1、 2005 年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数 一、单项选择题（每小题 2分，共计 60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分 . 1.函数xxy 5 )1ln(的定义域为为 （ ） A. 1x B. 5x C. 51 x D. 51 x 解： Cxxx 5105 01. 2.下列函数中 ,图形关于 y 轴对称的是 （ ） A xxy cos B. 13 xxy C. 222 xxy D. 222 xxy 解：图形关于 y 轴对称 ,就
2、是考察函数是否为偶函数 ,显然函数 222 xxy 为偶函数 ,应选 D. 3. 当 0x 时，与 12xe 等价的无穷小量是 （ ） A. x B. 2x C. x2 D. 22x 解： xex 1 212 xex ,应选 B. 4. 121lim nn n（ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e 解： 2)1(2lim2)1(221 21lim21lim21lim ennnnnnnnnnnnnn ,应选 B. 5.设0,0,11)(xaxx xxf 在 0x 处连续，则 常数 a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21 解：21)11( 1lim)11(lim11
3、lim)(lim 0000 xxx xx xxf xxxx,应选 C. 6.设函数 )(xf 在点 1x 处可导 ,且 21)1()21(lim0 h fhfh,则 )(f （ ） A. 1 B. 21 C. 41 D. 41 得分 评卷人 解： 41)1(21)1(22 )1()21(lim2)1()21(lim020 ffh fhfh fhf hh,应选 D. 7. 由方程 yxexy 确 定 的 隐 函 数 )(yx 的导数dydx为 （ ） A.)1( )1( xyyx B.)1( )1( yx xy C.)1( )1( yx xyD.)1( )1( xyyx解：对方程 yxexy 两
4、边微分得 )( dydxey d xx d y yx , 即 dyxedxey yxyx )()( , dyxxydxxyy )()( , 所以dydx )1( )1( xy yx ,应选 A. 8.设函数 )(xf 具有任意阶导数 ,且 2)()( xfxf ，则 )()( xf n （ ） A. 1)( nxfn B. 1)(! nxfn C. 1)()1( nxfn D. 1)()!1( nxfn 解： 423 )(3)()(32)()(2)()(2)( xfxfxfxfxfxfxfxf ！ , )()( xf n 1)(! nxfn ,应选 B. 9.下列函数在给定的区间 上满足罗尔定
5、理的条件是 （ ） A. 1,1,1)( 2 xxf B. 1,1,)( xxexf C. 1,1,1 1)(2 xxfD 1,1|,|)( xxf 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定 ,只有1,1,1)( 2 xxf 满足 ,应选 A. 10.设 ),(),12)(1()( xxxxf ,则在 )1,21( 内 , )(xf 单调 ( ) A.增加 ,曲线 )(xfy 为凹的 B.减少 ,曲线 )(xfy 为凹的 C.增加 ,曲线 )(xfy 为凸的 D.减少 ,曲线 )(xfy 为凸的 解 : 在 )1,21( 内 ,显然有 0)12)(1()( xxxf ,而 0
6、14( xxf ,故函数)(xf 在 )1,21( 内单调减少 ,且曲线 )(xfy 为凹的 ,应选 B. 11. 曲线 xey1 （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有 水平渐近线 C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线， D. 无水平、垂直渐近线 解： 0lim;11lim0 xyyy xx，应选 C. 12.设参数方程为 tby tax sincos,则二阶导数 22dxyd （ ） A. ta b2sinB. ta b32 sinC. ta b2cosD. tta b22 cossin解：dxdtta tbta tbdx ydta tbxydxdy txtt s i nc o ss i
7、 nc o ss i nc o s 22 ta btata b 322 s ins in1s in ,应选 B. 13.若 Cedxexf xx 11)( ，则 )(xf （ ） A. x1 B. 21xC. x1 D. 21x解：两边对 x 求导 2211 1)()1()(xxfxeexf xx ,应选 B. 14. 若 CxFdxxf )()( ，则 dxxxf )(sincos （ ） A. CxF )(sin B. CxF )(sin C. CxF )(cos D. CxF )(cos 解 : CxFxdxfdxxxf )( s i n)( s i n)( s i n)( s i nc
8、 o s ,应选 A. 15.下列广义积分发散的是 （ ） A. 0 21 1 dxxB.10 211 dxxC.e dxxxlnD. 0 dxe x解： 2a r c t a n1 100 2 xdxx;2a r c s in1 1 1010 2 xdxx; eexdxx x 2)( ln21ln ; 100 xx edxe ,应选 C. 16. 11 | dxxx（ ） A.0 B.32 C.34 D. 32 解：被积函数 |xx 在积分区间 -1,1上是奇函数 ,应选 A. 17.设 )(xf 在 , aa 上连续 ,则定积分 aa dxxf )(（ ） A.0 B. a dxxf0 )
