1、第 3 章 线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A 递推解B 古典解C Z 变换求解3.2 Z 变换3.2.1 Z 变换的定义3.2.2 Z 变换的性质3.2.3 Z 反变换A 长除法B 留数法C 部分分式法3.3 离散时间系统的 Z 域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应3.4 Z 传递函数及其求法3.4.1 Z 传递函数的定义 3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由 G(s)求 G(z)连续时间系统的离散化A 对 G(s)的讨论B 对离散化方法的评价C 留数法D 直接代换法E 系统等效法冲击响
2、应不变法；F 系统等效法阶跃响应不变法G 部分分式法3.4.4 离散化方法小结3.5 线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第 3 章 线性离散系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列 u(k)与输出响应序列 y(k)之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式(2.1)1 10 01 -1()(1)()()(),(),.(-)nnmmnykn
3、ayknaykaykbumbububuyyyyn 有 始 性 :初 始 条 件时 间 因 果 律 :或写成 mi njji jkyaikubnky0 1)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当）以及此前若干个输入和输出值有关。0,bn推论开来，当前的输出值是“此前” 全部激励和内部状态共同作用的 “积累”效应。考虑实时控制系统的时间因果律，必须有 mn。当 m=n 时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传” ；当 m0 时，在式(2.7)中恒有 k+m-i0，即恒有 (k+m-i)=0，此时式(2.7)又成为一个齐次方程，等价为(2.8)1
4、112()(1) (1)()0,0),),(n nhknahknahkahkkhhh 上式按差分方程的零输入解法求解，并考虑 h(0)=0，即可得到式(2.1)的单位脉冲响应序列 h(k)， k0。对于一个一般的输入序列 u(k)= u(0)，u(1)，u(2)，可以写成0()()(0)()(1)(1)iukuikiukuk按照线性系统的迭加原理， (k-1)所激励的响应为 h(k-i)1(k-i)，i=0，1， ，于是可得 u(k)激励下的响应为(2.9)0 0()(0)()1()(1)(1)(1)()(0) ()()( =()() , k ki iyuhkuhkukhiki ihiukhk
5、k 称为 和 的“ 卷和”。()k()hk显然，卷和的定义与连续时间函数的卷积具有类似的形式。卷和计算例上例求得零状态解 yzsi(k)。3) 全解1) 和 2)二者之和。上例y(k)= yzi(k)+ yzs(k)。C. Z 变换解法 后面再讲3.2 Z 变换3.2.1 Z 变换的定义Z 变换是对离散序列定义的，设有 ()(0),(1), ()(1)(2)(2),0ykykykykk则 的 Z 变换定义为（单边）罗朗级数()yk(2.10)10()(0)()()iiYzyz.yzz Z 变换域变量d 增序算子两者在数字上具有完全相同的表现形式，但意义却不同，不能混淆。就像s S 变换域（拉氏
6、变换）变量p 微分算子二者表现形式相同，但意义截然不同为什么要定义 Z 变换？Z 变换把离散（等距时间点上）数值序列变换成有理分式；L 变换把连续时间信号变换成有理分式；便于利用代数学的某些结论进行简单处理。Z 变换的另一种“定义”对于时域信号 y(t)=f(t)，采样得离散信号 y*(t)记得第 1 章中讨论过 y*(t)和 y*(k)的（冲量的）等价性， 0* )() )2()()kkTtf Tftftf取其拉氏变换，得(2.11)0)()(*)(*kkTseftfLsF再令！ (2.12)Tsez即得， 0)()(*)(kkzTftfZzF二者的结果是一致的。但是，二者有两点区别， 前者
