1、2015-2016 学年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知 U=y|y=log2x，x1，P=y|y= ，x2，则 UP=（ ）A ，+） B （0， ） C （0，+） D （，0）（ ，+）2 （5 分）命题“若 x2+y2=0， x、yR ，则 x=y=0”的逆否命题是（ ）A若 xy0，x、yR，则 x2+y2=0B若 x=y0，x、yR，则 x2+y20C若 x0 且 y0，x、yR，则 x2+y20D若 x0 或 y0，x、yR，则
2、 x2+y203 （5 分）在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=1，点 P 在 AM 上且满足学 =2 ，则 （ + ）等于（ ）A B C D4 （5 分）设双曲线 =1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A B5 C D5 （5 分）将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是（ ）Ay=cos2x By=2cos 2x C Dy=2sin 2x6 （5 分）函数 f（x）= 的零点个数为（ ）A3 B2 C1 D07 （5 分）若函数 y=f（x）的导函数为 y=f（x） ，且 f（ x）=
3、2cos（2x+ ） ，则 y=f（x）在0，上的单调增区间为（ ）A B C 和 D 和8 （5 分）如果实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A3，4 B2，3 C ， D ， 9 （5 分）在数列a n中，a 1=2，a n+1=an+ln（1+ ） ，则 an=（ ）A2+lnn B2+（n 1）lnn C2+nlnn D1+n+lnn10 （5 分）已知函数 f（x）对定义域 R 内的任意 x 都有 f（x）=f（4x） ，且当 x2 时其导函数 f（x）满足 xf（x） 2f（x） ，若 2a 4 则（ ）Af（2 a）f（3）f（log 2a） Bf（3）f（log 2a）
4、f（2 a）Cf（log 2a） f（3）f（2 a） Df （log 2a）f （2 a）f（3）11 （5 分）已知集合 M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x 1，y 1）M，存在（x 2，y 2） M，使得x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 是“垂直对点集” 给出下列四个集合：M= ；M=（x，y）|y=sinx +1；M=（x，y）|y=log 2x；M=（x，y）|y=e x2其中是“垂直对点集” 的序号是（ ）A B C D12 （5 分）已知 a1，函数 f（x）=log a（x+1） ，g（x）=2log a（2x+t） ，当 x（1，1） ，t 4，6时，存在
5、 x，t 使得 g（x）f（x）+4 成立，则 a 的最小值为（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13 （5 分）点 M 是圆 x2+y2=4 上的动点，点 N 与点 M 关于点 A（1，1）对称，则点 N 的轨迹方程是 14 （5 分）设函数 f（x）=log 3（9x）log 3（3x） ， x9，则 f（x）的最小值为 15 （5 分）抛物线 y2=2px（p0）的动弦 AB 长为 a（a2p） ，则弦 AB 的中点 M 到 y 轴的最小距离为 16 （5 分）对于实数 a 和 b，定义运算“*”：a*b= 设 f（x）=（2x1）
6、*（x 1） ，且关于x 的方程为 f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根 x1，x 2，x 3，则 x1x2x3 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知函数 f（x） = sinxcosx+2cos2x+m 在区间0， 上的最大值为 2（1）求常数 m 的值；（2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边是 a，b，c ，若 f（A）=1，sinB=3sinC，ABC 面积为 求边长 a18 （12 分）等差数列a n的各项均为正数，a 1=3，前 n 项和为 Sn，b n为等比数列，b 1=1，且b2S
7、2=64，b 3S3=960（1）求 an 与 bn；（2）求和： 19 （12 分）已知抛物线 y2=2px（p0）的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点，且 |AB|=18（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 = + ，求 的值20 （12 分）已知椭圆 C： 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切（）求椭圆 C 的方程；（）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，设两直线的斜率分别为 k1，
8、k 2，且 k1+k2=4，证明：直线 AB 过定点（ ，1） 21 （12 分）设函数 f（x）= mx3+（4+m ）x 2，g（x）=aln（x1） ，其中 a0（1）若函数 y=g（x）图象恒过定点 P，且点 P 关于直线 x= 的对称点在 y=f（x）的图象上，求 m 的值；（2）当 a=8 时，设 F（x）=f（x）+g（x+1） ，讨论 F（x）的单调性；（3）在（1）的条件下，设 G（x）= ，曲线 y=G（x）上是否存在两点 P、Q，使OPQ（O 为原点）是以 O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在 y 轴上？如果存在，求 a 的取值范围；如果不存在，说明理由请在第 22