9、(2C. aa dxxf )(D.aa dxxf )(解： aa aa a a a aut dxxfduufudufdxxf )()()()()( ,应选 D. 18.设 )(xf 的一个原函数是 xsin ,则 xdxxf sin)( （ ） A. Cxx 2sin2121 B. Cxx 2sin4121 C. x2sin21 D. Cx 2sin21 解 : xxfxxfxfx s i n)(c o s)()()( s i n Cxxdxxx d xx d xxf 2s i n41212 2c o s1s i ns i n)( 2,应选 B. 19. 设函数 )(xf 在区间 ,ba 上连
10、续 , 则不 正 确 的 是 （ ） A.ba dxxf )(是 )(xf 的一个原函数 B.xa dttf )(是 )(xf 的一个原函数 C.ax dttf )(是 )(xf 的一个原函数 D. )(xf 在 , ba 上可积 解 : ba dxxf )(是常数 ,它的导数为零 ,而不是 )(xf ,即 ba dxxf )(不是 )(xf 的原函数 ,应选 A. 20.直线 2 211 3 zyx 与平面 01 zyx 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解： nsns )1,1,1,2,1,1 ,另一方面点 )2,0,3( 不在平面内 ,所以应
11、为平行关系 ,应选 D 21.函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处的两个偏导数 xz 和yz存在是它在该点处可微的 （ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 解：两个偏导数存在 ,不一定可微 ,但可微一定有偏导数存在 ,因此为必要条件 ,应选 B. 22.设yxz 2ln，则 )2,1(dz（ ） A. dxxy2 B. dydx 2121 C. dydx 21 D. dydx 21 解： dyydxxdzyxyxz 11ln2ln2ln dydxdz 21)2,1( ,应选 C. 23.函数 1),( 22 yxyxyxyxf 的极小值点是 （ ） A.
12、 )1,1( B. )1,1( C. )1,1( D. )1,1( 解： )1,1(),(012012yxyxyzyxxz,应选 B. 24.二次积分 20 02 ),(x dyyxfdx 写成另一种次序的积分是 （ ） A. 40 2 ),(y dxyxfdyB. 40 0 ),(y dxyxfdyC. 40 22 ),(x dxyxfdyD. 40 2 ),(y dxyxfdy解：积分区域 2,40|),(0,20|),( 2 xyyyxxyxyxD ,应选 A. 25.设 D是由上半圆周 22 xaxy 和 x 轴所围成的闭区域 ,则 D dyxf ),(（ ） A. 2020 )s i
13、n,c o s(a r d rrrfd B. 2020 )s in,c o s(a drrrfd C. 20c o s20 )s in,c o s(a r d rrrfd D. 20c o s20 )s in,c o s(a drrrfd 解：积分区域在极坐标下可表示为： c o s20,20|),( arrD ，从而 D dyxf ),( 20 c o s20 )s in,c o s(a r d rrrfd ，应选 C. 26.设 L 为抛物线 2xy 上从 )0,0(O 到 )1,1(B 的一段弧， L dyxxydx 22（ ） A. -1 B.1 C. 2 D. -1 解： L ： ,
14、2 xy xx x 从 0变到 1 , 14222 10410 310 332 xdxxdxxdxxdyxx y d xL ,应选 B. 27.下列级数中，条件收敛的是 （ ） A 1 1)1(nn nn B 1 3 21)1(nn n C 1 21)1(nn n D 1 )1()1(nnnn解： 1 1)1(nn nn 发散 , 1 21)1(nn n 和 1 )1()1(nnnn绝对收敛， 1 3 21)1(nn n 是收敛的，但 13 21n n是 32p 的级数发散的，从而级数 1 3 21)1(nn n 条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是 （ ） A若级数 1n nu与 1
15、n nv收敛，则级数 21 )( nn n vu 收敛 B 若级数 1n nu与 1n nv收敛，则级数 )( 212 nn n vu 收敛 C 若正项级数 1n nu与 1n nv收敛，则级数 21 )( nn n vu 收敛 D 若级数 1n nnvu收敛，则级数 1n nu与 1n nv都收敛 解：正项级数 1n nu与 1n nv收敛 12n nu与 12n nv收敛， 而 )(2)( 222 nnnn vuvu ，所以级数 21 )( nn n vu 收敛 ，应选 C。 29. 微分方程 yxyyx 2)2( 的通解为 （ ） A. Cyx 22 B. Cyx C. 1xy D. 2
16、22 Cyxyx 解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为 222 Cyxyx ，应选 D. 30.微分方程 0222 xdt xd 的通解是 （ ） A. tCtCx s inco s 21 B. tt eCeCx 21 C. ttx sincos D. tt eex 解：微分方程的特征方程为 0 22 ，有两个复特征根 i ，所以方程的通解为 tCtCx s inco s 21 ，应选 A. 二、填空题（每小题 2分，共 30 分） 1.设 2)1( 2 xxf ,则 )2(xf _. 解： 32)(3)1(2)1()1( 22 xxxfxxxf 116)2( 2 xxxf .
