1、2.1.2 椭圆的几何性质,掌握椭圆的几何性质并会简单运用.,基础知识梳理,1.焦点在x轴上的椭圆方程及几何性质：标准方程:_(ab0);焦点：F1(-c,0),F2_其中范围：|x|a,|y|b;顶点：A_A(-a,0),B_,B(0,-b).长轴：|AA|=2a;短轴|BB|=_;离心率：e= _ ,0eb0);焦点：F1(0,c),F2(0,-c),其中 _;范围：|x|b,|y|a;顶点：A(0,a) ,A(0,-a),B(b,0),B(-b,0);长轴：|AA|=2a;短轴：|BB|=2b;离心率： ,e_.,(0,1),课堂互动讲练,求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、
2、离心率、焦点和顶点坐标.【分析】解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质.,【解】把已知方程化成标准方程 ,于是a=4,b=3, .椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率 ,两个焦点坐标分别是（-7,0）,（7,0）,四个顶点坐标分别是（-4,0）,（4,0）,（0,-3）,（0,3）.,【点评】解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系研究椭圆的几何性质.,1.求椭圆16x2+9y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解：将方程16x2+9y2=144化为标准方程： ,a=4,b=3,
3、 ,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率 ,两个焦点坐标分别为（0, ）,（0, ）,四个顶点坐标分别为（0,-4）,（0,4）,（-3,0）,（3,0）.,已知F1，F2是椭圆 (ab0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF2F1F2=0，椭圆的离心率等于 ,AOF2的面积为 (O为坐标原点)，求椭圆的方程.,【分析】求椭圆的方程就是利用待定系数法求a、b，因此，根据已知条件列出关于a、b的等式构造方程求解即可.,【解】AF2F1F2=0,AF2F1F2，因为椭圆的离心率 ,则 .设A（x,y）(x0,y0),由AF2F1F2知x=c,A(c,y)，代入椭圆方
4、程得 , ,AOF2的面积为 ,SAOF2= ,即 , ,b2=8,a2=2b2=16,故椭圆的方程为 .,【点评】由椭圆的几何性质，求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)构造方程求a、b的值.(2)确定焦点所在的坐标轴.(3)写出标准方程.,2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；（3）已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cosOFA= .,解：（1）设椭圆的标准方程为 （ab0）或 .由已知得a=2b，椭圆过点（2，-6），从而有 ,
5、由，得a2=148,b2=37或a2=52,b2=13,故所求的方程为 .,（2）如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c,A1A2=2b,c=b=3.a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为 .,(3)椭圆的长轴长是6,cosOFA= .点A不是长轴的端点（是短轴的端点）.|OF|=c,|AF|=a=3. c=2,b2=32-22=5.椭圆的方程是,如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率.,【分析】解答本题可先确定M点坐标，再利用RtF1F2M的性质求出a,b,c的
6、关系，进而求出离心率.,【解】法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1（-c,0）,F2（c,0）,M点的坐标为（c, ）,则MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+ b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|= ,整理得3c2=3a2-2ab.又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以 . , .,法二:设椭圆方程为 （ab0）,则M（c, ），代入椭圆方程,得 ,所以 ,所以 ,即 .,3.已知椭圆C： （ab0）的焦点分别为F1,F2,如果椭圆上存在点M,使 ，求椭圆的离心率的取值范围.,解：设点M（x
7、,y）使 ,由于F1（-c,0）,F2（c,0）, =（-c-x,-y）, =（c-x,-y）,（-c-x）（c-x）+（-y）2=0,x2+y2=c2.又点M（x,y）在椭圆 上由,消去y并整理得（a2-b2）x2=a2（c2-b2）, ,即a2-2b20, , ,于是 ,又 , .,规律方法总结,1.点（x,y）与点（-x,y）关于y轴对称，点（x,-y）与点（x,y）关于x轴对称；曲线的对称性中关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称，只要有两条成立，第三条就成立.2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上.,3.由于椭圆、矩形都是轴对称图形，因此椭圆内接矩形的中心必是椭圆的中心.4.a、b、c在椭圆内可构成RtOFB,RtOFB叫做椭圆的特征三角形，这是a、b、c的一个几何意义.5.椭圆的长轴长为2a,a叫做椭圆的长半轴长；同理，椭圆的短轴长为2b,b叫做椭圆的短半轴长.,随堂即时巩固,课时活页训练,
