1、2006 年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人分数一、单项选择题（每小题 2 分，共计 60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 （ )12(xf 1,0)(xf）A. B. C. D. , 2,1解： .Bxx02.函数 是 （ ）)1ln(2y)(A奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解： .01ln)ln(l) 22 xf A3. 当 时， 是 的 （ 0xxsi）A. 高阶无穷小
2、 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 解： .1inlim20xx C4.极限 （ ns3）A. B. 2 C. 3 D. 5解： .Bnnnn 2silis2li5.设函数 ，在 处连续，则 常数 （ 0,1)(2xaefax0xa）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解： .Baaexef xxax 1limli)(lim0206. 设函数 在点 处可导 ，则 （ xffx )()(li0）得分评卷人A. B. C. D. -)1(f )1(2f)1(3f )1(f解： xxffxxx )(2limlim00 Cffff )(2)(7. 若曲线 上点 处的切线与直
3、线 平行，则点 的坐标1yM14yM（ ）A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2） 解： .Ayxx 5,4008.设 ，则 20cosintydut（ ）A. B. C.- D. tt2tt2解： .Dtdx2sin9.设 ，为正整数),则 （ (l)2(yn )(ny）A. B. C. D. 0l)(x11!2)(nx解： .Byyxynn l)()()2(10.曲线 （ ）232A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线 B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线， D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解： .Ayyxxy
4、xxx 212 lim,4li,lim)2(13311.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）A. B. ,0|y ,0)1(32xyC. D 2132xarcsin解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等 .C12. 函数 在区间 内 （ ey),(）A. 单调递增且图像是凹的曲线 B. 单调递增且图像是凸的曲线 C. 单调递减且图像是凹的曲线 D. 单调递减且图像是凸的曲线 解： .Ceyeyxx0,13.若 ，则 （ ）CxFdf)()(dxefx)(A. B. ex CeFx)(C. D. x解： . Deff xxx )()(14. 设 为可导函数，且 ，则
5、（ 12)(f）A. B. Cex12 Cex)1(2C. D. x x)(解： .Befexfef xxx )1(2)1(2()12(15. 导数 （ ）batdrcsinA. B. 0 C. D. xri abrcsinari21x解： 是常数，所以 .badcsn Bxda016.下列广义积分收敛的是 （ ）A. B. C. D. 1xe1x1241cosxd解： .Cd )arctn(2arctn412 17.设区域 D 由 所围成，则区域 D 的面(,)(, xgyfbx积为 （ ）A. B. badxgf)( badxgf)(C. D. f |解：由定积分的几何意义可得 D 的面积
6、为 .baf|)(| D18. 若直线 与平面 平行，则常数321znyx 0134zyxn（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解： .Bn309,4,19.设 ，则偏导数 为 （ yxyxfarcsin)1()()1,(xf）A.2 B.1 C.-1 D.-2解： .Bxfxf 1),()1,(20. 设方程 确定了函数 ，则 = （ 02yze ),(yxfzxz）A. B. C. D. )1(zx)12(zx)12(z)12(zy解： 令 xeFyyeyFzxz ,.Azz)12(2221.设函数 ，则 （ xyz21yxd）A. B. C. D. d2dyxdyx2解： 2xy
7、z.Adyx 122.函数 在定义域上内 （ ）032zA.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解： ,6)0,(,6,62 2 xzyxyxzxy是极大值 .,2z A23 设 D 为圆周由 围成的闭区域 ，则 （ 0122yx Ddy）A. B. 2 C.4 D. 16解：有二重积分的几何意义知： 区域 D 的面积为 .Ddxy24.交换二次积分 ，常数）的积分次序后可化为 （ axafd00(),）A. B. ayf0),(aydxf0),(C. D. dxa解： 积分区域 ,0|),(,0|),( axyyD .B25.若二重积
8、分 ，则积分区域20sin)sin,co(),(rdrfdxfDD 为（ ）A. B. xy22 22yxC. D. 0解：在极坐标下积分区域可表示为： ，sin0,|),( rrD在直角坐标系下边界方程为 ，积分区域为右半圆域yx22D26.设 为直线 上从点 到 的直线段 ,则 L1y)0,(A)1,(BLdyx)(（ ）A. 2 B.1 C. -1 D. -2解： ： 从 1 变到 0， .L,xy 012)( DdxydxL27.下列级数中，绝对收敛的是 （ ）A B 1sin1sin)(nC D2)(n co解： 收敛 .2si12sinC28. 设幂级数 为常数 ） ，在点 处收敛
