1、 第三章 线性方程组1 消元法一 授课内容：1 消元法二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组.三 教学重难点：用消元法解线性方程组.四 教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为（1）nnnnbxaxa21 222 121的方程组，其中 代表 个未知量， 是方程的个数， （, sija， ）称为方程组的系数， （ ）称为si,2j,j s,21常数项.所谓方程组（1）的的一个解就是指由 个数 组成的有序数组（n） ，当 分别用 代入后， （1）中每nk,2 nx,21 nk,21个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出
2、它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵 snsnbaa 212112来表示.在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1用一非零的数乘某一方程.2把一个方程的倍数加到另一方程.3互换两个方程的位置.定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变
3、换.消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.（5）012222 1111 rrnrrndxcxcd显然（5）与（1）是同解的.考察（5）的解的情况.如（5）中的方程 ，而 这时不管 取什么1rd1r nx,21值都不能使它成为等式，故（5）无解，因而（1）也无解.当 ，或（5）中根本没有“ ”的方程时，分两种情况：01rd01） ，这时阶梯形方程组为nnnndxc 222111有唯一解.例 解方程组 .624541331x解 上述方程有唯一的解 .)6,19(2） ，
4、这时阶梯形方程组为nrnnrrrndxcxcx 1, 2222 1111其中 ， ，把它改写成0icsi,1（7）nrnrr rr nxccdxcx 1,1, 2,222 11111由（7）我们可以把 通过 表示出来，这样,2 ,一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 称为一组自由未nrx1知量.例 解方程组 .14253312x解 一般解为 .)7(321x定理 1 在齐次线性方程组 02122121nnnxaxa中，如果 ，那么它必有非零解.ns把矩阵 snsnbaa 212112称为线性方程组（1）的增广矩阵，显然，用初等变换花线性方程组（1）成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯
5、形矩阵.例 解方程组 .0425331x解: 04121023从最后一行可以看出原方程组无解.2 维向量空间n一 授课内容：2 维向量空间二 教学目的：理解和掌握 维向量空间的概念，掌握 维向量空间的n两种运算及八条运算律三 教学重难点： 维向量空间的概念.n四 教学过程：定义 2 所谓数域 上一个 维向量就是由数域 中 个数组成的有PPn序数组（1）),(21na称为向量（1）的分量.ia定义 3 如果 维向量 ， 的对n),(21n ),(21nb应分量都相等，即.iaibn,21就称这两个向量是相等的，记作 定义 4 向量 称为向量),(21nba ， 的和，记为 .),(21na ),
6、(21nb 由定义立即推出（1）交换律： .（2）结合律： .)()(定义 5 分量全为零的向量 称为零向量，记为 0，向量0,称为向量 的负向量，记为 .),(21na )(21na 显然对于所有的 ，都有 , .(定义 6 .)定义 7 设 为数域 中的数，向量 称为向量kP),(21nkak 与数 的数量乘积，记为 .),(21na 由定义立即推出 kk)(llk)(1定义 8 以数域 中的数作为分量的 维向量的全体，同时考虑到定Pn义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 上的 维向量空间.P向量通常是写成一行 ),(21na有时候也可以写成一列 na21前者称为行向量，后者称为列向量.
7、3 线性相关性一 授课内容：3 线性相关性二 教学目的： 理解和掌握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩.三 教学重难点：线性相关与线性无关的概念.四 教学过程：定义 9 向量 称为向量组 的一个线性组合，如果有数s,21域 中的数 ，使 = .Psk,21 skk任何一个 维向量 都是向量组n)1,0(,)(21 n的一个线性组合，因为 naa21向量 称为 维单位向量.n,21当向量 是向量组的一个线性组合时，我们也说 可以线性表出.定义 10 如果向量组 中的每一个向量 ( )t,21 it,21都可以由向量组 线性表出，那么向量组 就称为s,21
8、 t,21可以由向量组 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表s,21出，它们就称为等价.由定义知，向量组之间的等价有以下性质1反身性 每一个向量组与它自身等价.2对称性 如果向量组 与 等价，那么向量t,21 s,21组 也与 等价.s,1 t,213传递性 如果向量组 与 等价，向量组t,21 s,21与 等价，那么向量组 与 等s,21 t,21 t t,21价.定义 11 如果向量组 （ ）中有有一向量可以经其s,21 2余的向量线性表出，那么向量组 称为线性相关的.s显然，因为零向量可以被任一个向量组线性表出，那么任意一个包含零向量的向量组必线性相关.定义 向量组 （ ）称为线性相关
9、，如果数域1 s,21 1中不全为零的数 ，使Psk,21 021sk定义 12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数 ，sk,21使 就称为线性无关，或者说，一向量组021skk称为线性无关，如果由 可以推出s,2 021skk.1skk由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.显然，由 维单位向量 组成的向量组是线性无关的.nn,21定理 2 设 与 是两个向量组，如果r,21 s1)向量组 可以经 线性表出.r,21 s,212) .sr那么向量组 必线性相关.r,21推论 1 如果向
