1、第四章 图形的相似,初中数学（北师大版）九年级 上册,知识点一 平行线分线段成比例定理,例1 如图4-2-1,l1l2l3,AM=3,BM=5,CM=4.5,EF=16.求DM、EK、FK 的长.图4-2-1,解析 l1l2l3, = = . AM=3,BM=5,CM=4.5, DM= =7.5, = , EF=16,EK=6,FK=10. 方法归纳 应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中,四条线段与 两条直线的交点位置无关,关键是线段的对应,可简记为:“ = , =, = ”或“ = = ”.,知识点二 平行线分线段成比例定理的推论,例2 已知:如图4-2-2,DEBC,AD=3.6,DB
2、=2.4,AC=7.求EC的长.图4-2-2,分析 根据图形中线段间的和差关系求得线段AB的长度,然后根据“平 行线分线段成比例定理的推论”和比例的性质来求线段EC的长度.,解析 AD=3.6,DB=2.4, AB=AD+DB=6. 又DEBC, = , 即 = , EC=2.8,即EC的长是2.8.,题型一 利用平行线分线段成比例定理求线段的长,例1 如图4-2-3,直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C,交直线l5于点 D、E、F,且l1l2l3,已知EFDF=58,AC=24.求AB的长.图4-2-3,解析 l1l2l3,EFDF=58, = = , AC=24, = , BC
3、=15, AB=AC-BC=24-15=9. 点拨 能够熟练地运用平行线分线段成比例定理建立比例式,然后通过比例式求线段的长.,题型二 巧用中间比进行证明,例2 如图4-2-4,在ABC中,EFCD,DEBC. 求证:AFFD=ADDB.图4-2-4,分析 根据平行线分线段成比例定理的推论得出 = , = ,推出= 即可. 证明 EFCD, = . DEBC, = , = , 即AFFD=ADDB. 点拨 在多组平行线中,找出有连接作用的对应成比例的线段,即中间 比,可起桥梁作用.,知识点一 平行线分线段成比例定理,1.(2019黑龙江哈尔滨南岗期末)如图4-2-1,ABCDEF,AF、BE交
4、于 点G,下列比例式错误的是 ( )图4-2-1 A. = B. = C. = D. =,答案 D A.由ABCDEF,得 = ,所以A选项正确; B.由ABCD,得 = ,所以B选项正确; C.由CDEF,得 = ,所以C选项正确; D.由ABCDEF,得 = ,所以D选项错误.故选D.,3.已知:如图4-2-3,l1l2l3,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长.图4-2-3,解析 l1l2l3,ABBC=DEEF,AB=3,BC=5,DF=12,35= DE(12-DE),解得DE=4.5,EF=12-4.5=7.5.,知识点二 平行线分线段成比例定理的推论,4.(2019北
5、京房山期中)如图4-2-4,在ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且 DEBC,AD=1,BD=2,那么 的值为( )图4-2-4 A.12 B.13 C.14 D.23,5.(2018湖南永州冷水滩期末)如图4-2-5,已知在ABC中,点D,E,F分别 是边AB,AC,BC上的点,DEBC,EFAB,且ADDB=12,CF=6,那么 BF等于 ( )图4-2-5 A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C DEBC,AEEC=ADDB=12, EFAB,BFFC=AEEC=12, CF=6,BF=3,故选C.,1.(2015江苏淮安中考)如图,l1l2l3,直线a、b与l1、l2、l3分别交
6、于 点A、B、C和点D、E、F.若 = ,DE=4,则EF的长是 ( )A. B. C.6 D.10,2.如图,已知在ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE BC,EFAB,且ADDB =35,那么CFCB等于 ( )A.58 B.38 C.35 D.25,答案 A DEBC,AEEC=ADDB=35. EFAB,BFFC=AEEC=35,故CFCB=58.,3.如图,在AMC中,已知BDCM,AC+AB=14,且 = ,求AB的长.,解析 BDCM, = = . AC+AB=14,AC= 14=8,AB= 14=6, AB的长为6.,4.如图,在ABC中,AM是BC边上的
7、中线,直线DNAM,交AB于点D,交 CA的延长线于点E,交BC于点N. 求证: = .,1.如图4-2-6所示,已知在ABC中,DEAC,DFAB,下列各式中错误的 是 ( )图4-2-6 A. = B. = C. = D. =,答案 D DEAC, = , DFAB, = , = , = . = , 故A,B,C正确,D错误,选D.,2.如图4-2-7,在ABC中,AD是BC边上的中线,E在AC边上,且AEEC= 12,BE交AD于P,则APPD等于 ( )图4-2-7 A.11 B.12 C.23 D.43,答案 A 如图,过点D作DFBE,交AC于F,AD是BC边上的中线, BD=CD
