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1、 编号:合肥工业大学本科毕业论文Cauchy-Schwarz 不等式的推广及应用院 系：数学科学系姓 名：XXXx学 号：XXXXX 专 业：数学与应用数学年 级：XXXXX 指导老师：XX职 称：XX完成日期：2012 年 3 月目录Cauchy-Schwarz is a very basic and important inequality in mathematics,and it is widely used in many branches of mathematics.2This paper mainly introduces the Cauchy-Schwarz inequali

2、ty two perplexitys ,application and promotion .This paper first disscusses the Cauchy-Schwarz inequalitys discrete form and continuous form and their different proofs. And then ,we continue debate our discussion of Cauchy-Schwarz inequality theorem and applications on the basis of the theorem . Fina

3、lly ,we give Cauchy-Schwarz inequality of three prove and its in the real area ,n d Europe type space,probability theory and matrix and application. .2Key words:Cauchy-Schwarz inequality ;determinant;nonnegative quadratic.32 Cauchy-Schwarz 不等式的推广 .42.1 Cauchy-Schwarz 不等式 .4定理 2.1 离散形式的 Cauchy-Schwar

4、z 不等式. .4若 和 是任意实数,则有 .4na,21 nb,21定理 2.2 连续形式的 Cauchy-Schwarz 不等式 .5注 除有限点外, ,有 ,但 与 并不成比例.axgf),(babadxgxf)()()(fxg.62.2Cauchy-Schwarz 不等式的推广 .63 Cauchy-Schwarz 不等式的应用 .113.1Cauchy-Schwarz 不等式在 n 维欧式空间中的应用 .113.2Cauchy-Schwarz 不等式在数论中的应用 .123.3Cauchy-Schwarz 不等式在概率论中的应用 .14Cauchy-Schwarz 不等式在实数域的形

5、式 .15.15niinii bab020)()(而在概率论中亦有一个类似的不等式 .15.1522)(E这里 , .15现在建立一个概率模型，用概率论中的不等式去证明 Cauchy-Schwarz 不等式. .15设有二维随机向量（ ） ，它的联合分布为 .15,.15.15.15nbb321.15iP.15naa321.15non11.15nn11.15jP.15nn11那么，有随机变量的函数的数学期望公式可得： .15.15iibaE1)(.15ni122.15nibE122由于 .15.1622)(E所以 .16.16)1()()1( 22nininii bab即 .16.16)()(

6、12121nininiia定理 5 对于 2 个随机变量 X、Y，若 、 存在,则有 . .16)(2E)(2Y)()(22YEXYE证明 当 时， ，此时 ，故 ,不等式成立； .160)(E,eaea0当 时， .162X令 .16(恒成立) .1602)()() 22 YEtXtYttf于是 .16.160)(4)(22EXE即 .16.16)()(22YY3.4Cauchy-Schwarz 不等式在矩阵中的应用 .16定理 6 已知 ,则有 .16)(,RMBAn)()(2BtrAtBtr证明 若 ,则有 .故 .160)(tr 0即此时不等式成立. .16当 时, .16)(t令 .

7、16.17)()(BtAtrtf（恒成立) .170(2r注意到 .17.17)()(BAtrt于是 .17.170)(4)(trtt所以 变成 即可 .17B.17)()(2BtrAttr最后由 的任意性将上述不等式中 换成 即得 .17B.17)()(2ttt定理 7 已知 , 是 n 阶正定矩阵,则有 .17R,.17)()(2AYXAY证明 当 时,必有 .1700此时两边都为零,成立. .17当 时 .17令 .17.17)()()YtXAtf(恒成立) .17022tt A于是 .17.170)(4)(2AYXAYX从而 .17.18)()(23.5Cauchy-Schwarz 在

8、 n 重黎曼积分中的应用 .18定理 8 设 是 中的闭区域, 在 上黎曼可积,则有 .18nR),(),(2121 nnxgxf ),(),(),( 212121 dxgdfdxgxf nnn 证明 当 时,有 两边都为 0,成立. .180, .)(),(21eaxn当 时, .18),(21xfn令 .18.18dxgtftf nn22121 ),(),()( .180),(),(,21 212dxg dxgftn n 恒成立 .18于是 .18.180 ),(),(4,2121 dxgdxf nn 得证 .18推论 当 时,即一元定积分中的 .181n bababa dxgxfdxgf

