1、章末分层突破自我校对 asin A bsin B csin C已知两角和其中一边c 2a 2b 22abcos C已知三边S acsin B12利用正、余弦定理求解三角形的基本问题解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2) 已知两边及夹角( 一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边( 先用余弦定理求角)；(4) 已知两边和一
2、边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asin Acsin C asin Cbsin B.2(1)求角 B 的大小；(2)若 A75，b2，求 a，c.【精彩点拨】 (1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解(2)先求角 C，然后利用正弦定理求边 a，c.【规范解答】 (1)由正弦定理得 a2c 2 acb 2.2由余弦定理得 b2a 2c 22ac cos B，故 cos B ，因此 B45.22(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30si
3、n 45 .2 64故 ab 1 .sin Asin B 3由已知得，C180 457560，cb .sin Csin B 6再练一题1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，设 a，b，c 满足条件 b2c 2bc a 2 和 ，求 A 和 tan B 的值. cb 12 3【解】 由余弦定理 cos A ，因此 A60. 在ABC 中，b2 c2 a22bc 12C180 A B120 B.由已知条件，应用正弦定理 12 3 cb sin Csin B sin120 Bsin Bsin 120cos B cos 120sin Bsin B ，从而 tan B .32ta
4、n B 12 12正、余弦定理的综合应用正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ac，已知 2，cos B ，b 3.求：BA BC 13(1)a 和 c 的值；(2)cos(
5、BC)的值【精彩点拨】 (1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于 a，c的方程组即可求解(2)由(1)结合正弦定理分别求出 B，C 的正、余弦值，利用差角余弦公理求解【规范解答】 (1)由 2 得 cacos B2.BA BC 又 cos B ，所以 ac6.13由余弦定理，得 a2c 2 b22ac cos B.又 b3，所以 a2c 29 26 13.13解Error!得Error!或Error!因为 ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B ，1 cos2 B1 (13)2 223由正弦定理，得 sin C sin B .cb 23 223 429因为 abc ，所
6、以 C 为锐角，因此 cos C .1 sin2 C1 (429)2 79于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C .13 79 223 429 2327再练一题2如图 11，在ABC 中，B ，AB8，点 D 在 BC 边上，且3CD2 ，cosADC .17(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长图 11【解】 (1)在 ADC 中，因为 cosADC ，17所以 sinADC .437所以 sinBADsin(ADCB)sin ADC cos Bcos ADC sin B .437 12 17 32 3314(2)在ABD 中，由正弦定理得BD 3.ABsi
7、nBADsinADB83314437在ABC 中，由余弦定理得AC2AB 2BC 22AB BCcos B8 25 2285 49.12所以 AC7.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求图 12如图 12 所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路 a 经过三个景点A、B、C .景区管委会开发了风景优美的景点 D.经测量景点 D 位于景点
8、 A 的北偏东 30方向上 8 km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75方向上已知 AB5 km.(1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点 C 与景点 D 之间的距离(结果精确到 0.1 km)(参考数据： 1.73，sin 750.97，cos 750.26，tan 753.73，sin 3530.80，cos 530.60，tan 531.33，sin 380.62，cos 380.79，tan 380.78)【精彩点拨】 (1)以 BD 为边的三角形为ABD 和BCD，在ABD 中，一角和另外
9、两边易得，所以可在ABD 中利用余弦定理求解 DB.(2)以 CD 为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解【规范解答】 (1)设 BDx km，则在ABD 中，由余弦定理得528 2x 2 28xcos 30，即 x28 x390，解得 x4 3.因为3 34 38，应舍去，所以 x4 33.9，即这条公路的长约为 3.9 km.3 3(2)在ABD 中，由正弦定理得 ，所以ADsinABD ABsinADBsinABD sinCBD sinADB 0.8，所以 cosCBD0.6.在CBDADAB 45中，sin DCB sin(CBDBDC)sin(C
10、BD75)0.80.260.60.970.79，由正弦定理得 CDsinDBC 3.9.BDsinDCB故景点 C 与景点 D 之间的距离约为 3.9 km.再练一题3如图 13，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出入口设置在点A 及点 C 处，小区里有两条笔直的小路 AD，DC，且拐弯处的转角为 120.已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米)图 13【解】 法一：设该扇形的半径为 r 米，由题意，得 CD500 米，DA300 米， CDO60.
11、在CDO 中，CD 2OD 22CDODcos 60OC 2，即 5002(r300) 22500(r300) r 2，12解得 r 445(米)4 90011法二：连接 AC，作 OHAC，交 AC 于点 H，由题意，得 CD500 米，AD300 米，CDA 120.在ACD 中，AC 2CD 2AD 22CDADcos 120500 2300 22500300 700 2，12AC700(米) cosCAD .AC2 AD2 CD22ACAD 1114在 Rt HAO 中，AH350(米)，cos HAO ，1114OA 445(米)AHcosHAO 4 90011转化与化归思想转化与化
12、归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路在ABC 中，已知(abc )(abc)3ab，且 2cos Asin Bsin C，试确定 ABC 的形状【精彩点拨】 充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断【规范解答】 法一：由正弦定理，得 .sin Csin B cb又 2co
13、s Asin Bsin C，所以 cos A .sin C2sin B c2b由余弦定理，有 cos A ，b2 c2 a22bc所以 ，即 c2b 2c 2a 2，c2b b2 c2 a22bc所以 ab.又因为(abc )(abc)3ab，所以(a b) 2 c23ab，所以 4b2c 23b 2，所以 bc，所以 abc.因此ABC 为等边三角形法二：因为 ABC180，所以 sin C sin(AB)又因为 2cos Asin Bsin C，所以 2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以 sin(AB) 0.因为 A、B 均为三角形的内角，所以 AB.又由(
14、a bc)( abc)3ab，得(a b)2c 23ab，即 a2b 2c 2ab，所以 cos C .a2 b2 c22ab ab2ab 12因为 0C180，所以 C60，因此ABC 为等边三角形再练一题4已知ABC 中， c 2，且 acos Bbcos A，试判断ABC 的a3 b3 c3a b c形状. 【解】 由 c2，得 a3b 3c 3c 2(ab)a3 b3 c3a b cc 3，a 2 b2abc 2， cos C ，C 60.12由 acos Bbcos A，得 2Rsin Acos B2Rsin Bcos A(R 为ABC 外接圆的半径)，sin(AB )0，AB0，A
15、BC60，ABC 为等边三角形1钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB1，BC ，则 AC( )12 2A5 B. 5C2 D1【解析】 S ABBCsin B 1 sin B ，12 12 2 12sin B ，B 或 .22 4 34当 B 时，根据余弦定理有 AC2AB 2BC 22 ABBCcos 34B1 225，AC ，此时ABC 为钝角三角形，符合题意；5当 B 时，根据余弦定理有 AC2AB 2BC 22AB BCcos 4B1 221，AC1，此时 AB2AC 2BC 2，ABC 为直角三角形，不符合题意故 AC .5【答案】 B2ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a
16、，b，c，若 cos A ，cos C45，a1，则 b_.513【解析】 因为 A，C 为ABC 的内角，且 cos A ，cos C ，45 513所以 sin A ，sin C ，35 1213所以 sin Bsin(A C )sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 35 513 45 .1213 6365又 a1，所以由正弦定理得 b .asin Bsin A sin Bsin A 6365 53 2113【答案】 21133如图 14，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别是67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m (用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 67 0.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80， 1.73)3
