1、高考高中教育高中数学数列专题大题组卷一选择题（共 9 小题）1等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）A130 B170 C210 D2602已知各项均为正数的等比数列a n，a 1a2a3=5，a 7a8a9=10，则 a4a5a6=（ ）A B7 C6 D3数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，a n+1=3Sn（n1） ，则 a6=（ ）A3 44 B34 4+1 C4 4 D4 4+14已知数列a n满足 3an+1+an=0，a 2= ，则a n的前 10 项和等于（ ）A 6（ 1310） B C3（1 310） D3（
2、1+3 10）5等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a 5=9，则 a1=（ ）A B C D6已知等差数列a n满足 a2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（ ）A138 B135 C95 D237设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sm1=2，S m=0，S m+1=3，则 m=（ ）A3 B4 C5 D68等差数列a n的公差为 2，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，则a n的前 n 项和Sn=（ ）An （n+1 ） Bn（n1） C D9设a n是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a2 0，则 a2+
3、a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a 1 a2，则 a2 D若 a10，则（a 2a1） （a 2a3）0高考高中教育二解答题（共 14 小题）10设数列a n（n=1，2，3，）的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2ana1，且a1， a2+1，a 3 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）记数列 的前 n 项和为 Tn，求使得|T n1| 成立的 n 的最小值11设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知 b1=a1，b 2=2，q=d，S 10=100（1）求数列a n，b n的通项公式（2）当 d1 时，记 cn= ，求数列
4、c n的前 n 项和 Tn12已知数列a n满足 a1=1，a n+1=3an+1（）证明a n+ 是等比数列，并求a n的通项公式；（）证明： + + 13已知等差数列a n的公差不为零， a1=25，且 a1，a 11，a 13 成等比数列（）求a n的通项公式；（）求 a1+a4+a7+a3n214等差数列a n中，a 7=4，a 19=2a9，（）求a n的通项公式； （）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn15已知等比数列a n中， a1= ，公比 q= （）S n 为 an的前 n 项和，证明： Sn=（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列b n的
5、通项公式16已知数列a n满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN *，a 1=1，a 2=2，且a2+a3， a3+a4， a4+a5 成等差数列（1）求 q 的值和a n的通项公式；高考高中教育（2）设 bn= ，nN *，求数列b n的前 n 项和17已知数列a n是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=（a n+1）2 ，求数列b n的前 n 项和 Tn18已知数列a n和b n满足 a1=2，b 1=1，a n+1=2an（nN *） ，b1+ b2+ b3+ bn=bn+11（n N*）（）求 an 与 bn；（）记
6、数列a nbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn19已知数列a n是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a 2a3=8（1）求数列a n的通项公式；（2）设 Sn 为数列 an的前 n 项和，b n= ，求数列b n的前 n 项和 Tn20设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求a n的通项公式；（）若数列b n，满足 anbn=log3an，求b n的前 n 项和 Tn21设数列a n的前 n 项和为 Sn已知 a1=a，a n+1=Sn+3n，n N*由（）设 bn=Sn3n，求数列b n的通项公式；（）若 an+1a n，nN *，求 a 的取值范围22已知等差数列
7、a n的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S 2，S 4 成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）令 bn=（1） n1 ，求数列b n的前 n 项和 Tn23数列a n满足 a1=1， nan+1=（n +1）a n+n（n+1 ） ，nN *（）证明：数列 是等差数列；（）设 bn=3n ，求数列b n的前 n 项和 Sn高考高中教育高中数学数列专题大题组卷参考答案与试题解析一选择题（共 9 小题）1 （1996全国）等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（ ）A130 B170 C210 D260【分析】利用等差数列的前 n 项和
8、公式，结合已知条件列出关于 a1，d 的方程组，用 m 表示出 a1、d，进而求出 s3m；或利用等差数列的性质，sm，s 2msm，s 3ms2m 成等差数列进行求解【解答】解：解法 1：设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由题意得方程组 ，解得 d= ，a 1= ，s 3m=3ma1+ d=3m + =210故选 C解法 2：设a n为等差数列，s m，s 2msm，s 3ms2m 成等差数列，即 30，70 ，s 3m100 成等差数列，30+s 3m100=702，解得 s3m=210故选 C【点评】解法 1 为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法 2 使用了等差数列的一个重要
