1、1中学代数研究问题要点（内容与要求）第一章 数与数系1.1 数系的历史发展1、 数系的扩展过程：（1）人类对于数的认识历史的整理N非 零 CRQ0（2）由公理系统逻辑整理 ZN（3）中小学数系扩展的过程： CR 添 虚 数添 无 理 数添 负 有 理 数添 正 分 数添 算 术 数 集非 零 002、数系扩展的方法：（1）添加元素法（2）构造法3、中小学数系扩展的方法：在中小学数学课程中，考虑到中小学生的心理特点和接受能力，采用近代数学观点：添加元素并强调运算的方法进行。4、 新“数”获得承认的主要原因：算法是否合理，即运算的无矛盾性1.2 自然数系和 01、 关于自然数的序数理论（1）自然数
2、的公理系统（2）自然数运算的定义与性质（3）了解自然数系的序结构2、数学归纳法的逻辑依据是自然数（皮亚诺）公理五归纳公理，2数学归纳法是自然数的序数理论合理性的保证。3、数学归纳法的语言模式4、中小学数系教学建议（1）不用公理化方法构造数系；（2）整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。1.3 从自然数系到整数环1、 负数的引入（1） 公理化方法引入（2） 中学有关教学顺序：具有相反意义的量运算法则顺序绝对值的（几何、代数）意义2、 整数在生活中的应用。1.4 有理数系1、 有理数的意义成比例的数就是合理的即为有理数，不成比例的数就是无理的即为无理数。2、 有理数的三种定义（无本质区别）（1）
3、将单位 1 平均分为若干分，表示这样的一份或几份的数，称为分数。（2）分数是两个整数相除所得的商。 （小学定义）（3）分数是一对整数之比， （有些形式化的定义）)0(qp两点注意：3（1） 的意义 （2）为什么分数的分母不能为零？ba3、了解分数的形式化定义4、了解 Q 是域5、了解有理数系的性质1.5 实 数 系1、了解什么是不可公度？2、了解无理数的三种定义3、证明无理数的方法反证法证明有理数的方法写成分数形式或者证明是循环小数。1.6 复 数 系1、 了解复数的发展过程2、 了解复数的意义3、 了解中学复数的内容体系4、 掌握复数的引入5、数集所具有性质总结归纳如下：主 要 性 质代数结
4、构 离 散 性 稠 密 性 有 序 性 有序环或域 连 续 性数 集自然数集 N整数集 Z有理数集 Q实数集 R复数集 C可换半群整环域域域6、了解数系的理论在中小学数学教学中的要求；了解中小学数系理论的教学方法及教育价值。第二章 式、代数式与不等式42.1 数学符号简史1、了解数学符号简史2.2 数学符号语言代数式1、 了解数学符号的历史2、 了解数学符号的作用3、 了解中学教学中数学符号的地位2.3 字母表示数1、 了解中学字母表示数的定义方式与要求2、 掌握字母表示数的四个层次3、 掌握字母表示数的意义2.4 解 析 式1、 了解解析式的定义及分类 初 等 超 越 式无 理 式 分 式整
5、 式 （ 多 项 式 ）有 理 式代 数 式解 析 式2、 掌握等式的定义及分类3、 掌握不等式的定义及分类4、了解中学解析式教学建议。2.5 绝对不等式的证明1、 掌握不等式证明的方法：常识性理解的论证、综合法和分析法、放缩法、构造法（构造函数、构造几何图形） 、反证法52.6 条件不等式的求解1、掌握不等式求解的方法：转化思想、分类讨论、图解法、利用同解变形求解、含参数不等式求解的方法第三章 方 程3.1 方程的历史发展及其科学价值1、 了解方程发展简史2、 了解方程在中学数学中的地位与作用3、 理解方程的科学价值3.2 方程的定义1、理解方程的定义（中学的定义、逻辑定义、解析式定义）2、