9、、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲（共 1 小题，满分 10 分）22 （10 分）选修 41：几何证明讲已知ABC 中，AB=AC，D 是ABC 外接圆劣弧 上的点（不与点 A，C 重合） ，延长 BD 至 E（1）求证：AD 的延长线平分CDE；（2）若BAC=30，ABC 中 BC 边上的高为 2+ ，求 ABC 外接圆的面积选修 4-4；坐标系与参数方程 （共 1 小题，满分 0 分）23在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为cos（ ）=1 ，M，N 分别为 C 与 x
10、轴，y 轴的交点（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；（2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）24设函数 f（x）=|x 1|+|xa|（1）若 a=1，解不等式 f（x）3（2）如果xR，f（x）2，求 a 的取值范围2015-2016 学年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分） （2011 湖北）已知 U=y|y=log2x，x1，P=y|y=
11、 ，x2，则 UP=（ ）A ，+） B （0， ） C （0，+） D （，0）（ ，+）【分析】先求出集合 U 中的函数的值域和 P 中的函数的值域，然后由全集 U，根据补集的定义可知，在全集 U 中不属于集合 P 的元素构成的集合为集合 A 的补集，求出集合 P 的补集即可【解答】解：由集合 U 中的函数 y=log2x，x1，解得 y0，所以全集 U=（0，+） ，同样：P=（0， ） ，得到 CUP= ，+） 故选 A【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题2 （5 分） （2015 秋 天水校级期末）命题“若 x2+y2=0，x 、yR，则 x=y=0”的
12、逆否命题是（ ）A若 xy0，x、yR，则 x2+y2=0B若 x=y0，x、yR，则 x2+y20C若 x0 且 y0，x、yR，则 x2+y20D若 x0 或 y0，x、yR，则 x2+y20【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可【解答】解：根据逆否命题的定义可得命题的逆否命题为：若 x0 或 y0，x、yR，则 x2+y20，故选：D【点评】本题主要考查逆否命题的判断，根据逆否命题的定义是解决本题的关键比较基础3 （5 分） （2009 陕西）在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=1，点 P 在 AM 上且满足学 =2 ，则（ + ）等于（ ）A B C D【分析】由 M 是 BC
13、的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，又由点 P 在 AM 上且满足 可得：P 是三角形 ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解【解答】解：M 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，又由点 P 在 AM 上且满足P 是三角形 ABC 的重心= =又AM=1 = =故选 A【点评】判断 P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线的交点性质：或 取得最小值坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数4 （5 分） （2009 山东）设双曲线 =1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A B5 C D【分析】由双曲线方程求得双曲线的一条
14、渐近线方程，与抛物线方程联立消去 y，进而根据判别式等于0 求得 ，进而根据 c= 求得 即离心率【解答】解：双曲线 的一条渐近线为 ，由方程组 ，消去 y，有唯一解，所以= ，所以 ， ，故选 D【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质离心率问题是圆锥曲线中常考的题目，解决本题的关键是找到 a 和 b 或 a 和 c 或 b 和 c 的关系5 （5 分） （2014 梅州二模）将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是（ ）Ay=cos2x By=2cos 2x C Dy=2sin 2x【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律及三
15、角函数间的关系式即可得到答案【解答】解：令 y=f（x）=sin2x，则 f（x+ ）=sin2（x+ ）=cos2x，再将 f（x+ ）的图象向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是 y=cos2x+1=2cos2x，故选：B【点评】本题考查函数 y=Asin（x+）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题6 （5 分） （2010 福建）函数 f（x）= 的零点个数为（ ）A3 B2 C1 D0【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点由所得的个数选出正确选项【解答】解：当 x0 时，令 x2+2x3=0 解得 x=3；当 x0 时，令2+lnx=0 解得 x=100，所以已知函数