9、性质，即等差数列的前 n 项和为 sn，则 sn，s 2nsn，s 3ns2n，成等差高考高中教育数列2 （2010大纲版）已知各项均为正数的等比数列a n，a1a2a3=5，a 7a8a9=10，则 a4a5a6=（ ）A B7 C6 D【分析】由数列a n是等比数列，则有 a1a2a3=5a23=5；a 7a8a9=10a83=10【解答】解：a 1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8， ， ，故选 A【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想3 （2011四川）数列a n的前 n 项和为
10、 Sn，若 a1=1，a n+1=3Sn（n 1） ，则a6=（ ）A3 44 B34 4+1 C4 4 D4 4+1【分析】根据已知的 an+1=3Sn，当 n 大于等于 2 时得到 an=3Sn1，两者相减，根据 SnSn1=an，得到数列的第 n+1 项等于第 n 项的 4 倍（n 大于等于 2） ，所以得到此数列除去第 1 项，从第 2 项开始，为首项是第 2 项，公比为 4 的等比数列，由 a1=1，a n+1=3Sn，令 n=1，即可求出第 2 项的值，写出 2 项以后各项的通项公式，把 n=6 代入通项公式即可求出第 6 项的值【解答】解：由 an+1=3Sn，得到 an=3Sn
11、1（n2） ，两式相减得：a n+1an=3（S nSn1）=3a n，则 an+1=4an（n2） ，又 a1=1，a 2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是 3，公比为 4 的等比数列，所以 an=a2qn2=34n2（n2）高考高中教育则 a6=344故选 A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题4 （2013大纲版）已知数列a n满足 3an+1+an=0，a 2= ，则a n的前 10 项和等于（ ）A 6（ 1310） B C3（1 310） D3（1+3 10）【分析】由已知可知，数列a n是以 为公比的
12、等比数列，结合已知 可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3a n+1+an=0数列a n是以 为公比的等比数列a 1=4由等比数列的求和公式可得，S 10= =3（13 10）故选 C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5 （2013新课标）等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a 5=9，则 a1=（ ）A B C D【分析】设等比数列a n的公比为 q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到高考高中教育，解出即可【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，S 3=a2+10a1，a 5=9， ，解得 故选 C【
13、点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键6 （2008全国卷）已知等差数列a n满足 a2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前 10项的和 S10=（ ）A138 B135 C95 D23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前 n 项和，根据a2+a4=4，a 3+a5=10 我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差） ，进而代入前 n 项和公式，即可求解【解答】解：（a 3+a5）（a 2+a4）=2d=6，d=3，a 1=4，S 10=10a1+ =95故选 C【点评】在求一个数列的通项公式或前 n 项和时，如果可以证明这个数列为等差
14、数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式7 （2013新课标）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若Sm1=2，S m=0，S m+1=3，则 m=（ ）高考高中教育A3 B4 C5 D6【分析】由 an 与 Sn 的关系可求得 am+1 与 am，进而得到公差 d，由前 n 项和公式及 Sm=0 可求得 a1，再由通项公式及 am=2 可得 m 值【解答】解：a m=SmSm1=2，a m+1=Sm+1Sm=3，所以公差 d=am+1a
15、m=1，Sm= =0，得 a1=2，所以 am=2+（m1）1=2，解得 m=5，故选 C【点评】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及通项 an 与 Sn 的关系，考查学生的计算能力8 （2014新课标）等差数列a n的公差为 2，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，则an的前 n 项和 Sn=（ ）An （n+1 ） Bn（n1） C D【分析】由题意可得 a42=（a 44） （a 4+8） ，解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得【解答】解：由题意可得 a42=a2a8，即 a42=（a 44） （a 4+8） ，解得 a4=8，a 1=a432=2，S n=na1+ d，
16、=2n+ 2=n（n+1） ，故选：A【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题9 （2015北京）设a n是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a2 0，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20高考高中教育C若 0a 1 a2，则 a2 D若 a10，则（a 2a1） （a 2a3）0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a1+a30，则 a1+a2=2a1+d0，a 2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 B不正确；an是等差