10、量组可以经 线性表出，且 线s,21 r,21性无关，那么 .sr推论 2 任意 个 维向量必线性相关.n推论 3 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量.定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话） ，所得的部分向量组都线性相关.显然，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价，向量组的两个极大线性无关组是等价的.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.由定义立即得出，一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所
11、含向量的个数相同.显然，等价的向量组有相同的秩.4 矩阵的秩一 授课内容： 4 矩阵的秩二 教学目的： 理解和掌握行秩、列秩、矩阵的秩，掌握矩阵的秩与k 级子式的关系，会求矩阵的秩.三 教学重难点：定理 4 的证明.四 教学过程：如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的，同样的，如果我们把矩阵的每一列看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些列向量所组成的.定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理 如果齐次线性方程组 02122121nsss nxaxa的系数矩阵 snsnaaA 212112的行秩 ，那么它有非
12、零解.ns定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.因为矩阵的行秩与列秩相等，所以下面就统称为矩阵的秩.定理 5 矩阵nnnaaA 212112的行列式为零的充分必要条件是 的秩小于 .推论 齐次线性方程组 02122121nnnxaxa有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵 nnnaaA 212112的行列式等于零.定义 16 在一个 矩阵 中任意选定 行和 列，位于这些选定nsk的行和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的 矩阵的行列式，2k 称为 的一个 级子式.Ak定理 6 一矩阵的秩是 的充分必要条件为矩阵中有一 级子式不为r r零，同时所有的 级子式全为零.1r怎样计算矩阵的秩，可以用初等变
13、换化矩阵为阶梯形矩阵，其中非零行的数目就是原矩阵的秩.5 线性方程组有解的判定定理一 授课内容： 5 线性方程组有解的判定定理二 教学目的： 理解和掌握线性方程组有解判定定理，利用克兰姆法则写出一般解三 教学重难点：判定定理的证明.四 教学过程：线性方程组有解的判定定理 线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵 snsnaaA 21212与增广矩阵 snsnbaaA 212112有相同的秩.6 线性方程组解的结构一 授课内容： 6 线性方程组解的结构二 教学目的： 理解和掌握基础解系的概念，掌握方程组解的性质，掌握一般线性方程组解的结构.三 教学重难点：基础解系，解的结构.四 教学过程
14、：对于齐次线性方程组（1）02122121nsss nxaxa它的解构成的集合具有下面两个重要性质：1两个解的和还是方程组的解.2一个解的倍数还是方程组的解.综上，解的线性组合还是方程组的解.定义 17 齐次线性方程组（1）的一组解 称为（1）的一t,21个基础解系，如果1） （1）的任何一个解都可以表示为 的线性组合.t,212） 线性无关.t,2定义 7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且它所含解的个数就等于 ，这里 表示系数矩阵的秩.（以下将看到，rn也是自由未知量的个数）rn由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.对于一般的线性方程
15、组：（9）snsss nbxaxa21 222 121如果把常数项换成零，就得到齐次线性方程组（1） ，方程组（1）称为方程组（9）的.方程组（9）的解与它的导出组（1）的解有密切的关系：1方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解.2方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.由这两点容易证明定理 8 如果 是方程组（9）的一个特解，那么方程组（9）的任0一个解 都可以表成 （10）中 是导出组（1）的一个解.因此，对于方程组（9）的任一个特解 ， 0当 取遍它的导出组的全部解时， （10）就给出（9）的全部解.推论 在方程组有解的情况下，解是唯一的充分
16、必要条件是它的导出组（1）只有零解.例 用消元法解方程组.62341355432154321xxxx例 把向量组 表示为向量组 的线性组合：4321,， ， , ,)1,2(),(),(2)(3.4例 证明 如果向量组 线性无关，而 ， 线r,21 r,21 性相关，则向量 可以由 线性表出.r例 设 是互不相同的数， ，证明： rtt,21 n),(1niiit是线性无关的.ri,例 证明 如果向量组 可以由向量组（2）线性表出，那么（1）的)(秩不超过（2）的秩.例 设 是一组 维向量，证明： 线性无关的r,21 nr,21充分必要条件是任一 维向量都可以被它们线性表出.n例 证明 nnnnbxaxa21 222 121对任何的 都有解的充分必要条件是系数行列式 .nb,21 0ija例 计算矩阵 的秩.63789054
