1、2015-2016 学年度下学期高三年级一调考试数学试卷（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 ，且有 ，则 （ ）,zxyiR1xyiizA5 B C3 D532.已知全集 ，集合 ，那么集合U2 1|60,|04xAxB（ ）CA B C D|24x|34x或 |21x|133.在平面直角坐标系 中，双曲线中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为xOyy，则它的离心率为（ ）20xyA B C D255234.执行所示框图，若输入 ，则输出的 等于（ ）6,4nmpA1
2、20 B240 C360 D7205.某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考，那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有（ ）A144 种 B150 种 C196 种 D256 种6.在 中，三边之比 ，则 （ ）C:2:34abcsin2iABCA1 B 2 C-3 D 18.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，sin2fx02gx若对满足 的 ，有 ，则 （ ）12ff12,x1min3xA B C D523469.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该
3、球面的表面积为（ ）A B C D48332010.已知 和 分别为数列 与数列 的前 项和，且nSTnanb，则当 取得最大值时， 的值为（ ）4513,baeeNTnA4 B5 C4 或 5 D5 或 611.在正方体 中， 为正方形 四边上的动点， 为底面正方1AP1ABCO形 的中心， 分别为 中点，点 为平面 内一点，线段 与D,MN,QD1Q互相平分，则满足 的实数 的值有（ ）OPQA0 个 B1 个 C2 个 D3 个12.已知函数，设函 234201523420151,xxxxf g 数 ，且函数 的所有零点均在区间 ，则,FfgF,abZ的最小值为（ ）baA6 B8 C9
4、 D10第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 的展开式中 （ 且 ）的系数为 0，则 .1xrxZ15rr14.设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值,xy320,xy 20,zaxby为 1，则 的最小值为 .24ab15.在平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线xOy2:10,xyCab交于点 ，若 的垂心为 的交点，则 的离心率为 .2:0Cxpy,AB2C116.在等腰梯形 中，已知 ，动点 和 分BD,1,60AB: EF别在线段 和 上，且 ，则 的最小值为 .9ECFDEF三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70
5、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 （ 为实数，且 ） ，na2nqa1q，且 成等差数列.12,nNa2345,求 的值和 的通项公式；qn设 ，求数列 的前 项和.21log,nbanb18（本小题满分 12 分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生体检表，并得到如图的频率分布直方图.若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在
6、 1-50 名和 951-1000 名的学生进行调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系；在中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 1-50 的学生人数为 ，求X的分布列和数学期望.X附：19.（本小题满分 12 分）如图，在 中， 是 的中点，ABC:O，将 沿 折起，使 点与图中 点重合.,2ABCOB求证： 平面 ；当三棱锥 的体积取最大时，求二面角 的余弦值；AC在条件下，试问在线段 上是否存在一点 ，使 与平面 所成角
7、的正弦值BAPBOA为 ？证明你的结论.2320.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，2:1(0)xyCab12,F点 是椭圆的一个顶点， 是等腰直角三角形.0,2M12FM求椭圆 的方程；C设点 是椭圆 上一动点，求线段 的中点 的轨迹方程；PPQ过点 分别作直线 交椭圆于 两点，设两直线的斜率分别为 ，且,AB, 12,k，探究 是否过定点，并说明理由 .128k21.（本小题满分 12 分）已知函数 .,lnxfegxm当 时，求函数 在 上的极值；1mFx0,若 ，求证：当 时， .2m0,x310fxg（参考数据： ）ln.693l1.,ln5.69,l746请考
8、生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，圆 与圆 内切于点 ，其半径分别为 3 与 2，圆 的弦 交圆 于点 （1O2A1OAB2C不在 上） ， 是圆 的一条直径.1ABD1求 的值；C若 ，求 到弦 的距离.32OAB23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，设倾斜角为 的直线 （为参数）与曲线xOy2cos:3inxtly（ 为参数）相交于不同的两点 .2cos:inC ,AB若 ，求线段 中点 的坐标；3ABM若 ，其中 ，求直线的斜率.2PO,3P24
9、.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 ，函数0,abcfxaxbc求 的值；求 的最小值.22149参考答案1、选择题1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD二、填空题13. 2 14. 8 15. 16.329183、解答题又因为 ，所以1q23a由 3,a当 时，21nkN122nnka当 时， 所以数列 的通项公式为 ;na12,na为 奇 数为 偶 数(2)由(1)，得 、211log,nnbN设数列 的前 项和为 ，则nnS01122S1n n上述两式相减，得 012122n nnS14,nnN所以数列 的前 项和为b124,nnSN18.(1)设
10、各组的频率为 ,356if由图可知，第一组有 3 人，第二组有 7 人，第三组有 27 人，因为后四组的频数成等差数列所以后四组频数依次为 27,24,21,18所以视力在 5.0 以下的频率为0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 ；10.820(2) 221048394.3.1577K因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系；(3)依题意 9 人中年级名次在 名和 名的人数分别为 3 人和 6 人150:90:所以 可能的取值为 0,1,2,3X， ， ，5021P28PX314PX1084PX的分布列为
11、0 1 2 3521528314184.53021848EX19.(1) ，且 是 的中点ABCOB，即O,AC又 平面(2)在平面 内，作 于点BCD则由(1)可知 ，又 平面OAOBDAC即 是三棱锥 的高D又 当 与 重合时，三棱锥 的体积最大B过 点作 于点 ，连接OHCAH由(1)知， 平面ABO平面 ，B 平面 ，AOHBC,AOHBC所以 即为二面角 的平面角在 中，Rt:2,321,cos3OHAHA(3)存在，且为线段 的中点，以 为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系B设 ，2,0APB 2,1CPA又平面 的一个法向量为O,10m22 310358CmP解得： 1,0
12、舍 去20.(1)由已知可得 22,8bab所以所求椭圆方程为 ；184xy(2)设点 的中点坐标为 ，即0,PM,Qxy20184y由 ，得 ，代入上式，得 ；00,2xy02,221xy(3)若直线 的斜率存在，设 方程为 ，依题意ABABykxm设 ，由12,AxyB222148084xykxmkm，由已知212124,kmx12yx所以 ，即128128k所以 14kmk故直线 的方程为AB12,2yxykx即所以直线 过定点 ；1,若直线 的斜率存在，设 方程为ABABx设 ,xy由已知 2182x此时 方程为 ，显然过点AB1x,综上，直线 过定点 .,221.(1) 2ln1,1lnx xeeFFx在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，0, ,所以极小值为 ，无极大值；1e(2)构造函数 ln2xhxfge在区间 上单调递增e0,， 在区间 上有唯一零点12,lnhhhx0,01,ln2x
