1、数学分析电子教案,重庆邮电大学数理学院 高等数学教学部 沈世云 62460842 ,第一节 关于实数的基本定理 第二节闭区间上连续函数性质的证明,第三章 实数的完备性,第一节 关于实数的基本定理,子列 二.上确界与下确界 三. 区间套定理 四. 致密性定理 五. 柯西收敛原理,一、子列,注意：,例如，,1.子数列的定义,2.收敛数列与子数列的关系,证,证毕,定理1 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,例1,对于数列xn,证,此时有,此时有,总之：,恒有,定理2 ( 数列收敛充要条件 ) , 收敛,定理3 ( 数列收敛充要条件 ) , 收敛,子列 , 和 ,收敛于同一极限., 的任何子列收敛,
2、于同一极限.,若数列 有一个子列发散,从而 发散.,其偶数项组成的子列 收敛于1,等，则数列 一定发散。,定理2的逆否命题是判断数列发散的有力工具:,它的奇数项组成的子列,发散.,注,或有两个子列收敛而极限不相,举例,数列,而,奇数项组成的子列,收敛于-1,再如数列,即为,由于这个子列发散，,故数列,二、上确界和下确界,1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界) 数集S有上界 数集S无上界 数集S有下界 数集S无下界 数集S有界 数集S无界,例2 证明：集合,是无界数集.,证：,由无界集定义，E 为无界集.,2、上确界和下确界的定义,确界的其它定义,定理4 设数集有上（下）确界，则这上（下
3、）确界唯一。,3 确界原理定理5 (确界原理). 设 E 为非空数集， （1）若E有上界，则E必有上确界； （2）若E有下界，则E必有下确界。,例3 设数集S有上确界.证明,例4,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界, 故有,而此式又表明数 是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1为例做解释.,4
4、.确界与最值的关系: 设 E为数集. E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论.,定理6 单调有界数列必有极限。,定理6(单调有界定理) 单调有界数列必有极限,证明,定理6(单调有界定理) 单调有界数列必有极限,定理6的几何解释,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,例2 设,证明数列 收敛.,例3,例4,(n重根号), ,证明数列,单调有界, 并求极限.,求,( 计算,的逐次逼近法, 亦即迭
5、代法 ).,解 由均值不等式, 有,有下界;,注意到对,有,有,例5,1）证明序列,的极限存在；,2）求极限,解 1） 因,时有,所以,即有,故序列,下降。因此序列极限存在，记极限,值为c。于是,这表明序列,有下界。又,或,2） 因,所以,又,即得,例6,证,(舍去),三、 区间套定理,1、 区间套的定义,定义1 设闭区间列 具有如下性质：,( i ),( ii ),则称 为闭区间套，或简称区间套。,定理7.(区间套定理),或者,证 由定义1 的条件1 可知, 数列an递增, 有上界,b1.所以由单调有界定理, 可知 an 的极限存在.,从而由定义1 的条件2 可得,因为 an 递增, bn
6、递减, 所以,设,这样就证明了 的存在性.,现在证明 是唯一的 。,推论,若 是区间套 所确定的点 ,(,),证 由区间套定理的证明可得:,由极限的保号性, 对于任意正数 , 存在 N,推论 设 an ,bn 是一个区间套,现在证明 是唯一的 。,但是定理1中的 是不存在的, 这是因为,证明过程, 哪一步通不过?,的,注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.,注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结,论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然,即,注1,区间套定理中要求各个区间都是闭区间.,但不存在属于所有开区间的公共点。,注2,区间套定理在有理数域不一定成立。,五、致密性定理
7、,1 聚点定理,设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S， 也可以不属于S）。,若 的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称 为点集S的一个聚点。,整数集Z和自然数集N没有聚点。,任何有限数集没有聚点.,聚点概念的另两个等价定义:,则称 为S的一个聚点。,若存在各项互异的收敛数列,三个定义等价性的证明:,显然。,显然。,设 为S（按定义 ）的聚点，,无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列,定理8 （魏尔斯特拉斯（weierstrass)聚点定理）,实轴上的任意有界无限点集至少有一个聚点。,证,因为S是有界点集，,现将 等分为两个子区间。,因为S是无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷
8、多个点，,证毕。,再将 等分为两个子区间，,则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点 ,将此等分子区间的手续无限的进行下去，得到一个区间列,且其中每一个闭区间都含S中无穷多个点。,由区间套定理，存在唯一的点,由推论得：,从而 内含有 S中无穷多个点，,按定义2，为S的一个聚点。,定理9（致密性定理） 有界数列必含有收敛子列。,证,设xn为有界数列 ,若xn中有无限多个相等的项，,则由这些项组成的子列是一个常数列，,而常数列总是收敛的。,若xn中不含无限多个相等的项，,故由聚点定理，点集xn至少有一个聚点，,则xn在数轴上对应的点集必为有界无限点集，,于是按定义 ，存在xn的一个收敛子列（以 为