17、数列， 0a 1a 2，2a 2=a1+a32 ，a 2 ，即 C 正确；若 a10 ，则（ a2a1） （a 2a3）=d 20，即 D 不正确故选：C【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础二解答题（共 14 小题）10 （2015四川）设数列a n（n=1，2，3， ）的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2ana1，且 a1，a 2+1，a 3 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）记数列 的前 n 项和为 Tn，求使得|T n1| 成立的 n 的最小值【分析】 （）由已知数列递推式得到 an=2an1（n2） ，再由已知 a1，a 2+1，a 3成等差数列求出数列
18、首项，可得数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则其通项公式可求；（）由（）求出数列 的通项公式，再由等比数列的前 n 项和求得 Tn，结合 求解指数不等式得 n 的最小值【解答】解：（）由已知 Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1 （n2） ，即 an=2an1（n2） ，从而 a2=2a1，a 3=2a2=4a1，又a 1，a 2+1，a 3 成等差数列，高考高中教育a 1+4a1=2（2a 1+1） ，解得： a1=2数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列故 ；（）由（）得： ， 由 ，得 ，即 2n10002 9=51210001024=2 10，n1
19、0于是，使|T n1| 成立的 n 的最小值为 10【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11 （2015湖北）设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列b n的公比为 q，已知 b1=a1，b 2=2，q=d，S 10=100（1）求数列a n，b n的通项公式（2）当 d1 时，记 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当 d1 时，由（1）知 cn= ，写出 Tn、 Tn 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求
20、和公式，计算即可【解答】解：（1）设 a1=a，由题意可得 ，解得 ，或 ，当 时，a n=2n1，b n=2n1；高考高中教育当 时， an= （2n+79） ，b n=9 ；（2）当 d1 时，由（1）知 an=2n1，b n=2n1，c n= = ，T n=1+3 +5 +7 +9 +（2n 1） ， Tn=1 +3 +5 +7 +（2n 3） +（2n1） ， Tn=2+ + + + + （2n1） =3 ，T n=6 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题12 （2014新课标）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=3a
21、n+1（）证明a n+ 是等比数列，并求a n的通项公式；（）证明： + + 【分析】 （）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为 0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出a n的通项公式；（）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式【解答】证明（） = =3， 0，数列a n+ 是以首项为 ，公比为 3 的等比数列；高考高中教育a n+ = = ，即 ；（）由（）知 ，当 n2 时，3 n13 n3n1， = ，当 n=1 时， 成立，当 n2 时， + + 1+ + = = 对 nN+时， + + 【点评】本题考查的是
22、等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题13 （2013新课标）已知等差数列a n的公差不为零， a1=25，且 a1，a 11，a 13成等比数列（）求a n的通项公式；（）求 a1+a4+a7+a3n2【分析】 （I）设等差数列a n的公差为 d0 ，利用成等比数列的定义可得，再利用等差数列的通项公式可得 ，化为d（2a 1+25d）=0 ，解出 d 即可得到通项公式 an；（II）由（I）可得 a3n2=2（3n 2
23、）+27= 6n+31，可知此数列是以 25 为首项，6为公差的等差数列利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1+a4+a7+a3n2【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d0，由题意 a1，a 11，a 13 成等比数列， ，高考高中教育 ，化为 d（2a 1+25d）=0，d0，225+25d=0，解得 d=2a n=25+（n 1）（2） =2n+27（II）由（I）可得 a3n2=2（3n 2）+27= 6n+31，可知此数列是以 25 为首项，6为公差的等差数列S n=a1+a4+a7+a3n2=3n2+28n【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式
24、是解题的关键14 （2013大纲版）等差数列a n中，a 7=4，a 19=2a9，（）求a n的通项公式； （）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （I）由 a7=4，a 19=2a9，结合等差数列的通项公式可求 a1，d，进而可求an（II）由 = = ，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 da 7=4，a 19=2a9，解得，a 1=1，d= =（II） = =s n=高考高中教育= =【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易15 （2011新课标）已知等比数列a n中，a 1= ，公比 q= （）S n
25、为 an的前 n 项和，证明： Sn=（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列b n的通项公式【分析】 （I）根据数列 an是等比数列，a 1= ，公比 q= ，求出通项公式 an 和前 n 项和 Sn，然后经过运算即可证明（II）根据数列a n的通项公式和对数函数运算性质求出数列b n的通项公式【解答】证明：（I）数列 an为等比数列，a 1= ，q=a n= = ，Sn=又 = =SnS n=（II）a n=b n=log3a1+log3a2+log3an=log33+（ 2log33）+ +（nlog 33）=（1 +2+n）=数列b n的通项公式为：b n=【点评
