1、1北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科） 本试卷共 5页，共 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共 40 分）一、选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）若集合 ， ，则23AxxR12BxAB（A） （B ） 10 3x（C） （D）2x 0（2）已知直线 与直线 互相垂直，则3ay3+2=xya（A） （B） 1（C） （D）1 3（3）已知 ， ， ，则三个数的大小关系是4log64l0.b2
2、logc（A） （B） caacb（C） （D ）（4）若 满足 则 的最大值为,xy023yx， ， 2uxy（A） （B） 3 5（C） （D ）2 32（5）已知数列 na的前 项和 115917()43)nnS ，则1S（A） （B）2（C） （D ）921（6）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则“ ”是“BACabcab”的bacos（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件2（C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 的值分别为 ， ， ，则输出 和 的值分别为
3、,abi680ai（A） （B） 0,3 ,4（C） （D ）2 2（8）函数 的定义域为 ，图象如图 1 所示；函数 的定义域为 ，图象()fx1,()gx1,2如 图 2 所 示 若集 合 , ， 则 中 元 素 的 个()0Axfg0BfAB数 为 （A） （B）1 2（C） （D）3 4xy-1 O 1 21图 2xy-1 O 11-1图 13第卷（非选择题 共 110分）二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。（9）若复数 是实数，则 2(i)aRa（10）以抛物线 的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为 4yx（11）如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，点 P 是上
4、底面 A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC 的正( 主 )视图与侧(左) 视图的面积的比值为 （12）已知函数2,0,.xafx若 ，则实数 ；(1)0在的条件下，若直线 与 的图象有且只有一个交点，则实数 的ym()fxm取值范围是 （13）如图，在矩形 中，点 ， 分别在线段 ， 上，且满足 ，OABCEFABC3ABE，若 ，则 3BF(,)R+CFBEAO（14）每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中 个学生及其父母以家庭为单位参加65“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动活动将 个家庭分成 两组，,AB组负责种植 棵银杏树苗， 组负责种植 棵紫薇树苗根据往年的统计，A150
5、B10每个家庭种植一棵银杏树苗用时 ，种植一棵紫薇树苗用时 .假定 两组同2h53h5,时开始种植,若使植树活动持续时间最短，则 组的家庭数为 ，此时活A动持续的时间为 4三、解答题（共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15） （本小题共 13分）已知函数 2()sin2)cos6fxx（）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值()fx0,2（16） （本小题共 13分）已知公差为正数的等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列na112a341（）求 的通项公式；na（）若 ， 分别是等比数列 的第 项和第 项，求使数列 的前 n 项和25nbbT的
6、最大正整数 90（17） （本小题共 14分）如图，在四棱锥 PABCD中， 平面 ABCD，底面 是菱形，点 是O对角线 AC与 的交点， ， ， M是 P的中点260（）求证： 平面 ；OM（）平面 平面 ；（）当三棱锥 的体积等于 时，求 的长PBD32A5（18） （本小题共 13分）“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每
7、个小组各 人爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪6念以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数据模糊不清，用 x 表示已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少 1 个甲组 乙组980x41268（） 求图中 的值；x（） “爱心包裹”分为价值 元的学习包，和价值 元的“学习+生活”包，在乙组1020劝募的爱心包裹中 元和 元的比例为 ，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包23:1裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额；（）在甲组中任选 位志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率（19） （本小题共 13分）已知