9、其极限）.,证毕。,补充：,注：,聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。,S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,数列xn是有理数域内的有界数列，但其极限是无理数e.,从而任一子列均收敛于e。,故xn在有理数域内没有收敛的子列。,因而在有理数域没有聚点。,五、Cauchy收敛准则,1 Cauchy列：,如果数列,具有以下特性：,则称数列,是一个基本数列.（ Cauchy列）,2 Cauchy收敛准则：,定理10 数列,收敛的充要条件是：,是一个基本数列.,数列,收敛,或,定理的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给
10、定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.,作为致密性定理的应用，我们用它数列的柯西收敛准则。,证 充分性,先证明an是有界的。,即an是有界的。,由致密性定理，有界数列an必有收敛子列,证毕。,五、柯西收敛原理,定义3,设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如(a,b)的开区间）。,若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，,则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.,若H中开区间的个数是无限的（有限）的，则 称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。,六 有限覆盖定理,如：函数f 在 (a, b) 内连续，,这样就得到一个开区间集:,它是区间(a, b
11、)的一个无限开覆盖。,是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。,定理11（海涅博雷尔（Heine-Borel)有限覆盖定理）,闭区间a, b的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖a, b。,证,用反证法,设不能从H中选出有限个开区间覆盖a, b。,将a, b等分为两个子区间，,则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖 ,记这个子区间为,再将a1, b1等分为两个子区间 ,其中至少有一个区间不能用H中有限个开区间来覆盖。,记这个子区间为 a2, b2,重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。,由区间套定理，存在唯一的一点,
12、由于H是闭区间a, b的一个开覆盖，,由定理7.1推论，当n充分大时有,这表明an, bn只须用H中的一个开区间 就能覆盖 ,这与挑选an, bn时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾。,证毕。,有限覆盖定理对开区间不一定成立 。,注,构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖 ，,但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。,因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，,*注：实数完备性基本定理的等价性,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即：,1. 确界原理（定理）；,2. 单调有界定理（）；,3. 区间套定理；,4. 有限覆盖定理,5. 聚点定理（,6. 柯西收敛准则；,
13、在实数系中这六个命题是相互等价的 。,在有理数系中这六个命题不一定成立 。,作为区间套定理的应用，证明的“数列的柯西收敛准则” 。,证 必要性,柯西收敛准则另一证法,充分性,即在区间 内含有 中除有限项外所有的项，,写作“几乎所有的项”,仿以上方法得到闭区间列,由区间套定理，存在唯一的一个数,由推论得 ：,因此在 内含有 中除有限项外的所有项，,七、 小结,(1) 有界数集的确界定理,(2) 单调有界数列的极限存在定理,(3) 区间套定理,(4) Weierstrass聚点定理;,(5) 柯西收敛原理,(6) Heine-Borel有限覆盖定理;,3.2 闭区间上连续函数性质的证明,一、 有界
14、性定理,若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有界.,证明:,(应用有限覆盖定理证明),二 最大最小值定理,若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有最大值和最小值.,证明:,(应用确界原理证明),三 介值性定理,设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 和 之间任何实数, 则存在 , 使得 .,证明:,(应用区间套定理证明),四、反函数连续性定理,分析：,五 一致连续性定理,若函数 在闭区间 上连续,则 在 上一致连续.,证明:,(应用有限覆盖定理证明),六 小结,(1) 有界性定理的证明;,(2) 最大,最小值定理的证明;,(3) 介值性定理的证明;,(4) 一致连续性定理的证明;,(5) 实数完备性定理的应用;,