16、有两个零点，故选：B【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题7 （5 分） （2013 九江县模拟）若函数 y=f（x）的导函数为 y=f（x） ，且 f（x）=2cos（2x+ ） ，则y=f（x）在0，上的单调增区间为（ ）A B C 和 D 和【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到 ，据此即可求得单调区间，再利用自变量 x 的取值范围0，即可得到答案【解答】解：由于 ，得到 ，解得 ，取 k=0，k=1，又 x0，则 和 故答案为：D【点评】本题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间8 （5
17、 分） （2012 湖南一模）如果实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A3，4 B2，3 C ， D ， 【分析】根据分式的性质进行转化，利用数形结合即可得到结论【解答】解： = ，设 k= ，则 k 的几何意义是动点（x，y）到定点 D（5，6）的斜率，作出不等式组对应的平面区域，由图象可知，AD 的斜率最小，BD 的斜率最大，其中 A（0，4） ，AD 的斜率 k= ，由 ，解得 ，即 B（2，2） ，BC 的斜率 k= ，即 ，则 k+1 ，即 ， ，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线的斜率公式，结合数形结合是解决本题的关键9 （5 分） （2008 江西）在数
18、列a n中，a 1=2，a n+1=an+ln（1+ ） ，则 an=（ ）A2+lnn B2+（n 1）lnn C2+nlnn D1+n+lnn【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成 ，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项【解答】解： ，=故选：A【点评】数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 nN 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1 或n1 等，这种办法通常称迭代或递推解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项10 （5 分） （2016 白银模拟）已知函数 f（x）对定义域 R 内的任意 x 都
19、有 f（x）=f（4x） ，且当 x2时其导函数 f（ x）满足 xf（ x）2f（x） ，若 2a4 则（ ）Af（2 a）f（3）f（log 2a） Bf（3）f（log 2a）f（2 a）Cf（log 2a） f（3）f（2 a） Df （log 2a）f （2 a）f（3）【分析】由 f（x）=f（4x） ，可知函数 f（x）关于直线 x=2 对称，由 xf（x）2f（x） ，可知 f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性，从而可得答案【解答】解：函数 f（x）对定义域 R 内的任意 x 都有 f（x）=f（4x） ，f（x）关于直线 x=2 对称；又当 x2 时其导函数 f（x）满足
20、 xf（x）2f（x）f（x） （x2）0，当 x2 时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当 x2 时，f（x ）在（，2）单调递减；2a4，1log 2a2 ，24log 2a3，又 42 a 16，f （log 2a）=f（4log 2a） ，f（x）在（2，+）上的单调递增；f（log 2a） f（3）f（2 a） 故选 C【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断 f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性是关键，属于中档题11 （5 分） （2016 榆林一模）已知集合 M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x 1，y 1）M，存在（x 2，y
21、2）M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 是“垂直对点集”给出下列四个集合：M= ；M=（x，y）|y=sinx +1；M=（x，y）|y=log 2x；M=（x，y）|y=e x2其中是“垂直对点集” 的序号是（ ）A B C D【分析】对于利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于、 、通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于y= 是以 x，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是 90，所以在同一支上，任意（x 1，y 1）M，不存在（ x2，y 2） M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（ x1，y 1）M，不存在（x 2，y 2）M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“ 垂直对点集”对于M=（x，y）|y=sinx+1，对于任意（x 1，y 1）M，存在（x 2，y 2）M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，例如（0，1） 、 （，0） ，满足“垂直对点集”的定义，所以 M 是“ 垂直对点集”；正确对于M=（x，y）|y=log 2x，取点（1，0） ，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”
