1、3.1 多维随机变量及其联合分布3.2 边际分布与随机变量的独立性3.3 多维随机变量函数的分布3.4 多维随机变量的特征数3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是二维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).,3.1 多维随机变量及其联合分布,在研究四岁至六岁儿童的生长发育情况时，我们感兴趣的是每个儿童（样本点 ）的身高 和体重 ，这里 一个二维随机变量。,在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点 ）的衣食住行四个方面。若用 ， ，
2、， 分别表示衣食住行的花费占其家庭收入的百分比，则 就是一个四维随机变量。,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x, y) = P( X x, Y y),为(X, Y) 的联合分布函数.,(以下仅讨论两维随机变量),任对实数 x 和 y, 称,注意：,F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.,X1,X2,x1,x2,(x1, x2),联合分布函数的基本性质,(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增.,(2) 0 F(x, y) 1，,F(, y) = 0，F(x, ) =0，,F(+, +) = 1.,(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别
3、右连续.,(4) 当ab, cd 时，有,F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.,注意：上式左边 = P(aXb, cY d).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),二维离散随机变量,3.1.3 联合分布列,若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对，则称(X, Y)为二维离散随机变量.,二维离散分布的联合分布列,称,pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, .,为(X,Y) 的联合分布列，,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj ,x1x2xi,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j
4、 ,联合分布列的基本性质,(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1.,(非负性),(正则性),确定联合分布列的方法,(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对.,(2) 计算取每个数值对的概率.,(3) 列出表格.,例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列.,X Y0 41 3 2 2 3 14 0,P(X=0, Y=4)=,P(X=2, Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3, Y=1)=,=1/4,P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16,P(X=1, Y=3)=,0.5
5、4=1/16,解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为:,其对应的概率分别为：,X01234,Y 0 1 2 3 4,列表为：,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0,课堂练习,设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.,设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得,3.1.4 联合密度函数,则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。,称p(x, y) 为
6、联合密度函数。,联合密度函数的基本性质,(1) p(x, y) 0. (非负性),(2),注意：,(正则性),例3.1.3,若 (X, Y) ,试求常数 A.,解:,所以, A=6,=A/6,例3.1.4,若 (X, Y) ,试求 P X 2, Y 1.,解: P X2, Y1,2,1,x2, y3时，有Pij=0.,当i+j3时，事件x=i,Y=j表示取出的3件产品中有i件一等品，j件二等品，3-i-j件三等品，所以有,由以上公式，就可以具体算出（X,Y）的联合分布列。,X0123,Y 0 1 2 3,列表为：,0.001 0.009 0.027 0.027 0.018 0.108 0.16
7、2 0 0.108 0.324 0 0 0.216 0 0 0,二、多维超几何分布,从中任取 n 只，,记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.,口袋中有 N 只球，分成 r 类 。,第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+Nr = N.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,例 一批产品共有100件，其中一等品60件、二等品30件、三等品10件。从这批产品中不放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量（X,Y）的联合分布列。 解 记i与j分别为X和Y的取值。 当i+j3时，有Pij=0.,当i+j3时，事件x=i,Y=j表示取出的
8、3件产品中有i件一等品，j件二等品，3-i-j件三等品，所以有,由以上公式，就可以具体算出（X,Y）的联合分布列。,X0123,Y 0 1 2 3,列表为：,0.0007 0.0083 0.0269 0.0251 0.0167 0.1113 0.1614 0 0.1095 0.3284 0 0 0.2116 0 0 0,三、二维均匀分布,设D为R2中的有界区域，其面积为SD 若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为：,则称 (X, Y) 服从 D 上的二维均匀分布，,记为 (X, Y) U (D) .,其中SD为D的面积.,二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域D中随机投点，如果
9、G是D中的一个子区域，那么,例 设D为平面上以(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)为顶点的正方形区域。如今向该区域内随机投点，其坐标(X,Y)服从D上的均匀分布，试求概率P(YX2) .,解 区域D的面积为1，所以二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,四、二维正态分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为：,则称 (X, Y) 服从二维正态分布，,记为 (X, Y) N ( ) .,练习 1,设二维离散型随机变量X，Y的分布律为：,X01,Y 0 1 2,0.2 0. 3 0. 1 0.1 A 0.1,其中A为常数，那么P（X=0|Y1）=,练习 2,设随机变量
