1、2005 年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人分数一、单项选择题（每小题 2 分，共计 60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.1.函数 的定义域为为 （ xy5)1ln(）A. B. C. D. 51x 51x解： .Cxx1052.下列函数中,图形关于 轴对称的是 （ y）A B. ycos 13xyC. D. 2x 2解：图形关于 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数 为y 2xy偶函数,应选 D. 3. 当 时，与 等价的无穷小量是
2、（ 0x12xe）A. B. C. D. x22x解： ,应选 B.ex122x4. （ limnn）A. B. C. D. e2e3e4e解： ,应选 B.2)1(2lim)1(21 lilili nnn nnnn 得分评卷人5.设 在 处连续，则 常数 （ 0,1)(xaxf a）A. 1 B. -1 C. D. 2121解： ,应选 C.)(lim)(li1lim)(li 0000 xxxxf x6.设函数 在点 处可导,且 ,则 （ 211hffh (f）A. 1 B. C. D. 2144解： ,1)(21)(2)1(lim)(lim00 ffhffhff hh应选 D.7.由方程
3、确定的隐函数 的导数 为 （ yxe)(yxdx）A. B. C. D.)1(xy)1(yx)1(yx)1(xy解：对方程 两边微分得 ,yeded即 ,ex,)()(所以 ,应选 A.dyx)1(8.设函数 具有任意阶导数,且 ，则 （ f 2)(xff )(xfn）A. B. 1)(nx 1!C. D. f )(nf解： ,423 )(33)(2)(2 xfxxfff 及,应选 B. )(n1!nf9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）A. B.,1)(2xf 1,)(xefC. D |解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有满足,应选 A.1,)(
4、2xf10.设 ,则在 内, 单调 ( )(),()( xf )12()xfA.增加,曲线 为凹的 B.减少 ,曲线 为凹的 )(xfy )(xfyC.增加,曲线 为凸的 D.减少, 曲线 为凸的解: 在 内,显然有 ,而 ,故函)12( 0)12()(xf 014)(f数 在 内单调减少 ,且曲线 为凹的,应选 B.)(xf fy11.曲线 （ xey1）A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线， D. 无水平、垂直渐近线解： ，应选 C.0lim;1li0xyyxx12.设参数方程为 ,则二阶导数 （ tbasinco2dy）A. B. tab2sin
5、 tab32sinC. D. co 2co解： dxtttabdxytxydxt sisincosi2,应选 B.tab322in113.若 ，则 （ ）Cexf1)( )(fA. B. C. D. 2x21x解：两边对 求导 ,应选 B. x 221)()(fefx14. 若 ，则 （ CFdf)(dsinco）A. B. xsin CxF)(iC. D. )(cos解: ,应选 A. xdfdf in)(siini15.下列广义积分发散的是 （ ）A. B. C. D.021x102edxl0dxe解： ; ;arctnd 2arcsin10x; ,应选 C.eexx2)(lln 00xx
6、ed16. （ 1|dx）A.0 B. C. D. 323432解：被积函数 在积分区间-1,1上是奇函数,应选 A.|x17.设 在 上连续,则定积分 （ )(faadxf)(）A.0 B. C. D. dxf0)(2afadxf)(解： ,应选 D.aaaaut xfduudxf )()()(18.设 的一个原函数是 ,则 （ sinxfsin）A. B.Cx2sin1 Cx2i41C. D. sn解: xfxfxf i)(cos)()(si ,应选 B.xdddf 2sin4121in219.设函数 在区间 上连续,则不正确的是 （ )(ba）A. 是 的一个原函数 B. 是 的一个原函
