1、【名师解析】山东省青岛市 2015 届高三一模数学（文）试题一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）（2015青岛一模）设 i 为虚数单位，复数 等于（ ）A 1+i B 1i C 1i D 1+i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】： 解： = 故选：D【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2（5 分）（2015青岛一模）设全集 I=R，集合 A=y|y=log2x，x2 ，B=x|y= ，则（ ）A AB
2、 B AB=A C AB= D A（ IB）【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 计算题；集合【分析】： 化简集合 A，B，即可得出结论【解析】： 解：由题意，A=y|y=log 2x，x2= （1，+），B=x|y= =1，+），AB，故选：A【点评】： 本题考查集合的包含关系判断及应用，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集3（5 分）（2015青岛一模）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A 5 和 1.6 B 85 和 1.6 C 85 和
3、0.4 D 5 和 0.4【考点】： 茎叶图；众数、中位数、平均数【专题】： 图表型【分析】： 根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可【解析】： 解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩 84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为 =85，所剩数据的方差为 （8485） 2+（8485） 2+（8685） 2+（84 85） 2+（87 85） 2=1.6故选 B【点评】： 本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题4（5 分）（2015青岛一
4、模）“ nN*，2a n+1=an+an+2”是“数列a n为等差数列”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 即不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由 2an+1=an+an+2，可得 an+2an+1=an+1an，可得数列a n为等差数列；若数列a n为等差数列，易得 2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案【解析】： 解：由 2an+1=an+an+2，可得 an+2an+1=an+1an，由 n 的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列a
5、 n为等差数列，反之，若数列a n为等差数列，易得 2an+1=an+an+2，故“nN *，2a n+1=an+an+2”是“数列a n为等差数列”的充要条件，故选 C【点评】： 本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题5（5 分）（2015青岛一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是（ ）A 2 B C D 3【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高 x 即可【解析】： 解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V= =3x=3故选 D【点评】：
6、 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6（5 分）（2015青岛一模）已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线 l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =1【考点】： 双曲线的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由已知得 ，由此能求出双曲线方程【解析】： 解：双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线 l 上， ，解得 a=2 ，b= ，双曲线方程为 =1故选：A【点评】： 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的
7、合理运用7（5 分）（2015青岛一模）设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A 若 m，n ，m n，则 B 若 m，n ，mn，则 C 若 m，n ，mn ，则 D 若 m，n ，mn，则 【考点】： 平面与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案【解析】： 解：选择支 C 正确，下面给出证明证明：如图所示：mn，m、n 确定一个平面 ，交平面 于直线 lm，ml，lnn， l，l， 故 C 正确故选 C【点评】： 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂
8、直的判定定理是解题的关键8（5 分）（2015青岛一模）函数 y=4cosxe|x|（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 先验证函数 y=4cosxe|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值 x=0 时代入函数验证即可得到答案【解析】： 解：函数 y=4cosxe|x|，f（x）=4cos（x）e |x|=4cosxe|x|=f（x），函数 y=4cosxe|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 BD，又 f（0）=y=4cos0e |0|=41=3，只有 A 适合，故选：A【点评】： 本题主要考查函数
9、的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题9（5 分）（2015青岛一模）已知ABC 的三边分别为 4，5，6，则ABC 的面积为（ ）A B C D 【考点】： 余弦定理的应用；三角形中的几何计算【专题】： 解三角形【分析】： 根据余弦定理先求出其中一个角的余弦值，然后求出对应的正弦值，利用三角形的面积公式即可得到结论【解析】： 解：ABC 的三边长 a=4，b=5，c=6，由余弦定理得 cosC= = ，sinC= = =三角形的面积为 S= absinC= 45 = 故选：B【点评】： 本题主要考查了三角形的面积的计算，利用余弦定理和正弦定理
10、求出其中一个角的正弦值是解决本题的关键10（5 分）（2015青岛一模）已知点 G 是 ABC 的外心， ， ， 是三个单位向量，且2 + + = ，如图所示，ABC 的顶点 B，C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动，则 G 点的轨迹为（ ）A 一条线段 B 一段圆弧C 椭圆的一部分 D 抛物线的一部分【考点】： 轨迹方程【专题】： 计算题；直线与圆【分析】： 确定点 G 是 BC 的中点，ABC 是直角三角形，A 是直角，BC=2，根据ABC的顶点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动，即可得出结论【解析】： 解：点 G 是ABC 的外心，且 2 + + = ，
11、|点 G 是 BC 的中点，ABC 是直角三角形，A 是直角 ， ， 是三个单位向量，BC=2ABC 的顶点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动G 的轨迹是以原点为圆心 1 为半径的圆弧，故选：B【点评】： 本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是判断三角形的形状，属于中档题二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11（5 分）（2015青岛一模）已知函数 f（x）=tanx+sinx+2015，若 f（m）=2，则 f（m）= 4028 【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据解析式得出 f（x）+f（x）=4030，f（m）
