1、 北京市西城区2016年高三一模试卷 数 学（文科） 2016.4第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 设集合，集合，则（ ） （A） （B）（C）（D）2. 设命题p：，则p为（ ）（A） （B）（C）（D）3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） （A）（B） （C）（D）甲队乙队8901m8234下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ） （A）
2、 （B） （C） （D）5. 在平面直角坐标系中，向量(1, 2)，(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三角形，则（ ） （A） （B） （C） （D）6. 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0, 1，则输出的（ ）输出是否输入A,开始结束（A）4（B）16（C）27（D）367. 设函数，则“”是 “函数在上存在零点”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二
3、等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ） （A）最多可以购买4份一等奖奖品 （B）最多可以购买16份二等奖奖品 （C）购买奖品至少要花费100元 （D）共有20种不同的购买奖品方案第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则_.侧(左)视图正(主)视图俯视图1110在ABC中，则_.11若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_；双曲线C的渐近线方程是_.12一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.13. 有三个房间需要
4、粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：涂料1涂料2涂料3 16元/ m218元/ m220元/ m2房间A房间B房间C 35 m220 m228 m2那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _元. 14. 设函数 则_；若，则的大小关系是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分） 设函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在上的最大值与最小值.16（本小题满分13分）已知等差数列的公差，.（）求数列的通项公式； （）设，记数列前n项的乘积为，
5、求的最大值.17（本小题满分14分） 如图，在四棱柱中，底面，. （）求证：平面； （）求证：； D1D A C1A1 B1B C（）若，判断直线与平面是否垂直？并说明理由.18（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.O 体育成绩 45 55 65 75 85 95u142uuuuuuuuu4121068各分数段人数（）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“
6、体育良好”的学生人数；（）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；（）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，三组中，其中当数据的方差最大时，写出的值.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）19（本小题满分14分） 已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点. （）求椭圆C的方程和离心率； （） 设动直线与y轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值.20（本小题满分13分） 已知函数，且. （）求的解析式； （）若对于任意，都有，求的最小值；（）证明：函数的图象在直线的下方. 北京市西城区2016年
7、高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2A 3B 4C 5B 6D 7A 8D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11. 12 131464 14 注：第11，14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为 4分 . 6分 所以函数的最小正周期为. 7分（）解：由（），得. 8分 因为， 所以， 所以.所以. 11分 且当时，取到最大值； 当时，取到最小值. 13分16（本小题满分13分
8、） （）（）解：由题意，得 3分 解得 或（舍）. 5分 所以 7分（）解：由（），得. 所以. 所以只需求出的最大值. 9分 由（），得.因为， 11分所以当，或时，取到最大值. 所以的最大值为. 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为，平面，平面， 所以平面. 2分D1D A C1A1 B1B C 因为，平面，平面， 所以平面. 又因为， 所以平面平面. 3分 又因为平面， 所以平面. 4分（）证明：因为底面, 底面，所以. 5分 又因为,所以平面. 7分 又因为底面， 所以. 9分（）结论：直线与平面不垂直. 10分 证明：假设平面， 由平面，得. 11分 由棱柱中，底面， 可得，
9、 又因为， 所以平面， 所以. 12分 又因为， 所以平面， 所以. 13分 这与四边形为矩形，且矛盾， 故直线与平面不垂直. 14分 18（本小题满分13分）（）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人. 4分 （）解：设 “至少有1人体育成绩在”为事件， 5分 记体育成绩在的数据为， 体育成绩在的数据为， 则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种， 它们是：， ， ，. 而事件的结果有7种，它们是：， ， 7分 因此事件的概率. 9分（）解： a，b，c的值分别是为，. 13分19（本小题满分14分）
10、（）解：因为椭圆C：， 所以， 1分 故，解得， 所以椭圆的方程为. 3分因为， 所以离心率. 5分（）解：由题意，直线的斜率存在，设点， 则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率， 7分 由点关于直线的对称点为，得直线， 故直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为：， 9分 令，得，则， 由，得， 化简，得. 11分 所以 . 13分 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 14分 20（本小题满分13分）（）解：对求导，得， 1分 所以，解得， 所以. 3分（）解：由，得， 因为， 所以对于任意，都有. 4分设，则 . 令 ，解得. 5分当x变化时，与的变化情况如下表： 极大值所以当时，. 7分 因为对于任意，都有成立，所以 . 所以的最小值为. 8分（）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”， 即要证， 所以只要证. 由（），得，即（当且仅当时等号成立）. 所以只要证明当时，即可. 10分设，所以，令，解得.由，得，所以在上为增函数. 所以，即. 所以. 故函数的图象在直线的下方. 第 14页 共 14页
