1、选修 2-2 第一章单元测试 (一)时 间 ：120分 钟 总 分 ：150分 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1函数 f(x) sinx 的导数为( )xAf(x) 2 sinx cosx Bf(x) 2 sinx cosxx x x xC f(x) cosx Df( x) cosxsinx2x x sinx2x x2若曲线 yx 2axb 在点(0，b)处的切线方程是xy 10，则( )Aa1，b1 Ba1，b1C a 1，b1 Da1，b13设 f(x)xlnx ，若 f(x 0)2，则 x0( )Ae 2 Be C. Dln2ln224已知 f(x)x 22xf(1)，则 f
2、(0) 等于( )A0 B4 C2 D25.图中由函数 yf(x )的图象与 x 轴围成的阴影部分的面积，用定积分可表示为( )A. f(x)dx B. f(x)dx 3f(x)dx3-3 31 1C. f(x)dx D. f(x)dx f(x)dx1-31-3 316如图是函数 yf(x)的导函数的图象，给出下面四个判断：f(x)在区间 2，1上是增函数；x1 是 f(x)的极小值点；f(x)在区间 1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x2 是 f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是( )A B C D7对任意的 xR ，函数 f(x)x 3ax 27ax 不存在极值点的充要条件
3、是( )A0a21 Ba0 或 a7C a21 Da0 或 a218某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 P 元，销售量为 Q，则销量 Q(单位：件) 与零售价 P(单位：元) 有如下关系：Q8 300170PP 2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)( )A30 元 B60 元 C28 000 元 D23 000 元9函数 f(x) (af(b) Df(a) ，f (b)大小关系不能确定10函数 f(x)x 3x 2x2 的零点个数及分布情况为( )A一个零点，在 内( ， 13)B二个零点，分别在 ，(0，)内( ， 13)C三个零点，分别在 ， ，
4、(1 ，)内( ， 13) ( 13，0)D三个零点，分别在 ，(0,1) ，(1 ，)内( ， 13)11对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足( x1)f(x )0，则必有( )Af(0) f(2)2f (1)12设 f(x)是定义在 R 上的可导函数，且满足 f(x )f(x)，对任意的正数 a，下面不等式恒成立的是( )Af(a)e af(0) Cf(a)f0ea f0ea二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13过点(2,0)且与曲线 y 相切的直线的方程为1x_14已知 M dx，N cosxdx，则程序101 x2框图输出的 S_.15设函数 f(x)x max 的导数
5、为 f(x )2x1，则数列(nN )的前 n 项和是_1fn16已知函数 f(x) mx2lnx2x 在定义域内是增函数，则实12数 m 的取值范围为_三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70分)17(10 分) 设函数 f(x)x 32mx 2m 2x1m(其中 m2)的图象在 x 2 处的切线与直线 y5x12 平行(1)求 m 的值；(2)求函数 f(x)在区间0,1上的最小值18(12 分) 已知函数 f(x)kx 33(k1)x 2k 21( k0)，若 f(x)的单调递减区间是(0,4)，(1)求 k 的值； (2)当 k3x1x19.(12 分) 已知函数
6、f(x)kx 33x 21(k0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)的极小值大于 0，求 k 的取值范围20.(12 分) 湖北宜昌 “三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值 y 万元与投入 x(x10)万元之间满足：yf(x )ax 2 xbln ，a，b 为常数，当 x 10 时，y19.2；当 x2010150 x10时，y35.7.(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln5 1.6)(1)求 f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值(利润旅游收入投入)21.(
7、12 分) 已知函数 f(x) x3 x2cx d 有极值13 12(1)求 c 的取值范围；(2)若 f(x)在 x2 处取得极值，且当 xln21 且 x0 时，e xx22ax 1.答案1C f(x)( )sinx (sinx) sinx cosx，故x x12x x选 C.2A y2x a，曲线 y x2axb 在(0，b)处的切线方程的斜率为 a，切线方程为 ybax ，即 axyb0.a 1，b1.3B f(x)(xlnx ) lnx 1，f(x 0)lnx 012，x 0e.4B f(x)2x 2f (1)，f(1)2 2f(1)，即 f(1)2，f( x)2x4，f(0)4.5
