1、2015-2016 学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：每小题 5 分，满分 70 分只需直接写出结果1已知全集 U=R，A=x|x 0，B=x|x1，则集合 U（AB）= x|0x1 【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：A=x|x 0 ，B=x|x 1，则 AB=x|x1 或 x0则 U（AB）=x|0 x1，故答案为：x|0x1【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2命题“x 0R， ”的否定是 xR ，2 x0 【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】利用含量词的命题的否定形式：将
2、改为，将结论否定，写出命题的否定【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题“ x0R， ”的否定是“xR， 2x0”故答案为“xR ，2 x0”【点评】本题考查含量词的命题的否定形式是：“ ”与“”互换，结论否定3若 ，则 cos2= 【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦【分析】由 sin（+ ）=cos 及 cos2=2cos21 解之即可【解答】解：由 可知， ，而 故答案为： 【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用4已知 ，则 的值为 15 【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题【分析】令 12x=得 x=；再把代入即可求出结论【解答】解：因为 ，令 12x=
3、得 x=所以 f（）= =15故答案为：15【点评】本题主要考察函数的求值解决本题的关键在于令 12x=得 x=，进而求出结论当然也可以用换元法先求出解析式，再把代入5已知 a1，a 2，a 3，a 4 成等比数列，其公比为 2，则 = 4 【考点】等比数列的通项公式【专题】整体思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由题意可得： = = =4，故答案为：4【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知函数 是奇函数，则常数 a= 【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题【分析】由已知中函数 是奇函数，我们根据定义域
4、为 R 的奇函数图象必要原点，构造出一个关于 a 的方程，解方程即可求出常数 a 的值【解答】解：若函数 是奇函数由于函数的定义域为 R则 =0即 a+=0解得 a=故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据定义域为 R 的奇函数图象必要原点，构造出一个关于 a 的方程，是解答本题的关键7已知 O 为坐标原点，A（1，1），C（2，3）且 ，则 的坐标是 （4，7） 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；平面向量及应用【分析】设出点 B（x，y）的坐标，跟军条件将向量用坐标表示出来，利用向量相等建立x，y 的方程求出 x，y 的值，即得点 B 的坐标，再选出
5、正确选项【解答】解：设 B（x，y）， A（1，1），C（2，3）且 ，2（ 1， 2）=（x2，y3）， ，解得 ，则 B（4，7），即 =（4，7），故答案为：（4，7）【点评】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量相等的应用，解题的关键是求出各个向量的坐标，再根据向量相等建立方程组求出所引入的参数8已知 f（x）=log 0.5x，且 f（1a）f（2a1），则 a 的取值范围是 【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的单调性得到关于 a 的不等式组，要注意真数大于零【解答】解：因为函数 y=log0.5x 是定义域内的减函数所以由题意得 解得 故答案为【点评】本
6、题考查了利用对数函数的单调性解不等式的问题，要注意不能忽视定义域9在ABC 中， A，B， C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=2，b= ， B= ，则ABC 的面积为 【考点】正弦定理【专题】计算题；分类讨论；分析法；解三角形【分析】由 a，b 及 cosB 的值，利用余弦定理求出 c 的值，再由 a，c 及 sinB 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积【解答】解：由余弦定理 b2=a2+c22accosB 得：7=4+c 22c，即（c3）（c+1）=0，解得：c=3 或 c=1（舍去），则 SABC=acsinB=23 = 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定
7、理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键10已知a n为等差数列，其公差为 2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项， Sn 为a n的前 n 项和，nN*，则 S10 的值为 110 【考点】等差数列的前 n 项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得 a1 的方程，解方程得 a1 代入等差数列的求和公式可得【解答】解：a n为等差数列，其公差 d=2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，（ a112） 2=（a 14）（a 116），解得 a1=20，S10=10a1+ d=110故答案为：110【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题11已知 sin
8、（ +2）sin（ 2）=，则 2sin221= 【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；三角函数的求值【分析】已知等式利用积化和差公式化简，整理求出 cos4 的值，原式变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，即可求出值【解答】解：已知等式化简得：（cos cos4）=，整理得：cos4=，则原式= （12sin 22）= cos4=，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键12已知 f（x）= ，其中 a，b 为常数，且 ab2若 f（x）f（）=k，k 为常数，则 k的值为 【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意分别