12、+f（m）=4030，即可求解【解析】： 解：函数 f（x）=tanx+sinx+2015，f（x）=tanx sinx+2015，f（x）+f （x）=4030，f（m）+f （ m）=4030，f（m）=2，f（m）=4028故答案为：4028【点评】： 本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大12（5 分）（2015青岛一模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 132 ；【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 s，i 的值，当 i=10 时，不满足条件i11，退出循环，输出 s 的值为 132【解析
13、】： 解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件 i11，s=12，i=11满足条件 i11，s=132，i=10不满足条件 i11，退出循环，输出 s 的值为 132故答案为：132【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的 s，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查13（5 分）（2015青岛一模）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段 AC、CB 的长，则该矩形面积大于 20cm2 的概率为 【考点】： 几何概型【专题】： 概率与统计【分析】： 设 AC=x，则 BC=12x，由矩形的面积 S=x（12 x）2
14、0 可求 x 的范围，利用几何概率的求解公式可求【解析】： 解：设 AC=x，则 BC=12x矩形的面积 S=x（12 x）20x 212x+2002x10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于 20cm2 的概率 P= = 故答案为： 【点评】： 本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题14（5 分）（2015青岛一模）设 z=x+y 其中 x，y 满足 ，若 z 的最大值为 6，则 z的最小值为 3 【考点】： 简单线性规划【分析】： 先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线 z=x+y 过 A 点时取最大值，从而求出 k 值，再当直线 z=x
15、+y 过 B 点时取最小值，求出 z 最小值即可【解析】： 解：作出可行域如图：直线 x+y=6 过点 A（k，k）时，z=x+y 取最大，k=3，z=x+y 过点 B 处取得最小值，B 点在直线 x+2y=0 上，B（6，3），z 的最小值为=6+3=3故填：3【点评】： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15（5 分）（2015青岛一模）若 X 是一个集合， 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足：X 属于 ，属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 则称 是集合 X 上的一个拓扑已知集合 X=a，b，c，对于下面给出的四个集合
16、：=，a，c，a，b，c；=，b ， c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a ，b，c 其中是集合 X 上的拓扑的集合 的序号是 【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 压轴题；新定义【分析】： 根据集合 X 上的拓扑的集合 的定义，逐个验证即可：ac=a，c，a，ba，c=a，b，c，因此都不是；满足：X 属于 ，属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 ，因此是，从而得到答案【解析】： 解：=，a，c ，a ，b，c ；而a c=a， c，故不是集合 X 上的拓扑的集合 ；=，b ， c，b，c，a，b，c，满足：X 属于
17、 ， 属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 因此是集合 X 上的拓扑的集合 ；=，a，a，b，a，c；而a ，b a ，c=a，b，c ，故不是集合 X 上的拓扑的集合 ；=，a，c，b，c，c，a ，b，c 满足：X 属于 ，属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 因此是集合 X 上的拓扑的集合 ；故答案为【点评】： 此题是基础题这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明
18、、证明过程或演算步骤.16（12 分）（2015青岛一模）某市甲、乙两社区联合举行迎“五一” 文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有 1 人，表演笛子演奏的有 2 人，表演唱歌的有 3 人（）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；（）若从甲社区表演队中选 2 人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】： 概率与统计【分析】： （）若从甲、乙社区各选一个表演项目，选出的两个表演项目所有基本事件的个数，求出相同的事件的个数，即可求解概率；（）从甲社区表演队中选 2
19、人表演节目，列出所有基本事件的个数，找出至少有一位表演笛子演奏的事件个数，然后求解概率【解析】： （本小题满分 12 分）解：（）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为A1，B 1，C 1；A 2，B 2，C 2则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有（A 1，A 2），（A 1，B 2），（A 1，C 2），（B 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，C 2），（C 1，A 2），（C 1，B 2），（C 1，C 2）共 9 种，（4 分）其中选出的两个表演项目相同的事件 3 种，所以 （6 分）（）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为a1，b 1
20、，b 2，c 1，c 2，c 3则从甲社区表演队中选 2 人的基本事件有（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，c 1），（a 1，c 2），（a 1，c 3），（b 1，b 2），（b 1，c 1），（b 1，c 2），（b 1，c 3），（b 2，c 1），（b 2，c 2），（b 2，c 3），（c 1，c 2），（c 1，c 3），（c 2，c 3）共 15 种 （10 分）其中至少有一位表演笛子演奏的事件有 9 种，所以 （12 分）【点评】： 本题考查古典概型的概率的求法，列出所有基本事件，做到不重复不漏是解题的关键17（12 分）（2015青岛一模）已知函数 f（x）=
21、4cosxsin（x+ ）+a（0）图象上最高点的纵坐标为 2，且图象上相邻两个最高点的距离为 （）求 a 和 的值；（）求函数 f（x）在0，上的单调递减区间【考点】： 正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： （）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求 a 和 的值；（）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间【解析】： 解：（）=（4 分）当 时，f（x）取得最大值 2+1+a=3+a又 f（x）最高点的纵坐标为 2，3+a=2 ，即 a=1（6 分）又 f（x）图象上相邻两个最高点的距离为 ，f（x）的最小正周期为 T=