10、Xi，i=1，2的分布列如下，且满足P(X1X2=0)=1，试求P(X1=X2).,P,Xi -1 0 1,0.25 0. 5 0. 25,3.2 边际分布与随机变量的独立性,二维联合分布函数（分布列、密度函数）含有丰富的信息，主要有以下三个方面信息：,每个分量的分布（边际分布）。,两个分量之间的关联程度（相关系数）。,给定一个分量时，另一个分量的分布（条件分布）。,3.2.1 边际分布函数,巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，,则,Y 的分布函数为FY (y) = F(+ , y)，称为Y的边际分布。,X 的分布函数为FX (x) = F(x, +),称为X的边际分布。,例
11、 设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为,这个分布被称为二维指数分布，其中参数0.求X与Y的边际分布函数。,3.2.2 边际分布列,巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij，,则,X 的分布列为：,Y 的分布列为：,X,Y,3.2.3 边际密度函数,巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，,则,X 的密度函数为 ：,Y 的密度函数为 ：,由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.,注 意 点 (1),二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，,注 意 点 (2),则 X N ( )，,Y N ( ).,二
12、维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D=(x, y), x2+y2 1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0,当|x|1时,不是均匀分布,例3.2.2 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,求(1)概率PX+Y1.,解:,PX+Y1=,y=x,x+y=1,1/2,(2)边际密度函数PX(x)和PY(y).,若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的，,3.2.4 随机变量间的独立性,(1) X 与Y是独立的其
13、本质是：,注 意 点,任对实数a, b, c, d，有,(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,例3.2.3,(X, Y) 的联合分布列为:,问 X与Y 是否独立？,解: 边际分布列分别为:,X 0 1P 0.7 0.3,Y 0 1P 0.5 0.5,因为,所以不独立,例3.2.4,已知 (X, Y) 的联合密度为,问 X 与Y 是否独立？,所以X 与Y 独立。,注意：p(x, y) 可分离变量.,解: 边际分布密度分别为:,注 意 点 (1),(1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立.,(2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立.
14、 见前面例子,(3) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立.,注 意 点 (2),(4) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。(习题3.2 16题),(5) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( ) 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0.,3.3 多维随机变量函数的分布,问题：已知n维随机变量 (X1, X2,Xn) 的分布，,如何求出 Z=g (X1, X2,Xn)的分布？,(1) 设(X1, X2, , Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, , Xn)
15、 是一维离散随机变量.,3.3.1 多维离散随机变量函数的分布,(2) 多维离散随机变量函数的分布求解方法：,i) 对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值， 写出 Z 相应的取值.,ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.,练习,设二维离散型随机变量X，Y的分布律为：,X01,Y 0 1 2,0.2 0. 3 0.1 0.1 0.2 0.1,试求：（1）Z1=2X+Y;（2）Z3=maxX,Y的分布列。,3.3.2离散场合的卷积公式,设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布列为,这个概率等式被称为离散场合下的卷积公式。,泊松分布的可加性,若 X P(1) ，Y P
16、(2)，,注意： X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z = X+ Y P(1+2).,二项分布的可加性,若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，,注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).,且独立，,则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).,3.3.3 连续场合的卷积公式,定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为,例3.3.3 设 X 与 Y 独立，XU(0, 1), YExp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.,解:,被积函数的非零区域为：,00,用卷积公式：,(见下图),
17、x,z,1,z = x,因此有,(1) z 0 时,pZ(z) = 0 ;,(2) 0 z 1 时,pZ(z) =,(3) 1 z 时,pZ(z) =,1,卷积公式的应用,例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.,解：,所以 Z = X+ Y N(0, 2).,进一步的结论见后,正态分布的可加性,若 X N( )，Y N( ) ，,注意： X Y 不服从 N( ).,且独立，,则 Z = X Y N( ).,X Y N( ).,独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i, i2), i =1, 2,