7、是对 y(k)定义的，后者是对 y*(t)定义的。在离散时间系统中使用前者更符合工程实际。但是，对于首先熟悉了 Laplace 变换的工程技术人员而言，后者更容易理解。 前者在数学上是严格的；而后者中的式(2.11) 容易使得误解 z 和 s 之间的关系。实时上 z 和 s 之间并没有式(2.11)所示的关系，仅仅是有时同一个被控对象的 Z 变换传递函数和 L 变换传递函数的特征根具有那个关系。3.2.2 Z 变换的性质A. 在简单的情况下，可直接按定义求得 y(k)的 Z 变换 Y(z)。(2.13)0()()1iiZkz(2.14) 1001()1()iii i zkz z(2.15)10
8、0()kTiTi TiTTi i zZeezezeez 做为线性离散系统的 Z 变换，它有许多与 L 变换类似的性质，不同的是按照 Z 变换的定义，这些性质更容易被证明一些。B. 线性迭加性质：已知 ，下同。按定义可得，1122()(),()(),fkFzZfkFzabR(2.16)1122()()()()abZfkfkf FzC. 增序性质：（对应于 L 变换的微分性质）设 g(k)=f(k+n)，k0， 为什么？(2.17)()00110010012()()()()()()()()()()(1)kk0j jnj jni ininini ini niinnZfkn=Zgzffzfzffzff
9、zzFz.zfnzf（令 i=j+n）注意两点：一是为什么要减去前面几项？因为按照定义 g(k)中没有这几项！二是与 L 变换的微分性质相比，形式上多了一个“z” 。D. 减序性质：（对应于 L 变换的积分性质）设 g(k)=f(k-n)，k0， 为什么？（令 i -n =j） (2.18)()0010()()()inininjnjj jZffzfizzffF为什么第一项没啦？因为按照定义 f(k)中的这几项为零！E. 卷和性质：（对应于 L 变换的卷积性质）(2.19)1212()*()ZfhfFzF. 初值性质：(2.20)0()lim()li()kzff证明：按照 Z 变换的定义。G.
10、终值性质：(2.21)-11()lim()li()(lim()kz zffFFz当 f(k)不收敛（F( z)中有单位圆外极点）时，终值性质不能使用！证明： 0(1)()()1()01iiZfk+-fzFfFz-zf+- 同令 z1 得，1lim()0(0)(2)1.()1).()z-F=f+ff-fk-其它略3.2.3 Z 反变换已知 F(z)有理分式，求 f(k)使得 ，记为Z()()fkFz(2.22)1()ZfFzA. 长除法罗朗级数展开如果 F(z)是有理分式，必可展开为罗朗级数，如果 F(z)是真有理分式，必可展开为（单边）罗朗级数（有始函数） ，即有 f(k)，k0如果 F(z)
11、是 严格真有理分式，则一定有 f(0)=0。例，B. 留数法在实时离散控制系统中有 f(k)，k0,则一定有010()() ()kkFzfzfz+.fz按照复变函数的留数理论，考虑如下围线（逆时针包围含全部极点）积分，1 1CC01 112 12C1()()0()()()()()k iki kkkkkkFzdfzdffz. fzfz+.dz.ffzdjf留数是如何定义的？ 1C1()()2kfkFzdj称为 的留数1()kFz于是有(2.23)-1 1 1()Z()Res()Res()ink kzifkzFzF即 在其所有极点 zi，i=1，2，n，处的留数之和。1kf F为按照留数计算规则，
12、若 z0 是 F(z)的单重极点则有001 1Res()lim()k kzz z 若 z0 是 F(z)的 m 重极点,则有 001 10esli()()!m1k mkzz dzFz C. 部分分式法 留数法的特例 一般都是直接查表部分分式法是应用留数法得到的一些易于实际应用的特例情况，设 F(z)有n 个单重根 z1，z n，则可以写成部分分式形式(2.24)1()niiizFzA按照迭加原理，我们可以求得其中每一项的 Z 反变换，即111()()nnKi ii iizfkZzZAz按式(2.23)有，(2.25)1 11 111()Res()Res()lim()in nk kzi i in