7、数 baxff xatf)()(xfC. 是 的一个原函数 D. 在 上可积xdt)()(,b解: 是常数,它的导数为零 ,而不是 ,即 不是 的baf )(fadf)()(xf原函数 ,应选 A.20.直线 与平面 的关系是 （ 213zy01zyx）A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解： ,另一方面点 不在平面内,所nsns ), )23(以应为平行关系,应选 D21.函数 在点 处的两个偏导数 和 存在是它在该点处),(yxfz,(0yxzy可微的 （ ）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在
8、,因此为必要条件,应选 B.22.设 ，则 （ yxz2ln)2,1(dz）A. B. C. D. dx2ydyx21dyx21解： ,应选 C.dzxyzln2lnz)2,1(23.函数 的极小值点是 （ ）1),(2yxyfA. B. C. D. 1,)1,(,(),(解： ,应选 B.),02yxyxz24.二次积分 写成另一种次序的积分是 （ 0),(xdf）A. B. 402,yfd 40),(ydxfdC. D. 2)(x 2解：积分区域,应选 A.,40|),(,|),(2 xyyxyyxD25.设 D 是由上半圆周 和 轴所围成的闭区域,则2a（）df,A. B. 20)sin
9、,co(ardrf 20)sin,co(adrrfdC. D.sd s解：积分区域在极坐标下可表示为：，从而cos20,|),(arrDDdyxf),(，应选 C. 20cos)sin,adfd26.设 为抛物线 上从 到 的一段弧， L2xy)0,(O)1,(BLdyx2（） A. -1 B.1 C. 2 D. -1解： ： 从 0 变到 1 , L,2xy,应选 B.14041031033 xdxdd27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A B 1)(n 132)(nC D2 )(n解： 发散, 和 绝对收敛，1)(n 12)(n1n是收敛的，但 是 的级数发散的，从而级数132)(n 1
10、32np条件收敛，应选 B.28. 下列命题正确的是 （ ）A若级数 与 收敛，则级数 收敛 1nu1nv21)(nnvuB若级数 与 收敛，则级数 收敛 1n1n )(21nnC若正项级数 与 收敛，则级数 收敛 unvvuD若级数 收敛，则级数 与 都收敛 1n1n1n解：正项级数 与 收敛 与 收敛，u1nv2u2v而 ，所以级数 收敛 ，应选 C。)(2)(2nvu1)(nn29. 微分方程 的通解为 （ yxyx）A. B. C2 yxC. D. 1y 22解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为 ，2Cyx应选 D.30.微分方程 的通解是 （ 02xdt）A. B. t
11、Cxsinco21 tteCx21C. D. ts te解：微分方程的特征方程为 ，有两个复特征根 ，所以方02 i程的通解为 ，应选 A. ttsi21二、填空题（每小题 2 分，共 30 分）1.设 ,则 _.)1(2xf )2(xf解： 33)1(2xf.62. ,则 _.5lim2ax a解：因 .10)6(lim0)(22 axx3.设函数 在点 处的切线方程是_.yrctn4,1解： ，则切线方程为 ，211xxk )(24xy即 .02y4.设 ，则 _.xe1dy解： .dxexeyx 1ln)ln(21lln 5.函数 的单调递增区间是 _.xl2解： 或 . 21041xy
12、 ),(),26.曲线 的拐点是_.xe解： ,得拐点为 . 104)(21 xxeyy ),1(e7.设 连续 ,且 ,则 _.)(xfdtfx30)(27f解：等式 两边求导有 ,取 有 .tf30 3)(3x27)(f8.设 ，则 _.)(,2)(,1)(ff 10df解： 10100 )2(4)2(xfxxdx.45)0(4)(210 fff9.函数 的极小值是 _.xtey0解: .)(0 f10. _.dxcosin1解: . Cxx|cos|lncos)(得分评卷人11. 由向量 为邻边构成的平行四边形的面积为2,10,1ba_.解： . 6|210baSkjikjib12.设
13、，则 _.yzxlnyzx解：令 ,则Fln.221,1, zzyzx,所以 .)(;xyFzzx )(zxyxz13.设 是由 ，所围成的第一象限部分,则D0,12xDdxy2)(=_.解：积分区域在极坐标系下表示为 ,则10,4|),(rrD 1040210242 seccosin)( drddxyD.8)(tan1)(e42 14.将 展开为 的幂级数是_.23)(xxf解： ,2121)(1 xxx所以 .)(,2)() 0100 xf nnnnn15.用待定系数法求方程 的特解时,特解应设为xey2)(4_ _.解：2 是特征方程 的二重根,且 是一次多项式,特解2应设为 .xeBA