8、,EF=CF,AEEC=12, AE=EF=FC,AEEF=11,又DFPE,APPD=AEEF=11. 故选A.,3.已知:点D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,DEBC. 求证:ADAB=AEAC=DEBC.,1.如图,已知BNAM,NDMC,那么 ( )A. = B. = C. = D.以上都不对,2.如图,在ABC中,D为AC上一点,E为CB延长线上一点,且 = .求 证:AD=EB.,3.如图,在ABC中,D,E分别是BC和AC上的点,连接DE并延长与BA的延 长线交于点F,且BD=DC.求证: = .,证明 过点A作AMDF交BD于M, 则 = , = . 又BD=DC, =
9、.,4.已知:如图,在ABC中,ACB的平分线CD交AB于点D,过点B作BE CD交AC的延长线于点E. 求证:(1)BC=CE; (2) = .,CBE=CEB.BC=CE. (2)BECD, = . 由(1)知BC=CE, = .,证明 (1)CD平分ACB,ACD=BCD. 又BECD, CBE=BCD,CEB=ACD.,5.如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于D,点M为AD的中点,CM的延长线 交AB于K.求证:AB=3AK.,证法二:如图,过点D作DECK交AB于E,则 = , = , AB=AC,ADBC,BD=CD,BE=KE. 又AM=MD,AK=KE,AK=KE=EB,A
10、B=3AK.,证法三:如图,过点A作ARCK交BC的延长线于R,则 = . AM=MD,CR=CD. 又AB=AC,ADBC,BD=CD,BR=3CR, 又KCAR, = = ,AB=3AK.,1.(2019山东济南历下期中,5,)如图4-2-8,l1l2l3,若 = ,DF=1 0,则DE= ( )图4-2-8 A.4 B.6 C.8 D.9,一、选择题,答案 B l1l2l3, = = , 又DF=10,DE= DF=6,故选B.,2.(2018安徽亳州蒙城一模,8,)如图4-2-9,AD是ABC的中线,E是 AD上一点,AE= AD,BE的延长线交AC于F,则 的值为 ( )图4-2-9
11、 A. B. C. D.,二、填空题,3.(2019山西实验中学月考,15,)如图4-2-10,ABC中,D在BC上,F 是AD的中点,连CF并延长交AB于E,已知 = ,则 等于 .图4-2-10,答案,三、解答题,4.(2019上海浦东新区第一教育署期中,22,)如图4-2-11,在平行四 边形ABCD中,点E为边BC上一点,连接AE并延长交DC的延长线于点M, 交BD于点G,过点G作GFBC交DC于点F, = . (1)若BD=20,求BG的长; (2)求 的值.图4-2-11,解析 (1)GFBC, = , BD=20, = , BG=8. (2)四边形ABCD是平行四边形, ABCD
12、,AB=CD, = , = , = , = .,5.(2019上海松江期中,23,)如图4-2-12,在四边形ABCD中,AD BC,BA和CD的延长线交于P,AC和BD交于点O,连接PO并延长,分别交 AD、BC于M、N.求证:AM=DM.图4-2-12,证明 ADBC, = , ADBC, = = = , = , AM=MD.,1.(2017浙江杭州期中,4,)如图,直线l1l2l3,直线AC和直线DF与 l1,l2,l3的交点分别为A,B,C,D,E,F.已知AB=6,BC=4,DF=9,则DE= ( )A.5.4 B.5 C.4 D.3.6,答案 A l1l2l3, = , AB=6,
13、BC=4,DF=9, = ,DE=5.4. 故选A.,2.(2017黑龙江哈尔滨松北一模,8,)如图,ACBD,AD与BC交于点 E,过点E作EFBD,交线段AB于点F,则下列各式错误的是 ( )A. = B. = C. + =1 D. =,答案 D ACBD,EFBD,EFAC, = , = , = , = , + = + = = =1.故A,B,C正确. = ,而DEEB,D错误,故选D.,3.(2019山东济南槐荫育华中学月考,23,)如图,已知ADBECF, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F. (1)如果AB=6,BC=8,DF=7,求EF的长; (2)如果ABAC
14、=25,EF=9,求DF的长.,解析 (1)ADBECF, = , 即 = ,解得EF=4. (2)ADBECF, = , 即 = , 解得DF=15.,4.(2017贵州六盘水水城尖山中学期中,24,)如图,在ABC中,D、 E分别是AB和AC上的点,且DEBC. (1)若AD=5,DB=7,EC=12,求AE的长; (2)若AB=16,AD=4,AE=8,求EC的长.,解析 (1)DEBC, = , AD=5,DB=7,EC=12, = ,AE= . (2)DEBC, = , AB=16,AD=4,AE=8, = ,AC=32, EC=AC-AE=32-8=24.,1.(2018四川乐山中