13、kizinkiifkFzAzAz 正是所希望的结果。3.3 离散时间系统的 Z 域分析利用 Z 变换求解差分方程。3.3.1 零输入响应对式（2.1）所示差分方程，当输入 u(k)=0, k0 时，成为齐次方程,zi1zi 1zi zi()()()0nnyknaykn.ayayy(0)=y0，y(1)=y 1，.， y(n-1)=yn-1应用 Z 变换的增序性质，并注意给定的零输入初始条件，得1zi0110210() ()()0nnnnn nYyzzya.zYzyaYz i整理可得 0121(,.,)()nnn nByyYzazazi于是可得式(2.1)的零输入响应为 1()()ykZYzzi
14、3.3.2 零状态响应设式(2.1) 所示系统在没有输入激励时，其内部初始能量积累为零，即所谓零状态，此时不考虑初始条件对式 2.1 的两边同时进行 Z 变换，可得 10 1() ()mmnnnnbz.bzY Uzaazs定义(2.26)10 1()mmnnnnbz.bzGaa称为离散动态系统式(2.1)的 Z 传递函数，则上式可写成zs()()YzU则有 11()()()zszsykZZGzU按照卷和定理0()()*()()(,0kzs iykgugiuk其中 1()()gkZGzg(k)是什么，以及如何求得 g(k)？设 u(k)=(k)是一个单位 脉冲函数，已知，U(z)=Z(k)=1，
15、即可得系统对 u(k)=(k)的零状态响应，称为单位脉冲响应，并记为 h(k), k0，并有 1()()()zGgk现在，如欲解析求解式（2.1）所示的差分方程的零状态响应，主要有两种方法。Z 域法： 1()()zsykZzU时域法： *zshuk3.3.3 完全响应对式（2.1）求 Z 变换时，同时考虑初始条件，即可得系统的完全响应，与分别求出 yzi(k)和 yzs(k)再相加是一致的。即：(2.27)0121(,)() ().()()nnnnzizsiByyYz GzUaazYykyk()几点说明：在求零状态响应时，显然零状态解 yzs(k)的初始 n 个值并不一定为零，零状态仅仅是说当
16、输入为零时，系统初值为零。求零状态响应时，对式(2.1)两边求 Z 变换时，此时的 yzs(k)与 u(k)都是有初值的，因此亦应考虑增序性质时的初值，但是在整理时两边的初值正好相互抵消，因此在求零状态响应时的 Z 变换时，可以不考虑初值。在求完全响应时，由 u(k)引起的 yzs(k)中的那一部分初值效应必然由 u(k)的初值效应所抵消，因此只考虑系统的零输入初值。例：已知差分方程 ，其中 r(k)51(2)()()+1)0.5()66xkxkxkrrk=1，k 0，x (0)=1，x (1)=2。试由 Z 变换法求其全解。3.4 Z 传递函数及其求法3.4.1 Z 传递函数的定义定义一个离
17、散时间被控对象的动态特性，或连续时间对象的离散控制动态特性。由输入-输出序列 Z 变换之比来定义。传递函数描述一个动态系统的输入输出稳态传递特性（稳态的含义是不包含初始条件的影响） 。A 对于离散时间系统比如这个离散时间系统原来是由差分方程描述的。对于式(2.1)描述的差分方程，(2.1)1 1001 -1()().()().,2.,()(),.(-)nnmmnyknayknaykaykbumbububuyyyy根据 Z 变换的性质，两边求 Z 变换（不考虑初始条件） ，并化简可得(2.28)101 11 1.(z)() .mmmmnn nnbzbzbzbYGzUaaa 如果差分方程是由式 2
18、.2 描述的，12 10 1()()().()().()(nnmmykaaykaykaykbububu(2.2)则同理可得图 2.1 离散时间被控对象传递函数的定义Y(z) ()()YzGzUy(k)u(k)U(z)离散时间系统G(z)(2.29)1 (1)01 111 1101 11 1.(z)() .( . ).nn nmnmmnn nnnmmmmmnn nnbzbzbzbzYGzUaaazbzbzbzbaaa 当 nm 时，与式(2.28)相同注意：2） 为什么上二式求 Z 变换时不考虑初始条件？传递函数只描述稳态特性，与初始条件无关！3） 式(2.28) 和(2.29)称为有理分式；n
