面向量 和 ，| | |+| | D 平面向量 和 ，| | |+| |5若 p，qR，则|p|q|成立的一个充分不必要条件是（ ）Aqp0 Bpq0 Cpq0 Dp=q 06将函数 f（x）=2sin（2x+ ）的图象向右平移 （0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，所得图象关于直线 x= 对称，则 的最小值为（ ）A B C D7定义点 P（x 0，y 0）到直线 l：a
3、x+by+c=0（a 2+b20）的有向距离为 d= 已知点 P1、P 2 到直线 l 的有向距离分别是 d1、 d2以下命题正确的是（ ）A若 d1d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 平行B若 d1+d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 平行C若 d1+d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 垂直D若 d1d20，则直线 P1P2 与直线 l 相交8如图，正三棱锥 SABC 中，侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角等于 ，动点 P 在侧面 SAB 内，PQ底面 ABC，垂足为 Q，PQ=PSsin ，则动点 P 的轨迹为（ ）A线段 B圆 C一段圆弧 D一段抛物线二、填空题：本大
4、题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9设函数 ，则 = ；若 f（f （a） ）=1，则 a 的值为 10已知双曲线 x2 =1（m 0）的离心率是 2，则 m= ，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 11若函数 f（x）= 是奇函数，则 a= ，使 f（x）3 成立的 x 的取值范围为 12设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A 是抛物线上一点，B 是圆 C：（x+3） 2+（y+3） 2=4 上任意一点，设点 A 到 y 轴的距离为 m，则 m+|AB|的最小值为 13设等差数列a n的前 n 项的和为 Sn，且满足 S20140 ，S
5、20150，对任意正整数 n，都有|a n|ak|，则 k的值为 14定义 ，设实数 x，y 满足约束条件 ，z=max4x+y，3xy，则 z 的取值范围是 15平面向量 满足 |=2，当 |= ， |= 时， 的最小值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，向量 =（b，2c+a） ， =（cosB，cosA） ，且 （1）求 的取值范围；（2）已知 BD 是ABC 的中线，若 =2，求| |的最小值17如图，在四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA底面 ABCD， ADBC，A
6、BC=90，PA=AB=BC=2，AD=1，M 是棱 PB 中点（）求证：AM平面 PCD；（）设点 N 是线段 CD 上一动点，当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时，求二面角 PBNC 的余弦值18设函数 f（x）=x|xa|+b，a ，bR（I）当 a0 时，讨论函数 f（x）的零点个数；（）若对于给定的实数 a（ a0） ，存在实数 b，使不等式 f（x）x+ 对于任意 x2a1，2a+1恒成立试将最大实数 b 表示为关于 a 的函数 m（a） ，并求 m（a）的取值范围19已知椭圆的焦点坐标为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两
7、点，且|PQ|=3（1）求椭圆的方程；（2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由20已知 为锐角，且 ，函数 ，数列a n的首项（1）求函数 f（x）的表达式；（2）求证：a n+1a n；（3）求证： 2015-2016 学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 R 为实数集，M=x|x 22x0，N=x|y= ，则 M（ RN）
8、= （ ）Ax|0x1 Bx|0 x2 Cx|x2 D【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出 M 中不等式的解集确定出 M，求出 N 中函数的定义域确定出 N，根据全集 R 求出 N 的补集，找出 M 与 N 补集的并集即可【解答】解：由 M 中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即 M=x|0x2 ，由 N 中 y= ，得到 x10，即 x1，N=x|x1，全集为 R，RN=x|x1 ，则 M（ RN）=x|x 2故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D【考点
9、】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥，如图，即图中在长方体中红色的部分知棱锥的底面是一个以 4 为底，以 2 为高的三角形，棱锥的高为 2，故棱锥的体积 V= （4 ）2 2= 故选 A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键3下列命题中错误的是（ ）A如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C
10、如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ，平面 平面 ，=l，那么 l【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】利用面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理即可判断出【解答】解：A平面 平面 ，过 内任意一点在 内作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 ，利用面面垂直的性质定理可知，当此点在交线上时，此垂线可能不在平面 内，故不正确；B平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 ，由 A 可知正确；C平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ，由线面垂直的判定定理可知正确；D平面 平面