9、得到 f（x）和 f（）的解析式，算出 f（x）f（）化简后等于 k，根据分式的性质得到 k 即可；【解答】解：由题可知：f（ x）f （）= = =k则根据分式的性质得： = = =k，即 k=；故答案为：【点评】此题考查学生理解函数的定义，以及合分比性质的灵活运用，难度中档13已知等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，记数列log 2an的前 n 项和为 Tn，若 a1 ， ，且 =9，则当 n= 11 时，T n 有最小值【考点】等比数列的前 n 项和【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的前 n 项和公式可得 q，利用对
10、数的运算性质及其等差数列的前 n项和公式可得 Tn，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：q=1 不满足条件，舍去 =9， =1+q3=9，解得 q=2 ，log2an=log2a1+（n1）Tn=nlog2a1+ = +n ，a1 ， ，log2a1log22016，log 21949， = ，1024=210194920162048=2 11， ，当 n=11 时，T n 取得最小值故答案为：11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14定义“正对数” ：ln +x= ，现
11、有四个命题：若 a0，b 0，则 ln+（a b）=bln +a；若 a0，b 0，则 ln+（ab）=ln +a+ln+b；若 a0，b 0，则 ；若 a0，b 0，则 ln+（a+b）ln +a+ln+b+ln2其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 a，b 分类讨论，判断出每个命题的真假【解答】解：（1）对于，由定义，当 a1 时，a b1，故 ln+（a b）=ln（a b）=blna，又bln+a=blna，故有 ln+（a
12、b）=bln +a；当 a1 时，a b1，故 ln+（a b）=0，又 a1 时bln+a=0，所以此时亦有 ln+（a b）=bln +a，故正确；（2）对于，此命题不成立，可令 a=2，b= ，则 ab=，由定义 ln+（ab）=0，ln +a+ln+b=ln2，所以 ln+（ab ）ln +a+ln+b，故 错误；（3）对于，i1 时，此时 0，当 ab1 时，ln +aln+b=lnalnb= ，此时则 ，命题成立；当 a1b0 时，ln +aln+b=lna，此时 ， lna，则，命题成立；当 1ab0 时，ln +aln+b=0， 成立；ii1 时，同理可验证是正确的，故 正确；
13、（4）对于，当 a1，b1 时，ln +（a+b）=ln（a+b），ln +a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），a+b2ab=aab+bab=a（1b）+b（1a）0，a+b2ab，ln（a+b）ln（2ab），ln+（a+b）ln +a+ln+b+ln2当 a1，0b1 时，ln +（a+b ）=ln （a+b），ln +a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），a+b2a=ba0，a+b2a，ln（a+b）ln（2a），ln+（a+b）ln +a+ln+b+ln2当 b1，0a1 时，同理可证 ln+（a+b） ln+a+ln+b+ln2当 0a1，0b
14、1 时，可分 a+b1 和 a+b1 两种情况，均有 ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2故正确故答案为【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错二、解答题：分值 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数 f（x）=2 sinxcosx+cos2xsin2x1（xR ）（）求函数 y=f（x）的周期和递增区间；（）若 x ， ，求 f（x）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函
15、数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（I）利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间，求出此函数的增区间；（II）由 x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的性质求出函数的最大值和最小值【解答】解：（1）由题设 f（ x）=2 sinxcosx+cos2xsin2x1= sin2x+cos2x1= ，则 y=f（x）的最小正周期为：由 2k 2x+ 2k+ （k z）得k xk+ ，k z，y=f（x）的单调递增区间为：k ，k+ （kz），（2）由 x ， ，可得考察函数 y=sinx，易知于是 故 y=f（x）的取值范围为：3，
16、1【点评】本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的性质应用，属于中档题，16已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 5S1，2S 2，S 3 成等差数列（1）求a n的公比 q；（2）当 a1a3=3 时，证明：数列S n1也是等比数列【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）由 5S1，2S 2，S 3 成等差数列，可得 4S2=S3+5S1，化为 q23q+2=0，解得 q（2）当 a1a3=3 时，q1，可得：a 1（12 2）=3，解得 a1求出 Sn，证明当 n2 时，=常数（非 0）即可【解答】（1）解：5S 1，2S 2，S 3 成等差数列，4S2=S3+5S1，化为 4a1（q+1）= ，q23q+2=0，解得 q=1 或 2（2）证明：当 a1a3=3 时，q1，可得：a 1（12 2）=3，解得 a1=1Sn= =12n，当 n2 时， = =2，数列 Sn1也是等比数列，首项为 2，公比为 2【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