19、m 时称为严格真有理分式，输入-输出至少延时一拍。B 对于一个连续时间的采样控制系统对于一个连续时间系统，对其进行离散时间控制时前面必须加一个零阶保持器（ZOH ） 。只有对其输入和输出采样得到响应的输入-输出离散时间序列时，才能对其定义 Z 传递函数。3.4.2 离散系统的运算流图化简，与连续时间系统完全相同。A 串联()ut ()yt ()yk()uk离散时间系统G(z)y(k)u(k) ()()YzUz()Uz ()Yz连续时间系统 G(s)图 2 采样控制的连续时间系统的离散时间传递函数s)和 G(z)表示不同的函数关系。()()/()sYsUsZOHB 并联C 反馈系统()YzG1(
20、z) G2(z) Gn(z)()Uz ()YzG(z)()Uz 1()()niizz图 3 离散时间系统的串联。 ()Yz1()Gz1()z1()Gz ()Yz()Gz()Uz ()Uz1()()niizz图 4 离散时间系统的并联 ()Yz1()Gz2()z ()Uz ()Yz ()Gz()Uz112()() ()GzGz图 5 离散时间反馈系统对于任意的复杂系统，可由梅森公式求得。3.4.3 由 G(s)求 G(z)连续时间系统（或信号）的离散化A 对 G(s)的讨论一般来说，G(s)的含义可能有以下三种情况：1) G(s)为时域信号 g(t)的 Laplace 变换此时，应该由 G(s)
21、求的 g(t)，对 g(t)离散化得 g(k)，最后再求 G(z)。2) G(s)为控制器的传递函数它只是一个数字模型G(s)既可以由连续时间系统（模拟）实现，输入输出为连续时间变量；G(s)也可以由离散时间系统（数字）实现、输入输出为离散时间变量；此时，对 G(s)直接离散化即可，不需要 ZOH。3) G(s)是一个（连续时间）被控对象离散化后的输入时离散时间的，但是 G(s)只能接受连续时间激励信号，因此必须在输入端需增设一个保持器（例如零阶保持器 ZOH） ，将离散序列转化为连续时间函数。G(s)的输出一定是连续时间函数，需对其进行采样。图 6 对连续时间被控对象的离散化B 对离散化方法
22、的评价离散化方法不是唯一的，它们各有其特点和适用范围。因而需要对离散化方法建立评价指标体系。对信号的离散化结果应该是唯一的，严格的。就是说在采样点上的取值严格等于原函数。对调节器传递函数 G(s)的离散化结果 G(z)，应与 G(s)的频率特相一致。这时会因所用方法的不同而有差异。对被控对象传递函数 G(s)的离散化结果 G(z)，在不同情况下有不同的要求，后面会详细讨论。这时也会因方法的不同而有差异。评价一个离散化方法，大概有如下 5 项指标。但是在不同的应用场合有不同的要求。1) 易操作性。2) 从 S 平面到 Z 平面的映射关系。包括映射的单值性和 稳定性的遗传性。3) 频率特性畸变。指
23、 G(z)的频率特性与 G(s)的频率特的一致性。4) 稳态增益畸变。指 G(z)的稳态增益与 G(s)的稳态增益的一致性。5) 时域（采样点）响应的一致性。指在采样点上 G(z)和 G(s)取值的一致性。C 留数法适用于 G(s)为时域信号 g(t)的 Laplace 变换的情况。这时， G(z)和 G(s) 在采样点上的取值是完全一致的。按定义0 0()()()k kk k tkTGzgzgz 带入 g(t)01()2j skTkjk Gedzj 交换求和求积分01()()2j skTkj kGsezdsj 的顺序级数和的闭式11()21jj sTGsdsj ez 按留数定理即可得，(2.
24、30)Res sTiGz Gsezm -1i=1（ ） ()1-D 直接代换法 操作简单，但却有误差。直接代换法既适用于对控制器的离散化，亦适用于对被控对象的离散化。但是不适用于对信号的离散化（在采样点上取值不严格） 。使用直接代换法对被控对象离散化时，一方面物理上需要引入 ZOH，两一方面代换是并不包括 ZOH。直接代换法有很多种，下面介绍常用的几种。1) 后向差分法设连续时间描述为： d ()1,()XsxuGst Us 用差分代替微分，采样周期取为 T，(1)() ()(1),() 1xkxk XzTzukGzT U（为什么叫“后向”差分？）比较 G(s)和 G(z)，可得代换式，(2.