11、 ，平面 平面 ，=l，那么 l，线面垂直的判定定理可知正确故选：A【点评】本题考查了面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4设命题 p：平面向量 和 ，| | |+| |，则p 为（ ）A平面向量 和 ，| | |+| | B平面向量 和 ，| | |+| |C平面向量 和 ，| | |+| | D 平面向量 和 ，| | |+| |【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用；简易逻辑【分析】由命题的否定的定义知命题 p：平面向量 和 ，| | |+| |，则p：平面向量 和 ，| |+| |【解答】解：由平面向量 和 的否定为：平面向量 和 ，|
12、 | |+| |的否定为：| | |+| |即有命题 p：平面向量 和 ，| | |+| |，则p：平面向量 和 ，| | |+| |故选 D【点评】本题考查命题的否定，解题时要熟练掌握基本定义5若 p，qR，则|p|q|成立的一个充分不必要条件是（ ）Aqp0 Bpq0 Cpq0 Dp=q 0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】利用绝对值不等式的性质即可判断出【解答】解：|p|q| p2q20，可得：p，qR，则|p|q|成立的一个充分不必要条件是 qp0故选：A【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能
13、力与计算能力，属于中档题6将函数 f（x）=2sin（2x+ ）的图象向右平移 （0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，所得图象关于直线 x= 对称，则 的最小值为（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的最小值【解答】解：将函数 f（x）=2sin（2x+ ）的图象向右平移 （0）个单位，可得函数 y=2sin2（x ）+ =2sin（2x+ 2）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，可得函数
14、 y=2sin（4x+ 2）的图象；再根据所得图象关于直线 x= 对称，可得 + 2=k+ （kz） ，即 = kz， 的最小值为 ，故选：D【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7定义点 P（x 0，y 0）到直线 l：ax+by+c=0（a 2+b20）的有向距离为 d= 已知点 P1、P 2 到直线 l 的有向距离分别是 d1、 d2以下命题正确的是（ ）A若 d1d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 平行B若 d1+d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 平行C若 d1+d2=0，则直线 P1P2 与直线 l 垂直D若 d1d
15、20，则直线 P1P2 与直线 l 相交【考点】点到直线的距离公式【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】根据有向距离的定义，分别对直线 P1P2 与直线 l 的位置关系进行判断【解答】解：设点 P1，P 2 的坐标分别为（x 1，y 1） （x 2，y 2） ，则 d1= ，d 2= A，若 d1d2=0，则若 d1=d2，即 = ，Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，若 d1=d2=0 时，即 Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点 P1，P 2 都在直线 l，此时直线 P1P2 与直线 l 重合， A 错误B，由 A 知，若 d1=d2=0 时，满足 d1+d2=
16、0，但此时 Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点 P1，P 2 都在直线 l，此时直线 P1P2 与直线 l 重合， B 错误C，由 A 知，若 d1=d2=0 时，满足 d1+d2=0，但此时 Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点 P1，P 2 都在直线 l，此时直线 P1P2 与直线 l 重合， C 错误D，若 d1d20，则 0，即（Ax 1+By1+C） （Ax 2+By2+C）0，点 P1，P 2 分别位于直线 l 的两侧，直线 P1P2 与直线 l 相交，D 正确故选：D【点评】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题
17、的关键综合性较强8如图，正三棱锥 SABC 中，侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角等于 ，动点 P 在侧面 SAB 内，PQ底面 ABC，垂足为 Q，PQ=PSsin ，则动点 P 的轨迹为（ ）A线段 B圆 C一段圆弧 D一段抛物线【考点】抛物线的定义【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】构造一个直角三角形 PRQ，使 PRQ 为侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角 ，直角三角形 PRQ中，sin= ，由已知得 sin= ，得到 PS=PR，即点 P 到点 S 的距离等于点 P 到 AB 的距离，由抛物线的定义得出结论【解答】解：如图：过点 P 作 AB 的垂线段 PR，连