17、2. 52 6lim 22 xaxxx,则 a _. 解：因 10)6(lim0)2(lim 222 aaxxx xx. 3.设函数 xy arctan 在点 )4,1( 处的切线方程是 _. 解：211 1 121 xx xyk，则切线方程为 )1(214 xy ， 即 0212 yx . 4.设 xxexy 1 ，则 dy _. 解： dxx xexxx xdedyey xxxx xxx x 1ln1)ln(21lnln . 5.函数 xxy ln2 2 的单调递增区间是 _. 解： 21001414 xxxxxxy ),21( 或 ),21 . 6.曲线 xey 的拐点是 _. 解： 1
18、04 )1(2 1 xxx xeyxeyxx ,得拐点为 ),1( e . 7.设 )(xf 连续 ,且 xdttfx 30 )(,则 )27(f _. 解：等式 xdttfx 30 )(两边求导有 13)( 23 xxf ,取 3x 有 271)27( f . 8.设 3)2(,2)2(,1)0( fff ，则 10 )2( dxxfx_. 解： 10101010 2)2(41)2(21)2(21)2( xdxfxfxxfxddxxfx45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(21 10 fffxff . 9.函数 x tdttey0的极小值是 _. 解 : 0)0(00 fxxey
19、 x . 10. dxxx xcossin1 _. 解 : Cxxxx xxddxxx x |c o s|lnc o s )c o s(c o ss i n1 . 11. 由向量 2,1,0,1,0,1 ba 为邻边构成的平行四边形的面积为_. 得分 评卷人 解： 6|2210101 baSkjikjiba . 12.设yzzx ln，则 yzxz_. 解：令 yzzxyzzxF lnlnln ,则 22 1,1,1 z zxzzxFyFzF zyx . )(;2zxy zFFyzzx zFFxz zyzx ,所以)( )( zxy zyzzxz . 13.设 D 是由 0,1 2 yxyxy
20、 ，所围成的第一象限部分 ,则 D dxdyxy 2)( =_. 解：积分区域在极坐标系下表示为 10,40|),( rrD ,则 1040 210 2402 )1( s e cc o s s i n)( r d rdr d rdd x d yxyD 821)( t a n21)1( s e c21 40240 2 d. 14.将22 3)( xxxf 展开为 x 的幂级数是 _. 解：21121112111)2)(1(323)(2 xxxxxxxxxf , 所以 )11(,2 1)1()2(21)()( 0 100 xxxxxf nn nnn nn n. 15.用待定系数法求方程 xexyy
21、y 2)12(44 的特解时 ,特解应设为_ _. 解： 2是特征方程 0442 的二重根 ,且 )12( x 是一次多项式 ,特解应设为 xeBAxx 22 )( . 三、计算题（每小题 5分，共 40 分） 1xxx xx c o ss in1lim20 . 解：xxx xxxxxxx x xx c o ss i n1 )c o ss i n1(limc o ss i n1lim2020 )c o ss i n1(limc o ss i n1lim020 xxxxxxxxx 得分 评卷人 xxx xxxx x xx c o ss i n2 2lim2c o ss i n1lim2 0002
22、0 34314s i nc o s3 1lim4 000 xxxx . 2.已知 2a r c t a n)(,25 23 xxfxxy ,求0xdxdy . 解：令 uxx 25 23 ,则 )(ufy , 22)25( 1625 23a r c t a n25 23)( xxxxxufdxdududydxdy, 所以 442161a r c t a n 20 xdxdy. 3.求不定积分 dxxx 231. 解： 222223 111 xdxdxxxxdxxx)1(11)(11 22222222 xdxxxxdxxx Cxxx 23222 )1(321 . 4.设 0,210),1ln (
23、)( xxxxxf ,求 20 )1( dxxf . 解：令 tx 1 ,则 1120 )()1( dttfdxxf 10011001 )1l n (2 1)()( dttdttdttfdttf 10100 1 1)1l n ()2l n ( dtttttt 10 )1 11(2ln2ln dtt 12ln3)1ln (2ln2 1010 tt . 5.设 ),s in( 22 yxyefz x ，其中 ),( vuf 可微，求yzxz ,. 解：令 vyxuye x 22,s in ,则 ),( vufz ,复合关系结构如图 05-1所示 , xvvzxuuzxz ),(2),(s in vufxvufye vux , yvvzyuuzyz ),(2),(c o s vufyvufye vux . 6求 Ddxdyyx22 ，其中 D 是由 2,1 xxyxy 及 所围成的闭区域 . z v u x x y y 图 05-1