8、 和 是椭圆 ： 的两个焦点，且点1(,0)F2(1,)C21(0)xyab在椭圆 上3(,)2PC（）求椭圆 的方程；（）直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，且与 轴和 轴分别交:(0)lykxmxy于点 ，当 面积取最小值时，求此时直线 的方程,MNO l（20） （本小题共 14 分）已知函数 ， 2()lnfxaxR（）若 在 处取得极值，求 的值；1（）求 在区间 上的最小值；()f,)6（）在（）的条件下，若 ，求证：当 时，恒有2()()hxfx21ex成立4()hx北京市东城区 2015-2016学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共 8小题，每
9、小题 5分，共 40分）（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D （6）C （7）D （8）C二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分）（9） （10） 0 2(1)xy（11） （12） 1 ,0,)（13） （14） 32 5注：两个空的填空题第一个空填对得 3分，第二个空填对得 2分三、解答题（本大题共 6小题，共 80分）（15） （共 13 分）解：（） 3131()sin2coss2incos2fxxxx. 6分i)6所以 的最小正周期 (fx. 7T分（）因为 时，所以 .0,2x7,6x于是当 ，即 时， 取得最大值 ；=6()f2当 ，即 时， 取得最小
10、值 . 13分2x2xfx1（16） （共 13 分）解：（）设数列 的公差为 ，na(0)d7由已知可得 ，即 ，)1(24a23)(2)1()13(dd整理得 ，解得 (舍去)或 . 4 分03dd所以 的通项公式为 ， 6n2nN分() 由()知 ， ，所以等比数列 的公比 321ab952abnb3q于是 是以 为首项，以 为公比的等比数列 9n1分所以 11)31(231)(nnnT分由 ，得 ，即 ，920n9()10n1()30n则满足不等式的最大正整数 134分（17） （共 14 分）证明：（）因为在 中， ， 分别是 ， 的中点，PBDOMBDP所以 又 平面 ， 平面 ，
11、AA所以 平面 5分()因为底面 是菱形，BCD所以 因为 平面 ， 平面 ，PAABCD所以 又 ，P所以 平面 BDC又 平面 ，所以平面 平面 10A分8（）因为底面 是菱形，且 ， ， ABCD2AB60D所以 3S又 ，三棱锥 的高为 ，CPBDCVPPA所以 ，132A解得 14分（18） （共 13 分）解：（）由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为 8+12621=6则甲组的送出钥匙扣的平均数为 15由 ，解得 4分8+914(0)2+=690xx() 乙组送出钥匙扣的个数为 ，即劝募的总包裹数为 ，按照 的比例，价值963:1元的包裹有 个，价值 元的包裹有 个，0724故所求
12、爱心包裹的总价值 元 8分110（）乙组送出钥匙扣的平均数为 个甲组送出钥匙扣的个数分别为68,914,2,1若从甲组中任取两个数字，所有的基本事件为：， ，(,)8,4(,)8,20(,1)(9,4),18(9,20),1，共 个基本事件8205其中符合条件的基本事件有 ，共 个基本事件，,3故所求概率为 13分315P（19） （共 13 分）解：（）依题意， ，又 ，故 . 1c2238(1)0)4a2a所以 .23b故所求椭圆 的方程为 . 4分C2143xy9（）由 消 得 .21,43xykm 01248)34(2mkxk由直线 与椭圆 仅有一个公共点知， lC，整理得 6 分22
13、26()1)023k由条件可得 ， ， 0k,Mk(,Nm所以 2122ONSk将 代入得 243mk2143()OMNSk因为 ，所以 ，当且仅当 ，即0()2k 32时等号成立，32k有最小值 OMNS 23因为 ，所以 ，又 ，解得 11 分24mk26m06m故 所求直线方程为 或 13yx32yx分（20） （共 14 分）解：（）由 ，定义域为 ，2()lnfxax(0,)得 因为函数 在 处取得极值，2()lfxx1所以 ，即 ，解得 100a2经检验，满足题意，所以 4分（）由（）得 ，定义域为 2()xfx(0,)当 时，有 ， 在区间 上单调递增，最小值为 ；0a0f()f
14、1,)(1)f10当 ，由 得 ，且 02a()0fx2a01当 时， ， 单调递减，当 时，(,)x()f()fx(+)2ax， 单调递增，()0ff所以 在区间 上单调递增，最小值为 ；()x1,)(1)f当 时， ，2a当 时， ， 单调递减，当 时，(1,)x()0fx()f(+)2ax， 单调递增，()0ff所以函数 在 取得最小值 ()fx2a()ln22aaf综上当 时， 在区间 上的最小值为 ；af1,+1当 时， 在区间 上的最小值为 9分2()x)ln2a（）由 得 ()hxf2lnhx当 时， ， ，21e0l0()4欲证 ，只需证 ，4()xhxhx即证 ，即 11()1x2ln1分设 ，2()ln则 221()(1)xx 当 时， ，所以 在区间 上单调递增2e()0()2(,e)11所以当 时， ，即 ，21ex()10x2ln01x故 4()h所以当 时， 恒成立 14 分21ex4()hx