18、接 RQ，则 RQ 是 PR 在面 ABC 内的射影，由三垂线定理得逆定理得，QRAB ，PRQ 为侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角 ，直角三角形 PRQ 中，sin= ，又已知 PQ=PSsin，sin= ， = ，PS=PR，即点 P 到点 S 的距离等于点 P 到 AB 的距离，根据抛物线的定义，点 P 在以点 S 为焦点，以 AB 为准线的抛物线上又点 P 在侧面 SAB 内，故点 P 的轨迹为一段抛物线，故选：D【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直角三角形中的边角关系，以及抛物线的定义得应用，属于基础题二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4
19、分，共 36 分9设函数 ，则 = 2 ；若 f（f （a） ）=1，则 a 的值为 【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】利用分段函数由里及外逐步求解即可第二问，通过分类讨论求解方程的解即可【解答】解：函数 ，则 =f（3 ）=f（1）=2；f（f（a） ）=1，a 时，1=f（3a 1）=3 （3a1）1，解得 a= 当 a1 时，2 a1，f （f（a ） ）=1 ，不成立；当 时，f（f（a ） ）=1，2 3a1=1，解得 a= ， （舍去） 综上 a= 故答案为： 【点评】本题考查分段函数以及方程根的解法，考查分类讨论思想的应用，是基础题10已知双曲线 x2
20、=1（m 0）的离心率是 2，则 m= 3 ，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 （x2） 2+y2=3 【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的 a，b，c，由离心率公式，计算即可得到 m，求出双曲线 都将揭晓方程，再由直线和圆相切的条件可得 d=r，运用点到直线的距离公式，计算即可得到【解答】解：双曲线 x2 =1（m 0）的 a=1，b= ，c= ，则 e= = =2，解得，m=3；则有双曲线的方程为 x2 =1，其右焦点为（2，0） ，渐近线方程为 y= x，由题意可得，d=r= = ，则所求圆的方程为（x2）
21、2+y2=3故答案为：3， （x2） 2+y2=3【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题11若函数 f（x）= 是奇函数，则 a= 1 ，使 f（x）3 成立的 x 的取值范围为 （0，1） 【考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】由函数 f（x）= 是奇函数，f（x）=f（x）在定义域内恒成立，可得 a 值，进而解指数不等式可得使 f（x）3 成立的 x 的取值范围【解答】解：函数 f（x）= 是奇函数，则 f（ x）=f （ x）在定义域内恒成立，即 = = ，解得：a=1，令 f（x）= 3，即 12 x
22、2，解得：x（0，1） ，故答案为：1， （0，1）【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键12设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A 是抛物线上一点，B 是圆 C：（x+3） 2+（y+3） 2=4 上任意一点，设点 A 到 y 轴的距离为 m，则 m+|AB|的最小值为 2 【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】把圆的方程化成标准式，求得圆的圆心和半径，利用抛物线的标准方程求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义可知点 A 到准线的距离等于点 A 到焦点 F 的距离，进而问题转换为焦点到 A 点距离与 A 点到 B
23、 的距离问题，推断出当 A，B ，F 三点共线时 A 到点 B 的距离与点 A 到抛物线的焦点 F距离之和的最小【解答】解：圆 C：（x+3） 2+（y+3） 2=4，表示为以（ 3，3）为圆心设为 O，2 为半径的圆，抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=1，焦点 F（1，0） ，根据抛物线的定义可知点 A 到准线的距离等于点 A 到焦点 F 的距离，进而推断出当 A，B，F 三点共线时 A 到点 B 的距离与点 A 到抛物线的焦点 F 距离之和的最小，即m+1+|AB|的值最小，此时|FO|= =5，|BF|=|AF|+|AB|=3，即 m+1+|AB|的最小值为 3，m+|AB|的最小值
24、为 2故答案为：2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用数形结合的思想，并利用抛物线的定义解决，属于中档题13设等差数列a n的前 n 项的和为 Sn，且满足 S20140 ，S 20150，对任意正整数 n，都有|a n|ak|，则 k的值为 1008 【考点】等差数列的前 n 项和【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的求和公式和性质可得 a10070，a 10080，且|a 1007|a 1008|，由题意易得结论【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得 S2014= =1007（a 1007+a1008）0，a1007+a10080同理
25、由 S20150 可得 2015a10080，可得 a10080，a10070，a 10080，且|a 1007|a 1008|对任意正整数 n，都有|a n|ak|，k 的值为 1008，故答案为：1008【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的最小项是解决问题的关键，属基础题14定义 ，设实数 x，y 满足约束条件 ，z=max4x+y，3xy，则 z 的取值范围是 7Z10 【考点】简单线性规划的应用【专题】作图题；新定义【分析】先找出可行域，即四边形 ABCD 上及其内部， （4x+y）与（3x y）相等的分界线 x+2y=0，令z=4x+y 时，点（x，y）在四边形 MN