8、D 由定积分的几何意义可知，函数 yf (x)的图象与 x 轴围成的阴影部分的面积为 3f(x)dx f(x)dx.故选 D.1 316B 由函数 yf( x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间2，1上是减函数，在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；(2)f(x)在 x1 处取得极小值，在 x2 处取得极大值故正确7A f(x)3x 22ax7a，当 4a 284a0，即 0a21时，f ( x)0 恒成立，函数不存在极值点故选 A.8D 设毛利润为 L(P)，由题意知 L(P)PQ 20QQ( P20)(8 300170P P 2)(P20)P 3150P 211 700P166 0
9、00，所以 L( P)3P 2 300P11 700，令 L( P)0，解得 P30 或 P130( 舍去 )此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件 30元时，最大毛利润为 23 000 元9C f(x) ，ex xexex2 x 1ex当 xf(b)10A 利用导数法易得函数 f(x)在， 内单调递减，在13内单调递增，在(1，)内单调递减，而( 13，1)f 0，故函数fxex f x fxexg(x) 在 R 上单调递增，所以 g(a)g(0)，即 ，即 f(a)fxex faea f0e0eaf(0)13xy20解析：设所求切线与曲线的
10、切点为 P(x0，y 0)，y ，yError!xx 0 ，所求切线的方程为1x2 1x20yy 0 (xx 0)1x20点(2,0) 在切线上，0y 0 (2x 0)，x y02x 0.1x20 20又x 0y01，由解得Error! 所求直线方程为 xy 20.14.4解析：M dx 12 ，N 0cosxdxsin xError! 01，MN，则 SM .415.nn 1解析：f(x)mx m1 a2x1，得Error!则 f(x)x 2x ， ，1fn 1nn 1 1n 1n 1其和为 1 .(11 12) (12 13) (13 14) (1n 1n 1) 1n 1 nn 1161，
11、)解析：根据题意，知 f(x) mx 20 对一切 x0 恒成立，1xm 2 ，令 g(x) 2 21，则当 1 时，(1x) 2x (1x) 2x (1x 1) 1x函数 g(x)取得最大值 1，故 m1.17解：(1)因为 f(x)3x 24mx m 2，所以 f(2)128 mm 25，解得 m1 或 m7(舍去)，即 m1.(2)令 f(x)3x 24x 10，解得 x11， x2 .13当 x 变化时， f(x )，f(x)的变化情况如下表：x 0 (0，13) 13 (13，1) 1f(x) f(x) 2 5027 2所以函数 f(x)在区间0,1上的最小值为 f .(13) 50
12、2718解：(1)f(x)3kx 26(k1)x，由 f(x)1 时，1 ，x1x 1x2g(x)0，g(x)在 x1，) 上单调递增x1 时，g(x)g(1)，即 2 3，x1x2 3 .x1x19.解：(1)当 k0 时，f(x)3x 21，f(x)的单调增区间为 (，0，单调减区间0，)当 k0 时，f(x)3kx 26x 3kx ，(x 2k)f(x)的单调增区间为 (，0， ，单调减区间为 .2k， ) 0，2k(2)当 k0 时，函数 f(x)不存在极小值，当 k0 时，依题意 f 10 ，(2k) 8k2 12k2即 k24，所以 k 的取值范围为(2 ，)20解：(1)由条件得
13、Error!，解得 a ，b1，1100则 f(x) xln (x10)x2100 10150 x10(2)由题意知T(x) f(x)x xln (x10)，x2100 5150 x10则 T( x) ， x50 5150 1x x 1x 5050x令 T( x) 0，则 x1(舍去)或 x50.当 x(10,50)时，T ( x)0，T (x)在(10,50)上是增函数；当 x(50，)时，T ( x)0，c0，函数单调递增，当 x( 1,2时，f ( x)0，76 16d1，即 d 的取值范围是(，7)(1 ，) 22解：(1)f(x)e x2，xR.令 f(x) 0，得 xln2.于是，
14、当 x 变化时，f(x )和 f(x)的变化情况如下表：x (，ln2) ln2 (ln2，)f(x) 0 f(x) 单调递减 2 2ln2 2a 单调递增故 f(x)的单调递减区间是 (，ln2)，单调递增区间是(ln2， )，f( x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)22ln22a.(2)证明：设 g(x)e xx 22ax 1，xR，于是 g(x)e x2x2a，xR.由(1)及 aln21 知，对任意 xR，都有 g(x) g(ln2)22ln22a0 ，所以 g(x)在 R 内单调递增于是，当 aln21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)，而 g(0)0，从而对任意 x(0，) ，都有 g(x)0，即 exx 2 2ax10 ， 故 exx22ax 1.