14、x)(三、计算题（每小题 5 分，共 40 分）得分评卷人1 .xxxcossinlim20解： xxx cosin1)(limili 20scosn120xx xxx coin2lilim020 .341sinco3li40x2.已知 ,求 .2arct)(,25xfy0xdy解：令 ,则 ,uxy,22)5(163arctn253)( xxxfdy所以 .416arctn0 x3.求不定积分 .dx23解： 2223 111xdx )1()( 222 xdx.C324.设 ,求 .0,21)ln()xxf 20)1(dxf解：令 ,则t12)(tff 0011001 )ln()( ddtt
15、df0)ln(2lnt10t.12l3)l(l t5.设 ，其中 可微，求 .,sin(2yxefzx),(vufyzx,解：令 ,则 ,复合关系结构如图 05-1 所示,vyxuex2,sin)(vufzvzz,)(),(siffyvuxzz.),(2),(cosufyfevux6求 ，其中 是由 所围成的闭区域.Ddy2 2,1xyx及解：积分区域如图 05-2 所示，曲线 在第一象限内的交点为（1，1） ，积分区域可表示为： .x,2则 11122 )(dydyxdxy xD131(.49214x7求幂级数 的收敛域（考虑区间端点）.120)(nnx解： 这是缺项的标准的幂级数，因为 ，
16、22123211 31lim)()(limli xnxnunnn 当 ，即 时，幂级数绝对收敛；x当 ，即 或 时，幂级数发散；当 ，即 时，1若 时，幂级数化为 是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，x012)(n是收敛的，若 时，幂级数化为 也是交错级数，也满足来布尼兹01n定理的条件，是收敛的.故幂级数的收敛域为-1,1.8求微分方程 通解.cos2)1(2xyx解：微分方程可化为 ，这是一阶线性非齐次微分方程，12它对应的齐次线性微分方程 的通解为 .02x12xCy设非齐次线性微分方程的通解为 ，则 ，代入)(2xCy 2)()xzvuxy图 05-1Oxyxyx121图 05-2方程
17、得 ,所以 .xCcos)( Cxsin)(故原微分方程的通解为 (C 为任意常数).12y四、应用题（每小题 7 分，共计 14 分）1. 一房地产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加 100 元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?解：设每套公寓租金为 元时,所获收入为 元,xy则 ,)20(),(1025 xy整理得 47(均有意义 ,)2xy令 得唯一可能的极值点 ,而此时 ,所以0360051y是使 达到极大值的点 ,即为最大值的点.36x最大收入为
18、 (元).634)2(125 y故 租金定为每套 3600 元时,获得的收入最大,最大收入为 115600 元.2.平面图形由抛物线 与该曲线在点 处法线所围成,试求:x2)1(1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积.解：平面图形如图 05-3 所示,切点 处的切线斜率为 ,),2(A21xyk由 得 ,故 点处的切线斜率xy2y1,12k从而 点处的法线斜率为-1,A法线方程为 .03yx联立方程组 得另一交点 .22 )3,29(B(1) 把该平面图形看作 Y 型区域,其面积为;316)3()3(321 ydyS得分评卷人O)1,2(Axy)3,9(B20C1-3图 05-302y(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积等x于平面图形 绕 轴旋转所成旋转体的体积 ,有OBCx故 293 29322902290 )14()( xdxdVx.4581五、证明题（6 分）试证：当 时，有 .0xxx1ln1证明：构造函数 ，它在 内连续，fln)()(及当 时，函数在区间 上连续，且 . 0x1,f(故 在 上满足 Lagrange 中值定理,存在 ,)(f1,x )1,x使得 ， .)(ff)1x而 ,故有 ,xfx)(1 xlnl(即 时, 成立.01ln得分 评卷人