9、，则nnax(0 ,2102x0)1(nna（ ）A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解： 在 收敛，则在 绝对收敛，即级数 绝对0nxa21x0)1(nna收敛 .A29. 微分方程 的通解为 （ 0sincosiydyd）A. B. Cxcosin CxC. D. cs解： dxyydxydinoi0sini .Cyxslsnllisin得分评卷人30.微分方程 的特解用特定系数法可设为 （ xey2）A. B. xbay)( xebaxy)(2C. D. 解：-1 不是微分方程的特征根， 为一次多项式，可设 xebay)(.C二、填空题（每小题 2 分，共 30
10、 分）31.设函数 则 _.,1|,0)(xf )(sinxf解： .)sin1|sin|x32. =_.x23lm2解： )31(lim)31)(2lii 2xxxxx.123433.设函数 ，则 _.yarctndy解： .xd234.设函数 在 处取得极小值-2，则常数 分bf23)( 1x ba和别为_.解： .baaaxx 2,02 5,435.曲线 的拐点为 _.3y解： .)1,(,662 yxy36.设函数 均可微，且同为某函数的原函数，有)(,xgf则 _.1)(,3gf解： . 2)1(gfC2)(xgf37. _.dxx)sin32解： .30sin( 0232 dx38
11、.设函数 ，则 _.0,)2xef 20)1(f解： . 20101232)( edxxdtfdxft39. 向量 的夹角为_.,ba与 向 量解： . 3,2163|,cos baba40.曲线 绕 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _. 02zxyL：解：把 中的 换成 ，即得所求曲面方程 xyz22.22yz41.设函数 ，则 _.xysin2x解： .xz yyzcos2142.设区域 ，则 .,0|),(D_)(2Ddxy解： .xdxdy 1021022 3)(43. 函数 在 处展开的幂级数是 . 2)xef _解： .0!nx 0022 ),(,!)1(!)()(2nnnx x
12、f44.幂级数 的和函数为 _.1)(n解： , 0101 )21ln()()2(2)(nnnn xxxx.2(45.通解为 （ 为任意常数）的二阶线性常系数齐xxeCy32121、次微分方程为_.解： xxe 03, .0三、计算题（每小题 5 分，共 40 分）46计算 .xex2sin1lim30解： 2030420320 16liml8lisin1lm22 xexxe xxx .16li16l 2200 xx e47.求函数 的导数 .y2sin2)3(dy解：取对数得 ： ，)3l(l2x得分评卷人两边对 求导得：x xxxy 2sin3)ln(2cos12所以 3)3(2sin2y
13、x.xxxsi)()()l(c12sin22i 48.求不定积分 .dx24解： dttdtxtt )2cos1(sin4cosin2sin22.CxCtxCtt 4ariiarisi49.计算定积分 .102)(lnd解： 10 10102 )(22)ln(l)(l dxxxx. 10 02ln31llnl3l)(3lnd50.设 ，其中 皆可微，求 .,)2xygxfz),(vugtf yzx,解： x)( ),(,yxyxf vu.gyyz)2)( ),()2(xygfv51计算二重积分 ，DdI其中 由 所围成.D12,xy及解：积分区域如图 06-1 所示，可表示为： .,0所以 1
14、022xDydydxI.1033)(5104102 xx52求幂级数 的收敛区间（不考虑区间端点的情况） .nnnx0)(31解： 令 ，级数化为 ，这是不缺项的标准的幂级数.txnnt0)3(1xy yo 12 x2图 06-1因为 ，31)(lim1)3(1limli1 nnnnna故级数 的收敛半径 ，即级数收敛区间为（-3，3）.nnt0)3(1R对级数 有 ，即 .nx113x42x故所求级数的收敛区间为 .），（ 4253求微分方程 通解.0)(2dydy解：微分方程 可化为 ，这是一阶线1xx 21xy性微分方程，它对应的齐次线性微分方程 通解为 .2 C设非齐次线性微分方程的通
15、解为 ，则 ，代入方2)(xCy3)(xy程得.xCx 2)(1)(故所求方程的通解为 .21y四、应用题（每小题 7 分，共计 14 分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为千件；甲厂月生产成本是 （千元） ，乙厂月生产成本是yx, 521xC（千元）.若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，322C求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本 ，2221 yx约束条件为 .8yx问题转化为在 条件下求总成本 的最小值 .8yxC把 代入目标函数得 的整数）.0(2则 ，令 得唯一驻点为 ，此时有 .204C 54C故 是唯一极值点且为极小值，即最
16、小值点.此时有 .5 38,y所以 甲、乙两厂最优产量分别为 5 千件和 3 千件，最低成本为 38 千元.55.由曲线 和 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕 轴)2(1xy y旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图 06-2 所示,此立体可看作 X 型区域绕 轴旋转一周而得y到。利用体积公式 .baydxfV|)(|2得分评卷人显然，抛物线与 两交点分别为（1，0） 、 （2，0）,平面图形在 轴的下方.x x故 baydfV|)(|212x23)(x.241五、证明题（6 分）56.设 在 （ ，为常数）上连续， 证明： )(xf,a0.adxfxdf )()(并计算 .41cosdxe证明：因为 ，aaadxfxff00)()()(而 ， 000 )()(a atxa fttddf故 a dxxfxff0 )()(即有 .aaxf 利用上述公式有 dxexdexde xxx 40404 1cos1)cos(1cos.2sin4040得分评卷人xyO )2(11 2图 06-2