6、理解方程的分类3.3 同解方程1、 理解一元方程同解的定义；2、 掌握同解判定定理。3.4 几种常见方程的变形1、理解并掌握分式方程的三种变形及依据；2、理解并掌握无理方程的四种变形及依据；3、理解并掌握对数方程的变形及依据，掌握对数方程的求法及依据；4、理解并掌握指数方程的变形及依据，掌握指数方程的求法及依据；65、理解并掌握三角方程的变形及依据，掌握三角方程的求法及依据；6、理解并掌握复合方程的变形及依据，掌握复合方程的求法及依据；3.5 解方程的常用方法1、理解解方程及方程组的基本思想；2、理解并掌握换元法，明确换元法的适用范围；3、理解并掌握引入参数法，明确引入参数法的适用范围；4、理
7、解并掌握二项方程和三项方程的解法；5、理解并掌握因式分解法，明确因式分解法的适用范围；6、理解并掌握图像法，明确图像法的适用范围；7、理解并掌握待定系数法，明确待定系数法的适用范围；8、理解并掌握方程组的解法；3.6 一元三次、四次以及高次方程1、了解一元三次方程的解法；2、了解一元四次方程的解法；3、了解五次及五次以上代数方程的解的情况。4、了解代数基本定理。3.7 达公式、方程根的性质1、理解并掌握一元二次、高次方程根与系数的关系；2、理解并掌握利用变换求解一元高次方程的方法。3.8 不定方程与中国剩余定理71、了解不定方程的特点，了解百鸡问题；2、掌握二元一次不定方程、三元不定方程（组）
8、的解法。第四章 函数4.1 函数的发展及其科学价值1、了解函数概念的地位；2、了解函数概念的 发展 过程；3、了解关于函数概念的三种学说；4、了解初等函数在中学数学教学中的要求；了解中学初等函数的教学方法及教育价值。4.2 函数概念的三种定义1、理解函数概念的三种定义方式；2、了解映射的概念；理解函数、反函数的概念；3、理解互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。4.3 初等函数1、掌握基本初等函数的概念、性质和图象。2、理解初等函数的概念、分类；了解代数函数、基本超越函数的定义。3、了解初等函数与微积分的关系、无理数幂的问题；了解对数的意义；4、了解三角函数的地位；5、掌握用
9、初等方法讨论初等函数的定义域、值域和特殊的性质。4.4 函数的图像与函数的特征1、掌握初等函数图象的作法。2、掌握简单初等函数的 图像及性质；3、会利用函数图像求解有关问题；4、掌握函数的一些主要性质有界性、奇偶性、单调性、周期性。4.5 函数概念的教学1、了解中学函数概念从“变量说”过渡到“对应说”的过程；2、弄清函数与代数式、方程、不等式及函数图像的关系；3、明确函数教学中利用变量间的依赖关系，构造函数模型的教学过程；4、明确函数的三种表示方法及实际意义；5、明确“变量说 ”与 “对应说”是认识函数概念的不同方面；86、重视抽象地、符号地了解 的意义的教学；)(xf7、明确利用美国杜宾斯基
10、的概念教学理论进行函数概念的教学方法。第五章 数 列5.1 数列简史1、了解数列概念发展的历史；2、了解高阶等差数列概念发展的历史；3、了解斐波那契数列发展的历史及价值。5.2 中学数学里的数列及其求和1、了解中学数列教学内容的编排特点及作用；2、掌握数列的定义及其表示方法；3、了解有限数列的通项和拉格朗日插值公式；4、掌握数列求和法；5.3 等差数列与等比数列1、掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式和求前 项和公式；n2、掌握等差（比）中项的概念；掌握等差数列与等比数列的性质；5.4 数列的差分与高阶等差数列1、了解数列的差分；2、了解高阶等差数列。5.5 线性递归数列1、了解递归数列的定义及通项公式的求法；2、了解线性递归数列的定义。5.6 数列应用举例1、掌握利用等比数列求和法解决复利等实际问题；5.7 数列与数学归纳法1、了解数列与数学归纳法的关系；2、了解数列在中学数学教学中的要求；了解中学数列的教学方法及教育价值。第六章 算 法1、了解算法在中学数学教学中的要求；了解中学算法的教学方法及教育价值。第七章 中学代数问题精选1、了解中学代数问题的主要课题；2、掌握解决中学代数问题的常规思想方法。