18、 . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则,3.3.4 最大值与最小值分布,例 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.,解:,X 0 1P 1/2 1/2,Y 0 1P 1/2 1/2,Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1,P(Z=0) = P(X=0, Y=0),= P(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1),= 3/4,设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 F
19、X(x) 和 pX(x).,一般情况,若记,Y = max (X1, X2, Xn),Z = min (X1, X2, Xn),则,Y 的分布函数为:,FY (y) = FX(y)n,Y 的密度函数为:,pY(y) = nFX(y)n1 pX(y),Z 的分布函数为:,FZ(z) = 11 FX(z)n,Z 的密度函数为:,pZ(z) = n1 FX(z)n1 pX(z),例 设某段道路上有5个路灯，每个路灯平均寿命是2000 小时，若每只灯泡每天用10个小时，则30天内需要换灯泡的概率是多少？后来此段道路改建，加装了15个路灯，则30天内需要换灯泡的概率是多少？,解 设所有灯泡的使用寿命是相
20、互独立，同分布的随机变量，其共同分布为指数分布Exp()，其中=1/2000.,5个灯泡中第一个灯泡烧坏的时间T1=minX1,X5.则T1 Exp(5)，30天需要换灯泡的概率为,道路改建后，灯泡变成了20个，则30天需要换灯泡的概率为,本节主要给出 X 与 Y 的相关系数,3.4 多维随机变量的特征数,3.4.1 多维随机变量函数的数学期望,定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则,E(Z) = Eg(X, Y) =,例题 在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度.,解 因为X与Y都服从(0,a)上的均匀分布，且X与Y相互独立，所
21、以(X,Y)的联合密度函数为,所以两点间的平均长度为,3.4.2 数学期望与方差的运算性质,1. E(X+Y)=E(X)+E(Y),2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y),(性质3.4.1),(性质3.4.2),讨论 X+Y 的方差,1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2EXE(X)YE(Y),3. 当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y) = 0.,4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) .,2. EXE(X)YE(Y) = E(XY) E(X)E(Y),注意：以上命题反之不成立.,课堂练习1,X 与 Y 独立，Var(
22、X) = 6，Var(Y) = 3， 则 Var(2XY) = ( ).,27,课堂练习2,X P(2)，Y N(2, 4)， X与Y独立， 则 E( XY) = ( ); E( XY)2 = ( ).,4,22,3.4.3 协方差,定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = EXE(X)YE(Y),为 X 与 Y 的协方差.,协方差的性质,(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7),(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4),(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5),(6) Cov
23、(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9),(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6),(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8),(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10),3.4.4 相关系数,定义3.4.2 称 Corr(X, Y) =,为 X 与 Y 的相关系数.,若记,注 意 点,则,相关系数的性质(1),(1) 施瓦茨不等式, Cov(X, Y) 2 Var(X)Var(Y).,相关系数的性质(2),(2) 1 Corr(X
24、, Y) 1.,(3) Corr(X, Y) = 1,X 与 Y 几乎处处有线性关系。,(性质3.4.11),(性质3.4.12),P(Y=aX+b)=1,Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系：,注 意 点,Corr(X, Y) 接近于1， X 与 Y 间 正相关.,Corr(X, Y) 接近于 1， X 与 Y 间 负相关.,Corr(X, Y) 接近于 0， X 与 Y 间 不相关.,没有线性关系,例3.4.1 设 (X, Y) 的联合分布列为,求 X, Y 的相关系数.,解:,= 0,同理,= 3/4,E(Y) = E(X) = 0,另一方面,= 1/81/81/8+1
25、/8,= 0,所以,Cov(X, Y),即 Corr(X, Y) = 0,E(Y2) = E(X2) = 3/4,= E(XY)E(X)E(Y) = 0,例3.4.2 (X, Y) p(x, y) =,求 X, Y 的相关系数,解:,= 7/6,= 5/3,所以, Var(X) = Var(Y) = 11/36,= 4/3,二维正态分布的特征数,(1) X N( 1, 12), Y N( 2, 22);,(2) 参数 为 X 和 Y 的相关系数;,(4) 不相关与独立等价.,对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.,3.5 条
26、件分布与条件期望,3.5.1 条件分布,(1) 设二维随机变量（X,Y）的联合分布列为,在给定Y=yj条件下X的条件分布列为：,练习1,X01,Y 0 1 2,0.2 0. 3 0.1 0.1 0.2 0.1,设二维离散型随机变量的联合分布列为：,求（1）P(X=0|Y=1); (2)P(Y=1|X=0).,条件密度函数,(2) 设二维连续型随机变量（X,Y）的联合分布密度函数为p(x,y)，边际密度函数为pX(x),pY(y). 在给定Y=y的条件下X的条件密度函数为,条件分布函数,(3) 条件分布函数：,3.5.2 条件数学期望,定义 3.5.4,练习2,X01,Y 0 1 2,0.2 0
27、. 3 0.1 0.1 0.2 0.1,设二维离散型随机变量的联合分布列为：,求E(X|Y=0)和E(Y|X=0),重期望公式,定理 3.5.1 设（X,Y）是二维随机变量，且E(X)存在，则,重期望公式具体使用如下：,（1）如果Y是一个离散型随机变量，则有,（2）如果Y是一个连续型随机变量，则有,例 一矿工被困在有三个门的矿井里。第一个门通一坑道，沿此坑道走3个小时可以到达安全区；第二个门通一坑道，沿此坑道走5个小时又回到原处；第三个门通一坑道，沿此坑道走7个小时也回到原处。（1）假定走过的门就不再走，试求他平均要用多少时间才能到达安全区？（2）假定此矿工总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达安全区？,