26、CD 上及其内部，求得 z 范围；令 z=3xy，点（x，y）在四边形ABNM 上及其内部（除 AB 边）求得 z 范围，将这 2 个范围取并集可得答案【解答】解：当 4x+y3xy 时可得 x+2y0则原题可转化为：当 ，Z=4x+y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的 MDCN，作直线 l0：4x+y=0 然后把直线 l0 向可行域平移则可知直线平移到 C（2，2）时 Zmax=10，平移到点 N（2，1）时 Zmin=6此时有6z10当 ，Z=3xy作出不等式组所表示的平面区域如图所示的 ABNM 作直线 l0：3xy=0 ，然后把直线 3xy=0 向可行域平移则可知直线平移
27、到 M（ 2，1）时 Zmin=7，平移到点 B（2，2）时，Z max=8此时有7z8综上可得，7Z10【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是 z=4x+y还是 z=3xy 并没有明确确定下来，直线 x+2y=0 又将原可行域分为两部分解题的关键是通过比较 4x+y与 3xy 的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化此题构思比较巧妙15平面向量 满足 |=2，当 |= ， |= 时， 的最小值为 【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由题意建立直角坐标系由| |=1，不妨设 =（1，0） 结合题意及
28、投影概念可设 =（1，m） ，=（2，n） 利用| |=2，可得（m+n） 2=3+4mn0，再利用数量积运算 =2+mn 即可得出 的最小值，并求得 m，n 的值，进一步得到 |，| |【解答】解：如图所示，建立直角坐标系 ， 不妨设 ， ， ，可设 =（ 1，mn） ， ，化为（m n） 2=3，（ m+n） 2=3+4mn0，mn ，当且仅当 m=n= 时取等号 =2+mn2 = 此时 ， ， 故答案为： 【点评】本题考查数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，由已知结合投影概念设出向量坐标是解答该题的关键，属难题三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答
29、应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，向量 =（b，2c+a） ， =（cosB，cosA） ，且 （1）求 的取值范围；（2）已知 BD 是ABC 的中线，若 =2，求| |的最小值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】 （1）运用向量共线的坐标表示，结合三角函数的恒等变换公式，化简可得 B=120，再由正弦定理，化简可得所求范围；（2）运用中点的向量表示和向量的数量积的定义，结合基本不等式即可得到最小值【解答】解：（1）向量 =（b，2c+a） ， =（cosB，
30、cosA） ，且 即有bcosA= （2c+a）cosB，即 sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，即有 sin（A+B）=sinC=2sinCcosB，cosB= ，由 B 为三角形的内角，则 B=120，A+C=60，故 = = = cos（30C ） ，由 0C 60，可得3030 C30，即有 cos（30C ） 1，则有 的取值范围是（1， ；（2） = （ + ） ，即有| |2= （ 2+ 2+2 ）= （c 2+a24） ，由 =2，即 cacos120=2，可得 ac=4，故| |2= （c 2+a24） （2ac 4）= （84）=1当且仅当 a=c=2
31、时，取得最小值故| |的最小值为 1【点评】本题考查向量共线和数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题17如图，在四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA底面 ABCD， ADBC，ABC=90，PA=AB=BC=2，AD=1，M 是棱 PB 中点（）求证：AM平面 PCD；（）设点 N 是线段 CD 上一动点，当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时，求二面角 PBNC 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】 （）以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出 的坐标
32、，再求出平面平面 PCD 的一个法向量 ，由 且 AM面 PCD 内得答案；（）利用空间向量求出使直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时 N 的位置，然后再求出平面 PBN 的一个法向量，而 是平面 PAB 的一个法向量，由两个法向量所成角的余弦值求得二面角 PBNC 的余弦值【解答】 （）证明：以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（2，2，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0，2） ，M（0，1，1） ，则 ， ，设平面 PCD 的法向量是 ，则，即 ，令 z=1，则 x=2，y= 1，于是 ， ，即 AM平面 PCD；（）解：点
33、N 是线段 CD 上的一点，可设 ，=（1，0，0）+ （1，2，0）= （1+，2，0） ，=（1+ ，21， 1） ，又面 PAB 的法向量为 设 MN 与平面 PAB 所成的角为 ，则 =| |=| |当 ，即 时，sin 最大，MN 与平面 PAB 所成的角最大此时 ，设平面 PBN 的法向量为 则 令 x1=2，得 ，又 ， 平面 BNC，= 又由图知二面角 PBNC 为钝角，二面角 PBNC 的余弦值为 【点评】本题考查了运用空间向量求证线面的垂直关系，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题18设函数 f（x）=x|xa|+b，a ，bR（I