25、31)1 1zz ssTT,或 Sz 映射关系：单值一一对应S 平面上左半平面稳定域 Z 平面上单位圆内正实轴上小圆G(s)稳定 G(z)稳定ae()C()c Sj ab*cd ()eZ0jb1122jz1SsjTbd1SsTb* 1SsT 1f f f图 7 后向差分法的稳定性遗传显然稳定性的遗传不是可逆的，但“S 稳定” “z 稳定” ，因此常被采用。（S 平面上除了 aef 小圆外，所有的 s 映射到 Z 平面都是稳定的）频轴畸变较大。稳态增益无畸变。即： 0 1()| ()|s zGG 不能保证时域（采样点）响应的一致性。2) 前向差分法连续时间系统描述为 d 1,()xuGst s用
26、差分代替微分 (1)()(),()1xkxk TukGzT z（为什么叫“后向”差分？）比较 G(s)和 G(z)，可得代换式，(2.32)1, 1zszsTTS 到 z 映射关系：单值一一对应。事实上就是一个平移。 bcaS-2/T* bcaZ-1 *10 0j j图 8 前向差分法的稳定性遗传G(s)稳定 G (z) 稳定显然，G(s)稳定很难保证 G (z)是稳定的，固很少采用。频轴畸变较大。稳态增益无畸变，即： 0 1()| ()|s zGG 不能保证时域（采样点）响应的一致性。3) 双线性变换法（Tustin 法）连续时间系统描述为 d 1,()xuGst s用差分代替微分， , (
27、1)()(1)()2xkxkukukT 1()2TzG比较的代换式，(2.33)221, sz Ts zT s（为什么叫“双线性变换？）caSj-2/T()b abc0jZ-1 1图 9 双线性变换法的稳定性遗传s 到 z 的映射关系：单值一一对应；S 平面上左半平面稳定域 Z 平面上单位圆内稳定域G(s)稳定 G(z)稳定当 T 足够小时（即当 足够大时）频轴畸变很小；sc稳态增益无畸变；显然，在直接代换法中，双线性变换是最好的。事实上在程序化处理的G(s)到 G(z)变换中都采用双线性变换法，应用最为广泛。E 系统等效法冲激响应不变法提法：设有（被控对象）G(s)和 G(z)，若 G(s)
28、在 (t)的激励下的响应 g(t)在 kT 处的采样值 g(kT)与 G(z)在 (k)的激励下所得之响应相等，即称 G(z)和G(s)是冲击响应不变（等价）的。但是，事实上 (k)和 (t)并不等价。原因是，(t)的冲量为 1，而（加上零阶保持器之后）( k)的冲量为“T” ，二者差一个系数“T” ；使得 G(z)的稳态增益随着 T 大幅变化，这是不允许的。 为什么还要讲这种方法？按定义，在 (t)激励下，有冲激响应 g(t)1 1()() ()2j stjgtLGs Gedj 按采样周期 T 采样即得 1()() ()2j skTjgkgkTGedj按照输入输出等效原则，在单位脉冲输入 (
29、k)的激励下，应有输出 g(k)如上式所示。根据 Z 变换的定义，即有对上式求 Z 变换0()()kkGzgz交换和积顺序01 ()2j skTkjk Gedzj 求级数和的闭式01()()2j skTkj kGsezdsj 按留数定理11()21jj sTGsdsj ez (2.34)Res sTiGz Gsezm -1i=1（ ） ()1-因此，冲击响应等效法也是留数计算法。显然，此式与式(2.30)的留数法相同。此式用来对信号的 G(s)求其 G(z)时是严格正确的，但是，用来对被控对象的 G(s)求其 G(z)时却是不对的。此代换不易操作，特别是不易计算机实现。S 到 z 的映射关系分析如下。若 G(s)有一个极点 ，2()i i iSjnT则 G(z)一定有一个极点 2( )jnTS jTi iTTii i dizeeere 其中 1, (,Ti di iire T 显然，s 平面 z 平面，单值映射z 平面 s 平面，多值映射