9、 )()()( 22结束语 .19参考文献 .20致 谢 .21摘 要Cauchy-Schwarz 是数学中一个非常基本而且重要的不等式,在许多数学分支中被广泛使用.本文主要介绍 Cauchy-Schwarz 不等式两种形式、应用及其推广.本文首先讨论了 Cauchy-Schwarz 不等式离散形式和连续形式及其证法;然后,在这些定理的基础上,我们继续讨论 Cauchy-Schwarz 不等式定理的推论及其应用;最后,给出 Cauchy-Schwarz 不等式在 n 维欧式空间、数论、概率论、矩阵和 n 维黎曼积分中的应用.关键词:Cauchy-Schwarz 不等式;行列式;非负二次型Abs

10、cractCauchy-Schwarz is a very basic and important inequality in mathematics,and it is widely used in many branches of mathematics.This paper mainly introduces the Cauchy-Schwarz inequality two perplexitys ,application and promotion .This paper first disscusses the Cauchy-Schwarz inequalitys discrete

11、 form and continuous form and their different proofs. And then ,we continue debate our discussion of Cauchy-Schwarz inequality theorem and applications on the basis of the theorem . Finally ,we give Cauchy-Schwarz inequality of three prove and its in the real area ,n d Europe type space,probability

12、theory and matrix and application.Key words:Cauchy-Schwarz inequality ;determinant;nonnegative quadratic1 引 言Cauchy-Schwarz 不等式是数学领域中一个非常重要的不等式,此不等式的具体模型为离散形式的 Cauchy 不等式和连续形式的 Schwarz 不等式.这是 2 个非常重要的不等式,应用广泛.Cauchy-Schwarz 不等式有很多种变形,所以很有必要讨论有关该不等式的证明、推广及其应用.运用不同的方法证明 Cauchy-Schwarz 不等式的成立;很多资料中都介绍

13、Cauchy-Schwar 不等式的在实数域、微积分、n 维欧式空间、概率论中的变形及其证法,甚至在数学竞赛中也有这种题目的考察.本文给出了 Cauchy-Schwarz 不等式的两种基本形式以及构造一元二次函数使用判别式的证明方法.然后将该证明方法用于 Cauchy-Schwarz 在定积分和概率论中的证明;最后将不等式连同证明方法推广至矩阵论中的运算以及二次型变换.2 Cauchy-Schwarz 不等式的推广2.1 Cauchy-Schwarz 不等式定理 2.1 离散形式的 Cauchy-Schwarz 不等式.若 和 是任意实数,则有na,21 nb,21（1）)()1221nkkk

14、 ba（此外,如果有某个 ,则上式中的等号当且仅当存在一个实数 x 使得对于每一个0ia都有 时成立.式（1）称为离散形式的 Cauchy-Schwarz 不等nk,21kbx式.证明 当 全为零时,命题显然成立.na,21当 不全为零时,令 )(1iniibxay即 niinini bxaxy12121)()(这是关于 x 的一元二次函数.由于 恒成立,因此判别式 0 ,012yani 即 0)(4)(1221 niiini bab化简得)()(1221niiini bab且等号当且仅当存在 X,使 时成立.ixa,定理 2.2 连续形式的 Cauchy-Schwarz 不等式若 在 上可积,则)(,xgfb(2)()()( 222 dxgxfdxgfbabaa 称为连续形式的 Cauchy-Schwarz 不等式.)()()( 222xfdxgfbababa证明 因为 , 都在 上可积,则有定积分的性质 、 、 f)(2xf)(xgf)(2均在 上可积,对区间 进行 n 等分,分点为bbniax,2101由定积分的定义,有 nabxgfxfginiiba )(lm)(1fdfiniba)(l)(122nabxgxginiba )(l)(122又 )()()( 1