1、第 7 课时 正切函数的图像与性质及其应用1.了解利用正切线画出正切函数图像的方法 .2.了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单的问题 . 3.掌握正切函数的性质 .常见的三角函数还有正切函数,前面我们利用单位圆中的正弦线和余弦线, 研究了正弦、余弦函数的图像,利用正弦曲线、余弦曲线探讨了它们的性质, 今天我们使用类似的方法来探讨正切函数的图像及性质 .问题 1:正切函数及相关概念(1)正切函数的定义在直角坐标系中,角 满足: R,且 ,角 的终边与单位圆交于点P(a,b),则比值 叫作角 的正切函数, 记作 y=tan (R,且 +k,kZ). 2(2)正切函数与正、余弦函数的关系tan
2、 = (R,且 +k,kZ). 2(3)正切线的定义在直角坐标系中,设单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1,0),过点 A 作 x 轴的垂线,与角 的 相交于 T 点,则称 为角 的正切线 . 问题 2:正切曲线的图像及其特点(1)y=tan x(xR,且 x +k,kZ)的图像 .2(2)正切曲线不是连续的一条曲线,而是由一些相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的,它不具有有界性 ,向上和向下都是无限延伸的 . 问题 3:(1)作正切函数在一个周期内的图像的方法: 类似于“五点法”的“三点两线法”作简图,这里三个点为 , , ,两线为直线 、 (其中 kZ),作出这三个点和这两条渐近线
3、, 便可得到 y=tan x 在一个周期上的简图 . (2)正切曲线的对称性:正切函数的图像关于原点对称, 正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是 .正切函数 对称轴 . 问题 4:正切函数的性质(1)正切函数 y=tan x 的定义域是 ,值域为 . (2)正切函数 y=tan x 的图像与 x 轴的交点的横坐标是 . (3)正切函数 y=tan x 在每一个开区间 内单调递增,但不能说在整个定义域上是单调递增函数 . (4)正切函数 y=tan x 在定义域上是 函数 . 1.已知角 的终边与单位圆交于点( ,- ),则 tan 等于( )12 32A. B.- C.- D.-12 32
4、 3 332.如果 x(0,2),则函数 y= + 的定义域是( ) A.x|00 的 x 的取值范围 .正切型函数的定义域、值域问题函数 f(x)= 的定义域是 . 11解含正切函数的不等式及求三角函数值解不等式 tan x .33正切型函数的单调性问题求函数 y=tan(-3x- )的单调区间 .3求函数 y=tan(x+ )的定义域 .3已知角 终边上一点坐标为(3, -4),求 的值 .2()+3(3)(2)4(3)求函数 y=tan(x+ )的单调区间 .31.函数 y=tan( +x)的定义域是( ).4A.x|x ,xR B.x|x- ,xR4 4C.x|xk+ ,xR D.x|
5、xk+ ,xR34 42.函数 y=sin xtan x 是( ).A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数3.tan 2 与 tan 3 的大小关系是 . 4.求函数 y=-2tan(3x+ )的定义域、值域,并指出它的奇偶性和单调性 .3(2010 年全国大纲卷 )记 cos(-80)=k,那么 tan 100等于( ).A. B.- C. D.- 12 12 12 12考题变式(我来改编):第 7 课时 正切函数的图像与性质及其应用知识体系梳理问题 1:(1) +k(kZ) (2) (3)终边或终边的延长线 线段 AT2 问题 2:(2)x=k+ (kZ)2问题
6、3:(1)(k,0) (k+ ,1) (k- ,-1) x=k+ x=k- (2)( ,0)(kZ) 无4 4 2 2 2问题 4:(1)x|xR,x +k,kZ R (2)k(kZ) (3)(k- ,k+ ) (4)奇2 2 2基础学习交流1.C 由正切函数的定义可知 tan = =- . 3212 32.C 由 得 又 x(0,2),解得 0 的 x 的范围为 00 的 x 的取值范围为( k,k+ )(kZ).2 2重点难点探究探究一:【解析】要使函数有意义 ,应有 即 x +k,且 x +k(kZ).2+, ,1, 2 4即定义域为 x|xR,且 x +k,x +k,kZ.2 4【答案】 x|xR,且 x +k,x +k,kZ2 4【小结】求正切函数的定义域,注意 y=tan x 的定义域是 x|xR,x +k,kZ.2探究二:【解析】在同一坐标系中 ,作出 y=tan x,x(- , )和 y= 的图像,如图所示,它们22 33的交点为( , ),满足 tan x 的 x 的取值范围为( - , .6 33 33 26原不等式的解为 x|- +k0,tan 100=-tan 80=- .12思维导图构建x|xR,x +k,kZ (k- ,k+ )(kZ)2 2 2( ,0)(kZ) T=2