34、）当 a0 时，讨论函数 f（x）的零点个数；（）若对于给定的实数 a（ a0） ，存在实数 b，使不等式 f（x）x+ 对于任意 x2a1，2a+1恒成立试将最大实数 b 表示为关于 a 的函数 m（a） ，并求 m（a）的取值范围【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用【分析】 （）求出函数 f（x ）的表达式，讨论 a，b 的取值即可求函数 f（x）的零点个数；（）根据函数恒成立，转化为求函数的最值，求出 m（a）的表达式进行求解即可【解答】解：（）f（x）= ，a0，当 b 0 时，x 2ax+b=0 在 xa 上无解， x2+ax+b=0 在 x a
35、 上恰有一解，当 b=0 时，x 2ax+b=0 在 xa 上恰有一解， x2+ax+b=0 在 xa 上恰有一解，此时函数 f（x）有 2 个零点，当 b0 时，x 2ax+b=0 在 xa 上恰有一解，若判别式=a 2+4b0，则 x2+ax+b=0 在 xa 上无解，判别式=a 2+4b=0，则x 2+ax+b=0 在 xa 上恰有一解，判别式=a 2+4b0，则 x2+ax+b=0 在 xa 上恰有两个不同的解，综上在 a0 的条件下，当 或 时，函数 f（x）有一个零点，当 或 时，函数 f（x）有 2 个零点，当 时，函数 f（x）有 3 个零点（）首先记 g（x）=f（x）x=
36、，原问题等价于：当 2a1x2a+1 时，g（x） max ，最大实数 b 的值由已知可得 2a+1a ，2a 1 ， 当 a 0 时，2a1 a 2a+1，g（ x）在 2a1， 上为增函数，在 ， 上为减函数，在 ，2a+1 上为增函数，当 2a1x2a+1，g（ x） max=maxg（ ） ，g（2a+1）=g（ ）= ，由 ，解得 1 a1+ ，则 a 0 恒成立此时最大的 b 满足 g（ ）= ，从而 bmax=m（a）= = ，m（a）= ， （ a0） ，由对称轴为 a=1，区间 ，0）为增区间，解得 m（a）的取值范围是 ， ） 【点评】本题主要考查函数的零点的判断，以及函数
37、恒成立问题，考查学生的分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大19已知椭圆的焦点坐标为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点，且|PQ|=3（1）求椭圆的方程；（2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】 （1）设椭圆方程，由焦点坐标可得 c=1，由|PQ|=3，可得 =3，又 a2b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设 M（x 1，y
38、 1） ，N（x 2，y 2） ，不妨 y10，y 20，设F 1MN 的内切圆的径 R，则 F1MN 的周长=4a=8， （|MN|+|F 1M|+|F1N|）R=4R，因此 最大，R 就最大设直线 l 的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示F 1MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论【解答】解：（1）设椭圆方程为 =1（ab0） ，由焦点坐标可得 c=1（1 分）由|PQ|=3，可得 =3，（2 分）又 a2b2=1，解得 a=2，b= ，（3 分）故椭圆方程为 =1（4 分）（2）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，不妨 y10，y 20，设F 1M
39、N 的内切圆的径 R，则F 1MN 的周长 =4a=8， （|MN|+|F 1M|+|F1N|）R=4R因此 最大，R 就最大， （6 分）由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，由 得（3m 2+4）y 2+6my9=0，（8 分）得 ， ，则 = ，（9 分）令 t= ，则 t1，则 ，（10 分）令 f（t）=3t+ ，则 f（t）=3 ，当 t1 时，f （t）0，f （t）在 1，+）上单调递增，有 f（t）f（1）=4，S F1MN3，即当 t=1，m=0 时，S F1MN3，SF1MN=4R，R max= ，这时所求内切圆面积的最大值为 故直线 l：
40、x=1， F1MN 内切圆面积的最大值为 （12 分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出 最大，R 就最大是关键20已知 为锐角，且 ，函数 ，数列a n的首项（1）求函数 f（x）的表达式；（2）求证：a n+1a n；（3）求证： 【考点】二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明【专题】综合题【分析】 （1）根据二倍角的正切函数公式，由 tan 的值求出 tan2 的值，根据特殊角的三角函数值以及 的范围即可求出 2 的值，即可求出 sin（2+ ）的值，把求出的 tan2 和 sin2 的值代入 f（x）
41、中即可确定出 f（x） ；（2）a n+1=f（a n） ，把 an 代入（1）中求出的 f（x）的解析式，移项后，根据 an2 大于 0，即可得证；（3）把 an 代入（1）中求出的 f（x）的解析式中化简后，求出 ，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到 ，移项后得到 ，然后从 n=1 列举到 n，抵消后得到所要证明的式子等于 2 ，根据题意分别求出 a2 和 a3 的值，根据（2）所证明的结论即可得证【解答】解：（1） ，又 为锐角，所以 2= ， ，则 f（x）=x 2+x；（2）a n+1=f（a n）=a n2+an，an+1an=an20，an+1a n；（3） ，且 a1= ， ，则= ， ， ，又 n2 时，a n+1a n，an+1a31， ， 【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题