15、考,4,)如图4-2-13,DEFGBC,若DB=4FB, 则EG与GC的关系是 ( )图4-2-13 A.EG=4GC B.EG=3GC C.EG= GC D.EG=2GC,一、选择题,2.(2018广西梧州中考,11,)如图4-2-14,AGGD=41,BDDC= 23,则AEEC的值是 ( )图4-2-14 A.32 B.43 C.65 D.85,AGGD=41, = ,则AE=4DF, = = .故选D.,3.(2018浙江舟山中考,12,)如图4-2-15,直线l1l2l3,直线AC交l1,l2, l3于点A,B,C,直线DF交l1,l2,l3于点D,E,F,已知 = ,则 = .图
16、4-2-15,二、填空题,答案 2,解析 = , =2, l1l2l3, = =2.,1.(2016甘肃兰州中考,6,)如图,在ABC中,DEBC,若 = ,则= ( )A. B. C. D.,2.(2017吉林长春中考,11,)如图,直线abc,直线l1、l2与这三条 平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若ABBC=12,DE=3,则 EF的长为 .,答案 6,解析 abc, = , = ,DE=3,EF=6.,3.(2016辽宁锦州中考,14,)如图,在ABC中,点D为AC上一点,且 = ,过点D作DEBC交AB于点E,连接CE,过点D作DFCE交AB于 点F.若AB=15,则EF=
17、 .,答案,解析 DEBC, = , = , = , = , AB=15,AE=10, DFCE, = , 即 = , AF= ,则EF=AE-AF=10- = .,1.如图4-2-16,在矩形ABCD中,E是边CB延长线上的点,且EB=AB,DE与 AB相交于点F,AD=2,CD=1,求AE及DF的长.图4-2-16,解析 四边形ABCD是矩形,且AD=2,CD=1, BC=AD=2,AB=CD=1,ABC=C=90,ABDC. EB=AB,EB=1.CE=EB+BC=3. 在RtABE中,AE= = . 在RtDCE中,DE= = = . ABDC, = = . 设EF=x,则DF=2x,
18、 EF+DF=DE,x+2x= , x= ,DF= .,2.如图4-2-17,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,连接BE并延长,交AC 于F,则AFAC= .图4-2-17 (1)若AEED=12,则AFAC= ; (2)若AEED=13,则AFAC= ; (3)若AEED=1n,猜想AFAC= ,并证明.,解析 作CF的中点G,连接DG,如图,则FG=GC,BD=DC,DGBF, AE=ED,AF=FG, AFFC=12,AFAC=13. (1)若AEED=12,则AFAC=15. (2)若AEED=13,则AFAC=17. (3)若AEED=1n,猜想AFAC=1(2n+1).证明:,
19、EFDG,AFFG=AEED=1n, 又FG=GC,AFFGGC=1nn, AFAC=1(1+n+n)=1(2n+1).,1.已知:如图,在ABC中,DEBC,DFAC,小敏经过分析发现 = , 你同意她的结论吗?说说你的想法.,解析 同意.因为DEBC,DFAC, 所以四边形DFCE是平行四边形,所以DE=CF, 由DEBC可得 = , 由DFAC可得 = ,故 = . 又DE=CF,所以 = .,2.请阅读下面材料,并回答所提出的问题. 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分 对边之比. 已知:如图,ABC中,AD是角平分线. 求证: = .,AD是ABC的角平分线
20、, 1=2,3=E, AC=AE. 又ADCE, = . = . (1)上述证明过程中,步骤处的理由是什么?(写出两条即可),证明:如图,过点C作CEDA,交BA的延长线于点E. 1=E,2=3, ,(2)用三角形内角平分线定理解答:已知,ABC中,AD是角平分线,AB=7 cm,AC=4 cm,BC=6 cm,求BD的长; (3)我们知道如果两个三角形的高相等,那么它们面积的比就等于底的 比.请你通过研究下图中的ABD和ACD面积的比来证明三角形内角 平分线定理.,解析 (1)两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;等角对 等边;平行线分线段成比例定理.(写出两条即可) (2)AD平
21、分BAC, = = . BC=6 cm,BD= 6= cm. (3)如图,过D作DEAB于E,作DFAC于F,过A作AHBC于H.AD平分BAC,DE=DF.,SABD= ABDE= BDAH, SACD= ACDF= CDAH, ,得 = .,3.如图,已知AD是ABC的中线. (1)若E为AD的中点,射线CE交AB于点F,求 的值; (2)若E为AD上的一点(异于A,D),且 = (k0),射线CE交AB于点F,求的值.,解析 如图,过点D作DGCF交AB于点G.(1)DGCF, = ,又BD=DC,BG=GF. DGCF, = ,又AE=ED,AF=GF, AF=FG=GB, = . (2)DGCF, = , 又 = , = ,即FG=kAF.,同(1)可知BG=GF,BG=FG=kAF, BF=2kAF, = .,