26、】本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性高考高中教育质16 （2015天津）已知数列a n满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a 1=1，a 2=2，且 a2+a3，a 3+a4，a 4+a5 成等差数列（1）求 q 的值和a n的通项公式；（2）设 bn= ，nN *，求数列b n的前 n 项和【分析】 （1）通过 an+2=qan、a 1、a 2，可得 a3、a 5、 a4，利用a2+a3， a3+a4， a4+a5 成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知 bn= ，n N*，写出数列b n的前 n 项和 Tn、2T n 的表达式，利用错位
27、相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）a n+2=qan（q 为实数，且 q1） ，n N*，a 1=1，a 2=2，a 3=q，a 5=q2，a 4=2q，又a 2+a3，a 3+a4，a 4+a5 成等差数列，23q=2+3q+q 2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍） ，a n= ；（2）由（1）知 bn= = = ，n N*，记数列b n的前 n 项和为 Tn，则 Tn=1+2 +3 +4 +（n 1） +n ，2T n=2+2+3 +4 +5 +（n 1） +n ，两式相减，得 Tn=3+ + + + n高考高中教育=3+ n=3+1 n=4 【点评
28、】本题考查求数列的通项与前 n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题17 （2015山东）已知数列a n是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 （1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=（a n+1）2 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （1）通过对 cn= 分离分母，并项相加并利用数列 的前 n 项和为 即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过 bn=n4n，写出 Tn、4T n 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论【解答】解：（1）设等差数列a n的首项为 a1、公差为 d，则 a10，a n=a1+（
29、n 1）d，a n+1=a1+nd，令 cn= ，则 cn= = ，c 1+c2+cn1+cn= + + = =高考高中教育= ，又数列 的前 n 项和为 ， ，a 1=1 或1（舍） ，d=2，a n=1+2（n 1）=2n 1；（2）由（1）知 bn=（a n+1）2 =（2n 1+1）2 2n1=n4n，T n=b1+b2+bn=141+242+n4n，4T n=142+243+（n 1）4 n+n4n+1，两式相减，得3T n=41+42+4nn4n+1= 4n+1 ，T n= 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18 （2
30、015浙江）已知数列a n和b n满足 a1=2， b1=1，a n+1=2an（nN *） ，b 1+b2+ b3+ bn=bn+11（ nN*）（）求 an 与 bn；（）记数列a nbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】 （）直接由 a1=2，a n+1=2an，可得数列a n为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列a n的通项公式；再由 b1=1，b 1+ b2+ b3+ bn=bn+11，取 n=1 求得 b2=2，当 n2 时，得另一递推式，作差得到 ，整理得数列 为常数列，由此可得b n的通项公式；（）求出 ，然后利用错位相减法求数列 anbn的前 n 项和为 Tn高考高中
31、教育【解答】解：（）由 a1=2，a n+1=2an，得 由题意知，当 n=1 时，b 1=b21，故 b2=2，当 n2 时，b 1+ b2+ b3+ =bn1，和原递推式作差得，整理得： ， ；（）由（）知， ，因此，两式作差得： ，（nN *） 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题19 （2015安徽）已知数列a n是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a 2a3=8（1）求数列a n的通项公式；（2）设 Sn 为数列 an的前 n 项和，b n= ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （1
32、）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列a n的通项公式；（2）求出 bn= ，利用裂项法即可求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）数列a n是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a 2a3=8a 1+a4=9，a 1a4=a2a3=8解得 a1=1，a 4=8 或 a1=8，a 4=1（舍） ，解得 q=2，即数列a n的通项公式 an=2n1；高考高中教育（2）S n= =2n1，b n= = = ，数列b n的前 n 项和Tn= + = =1 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键20 （2015山东）设数列a n的前 n
33、项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求a n的通项公式；（）若数列b n，满足 anbn=log3an，求b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用 2Sn=3n+3，可求得 a1=3；当 n1 时，2S n1=3n1+3，两式相减 2an=2Sn2Sn1，可求得 an=3n1，从而可得a n的通项公式；（）依题意，a nbn=log3an，可得 b1= ，当 n1 时，b n=31nlog33n1=（n1）31n，于是可求得 T1=b1= ；当 n1 时，Tn=b1+b2+bn= +（13 1+232+（n 1）3 1n） ，利用错位相减法可求得bn的前 n 项和 Tn【解答】解：（）
34、因为 2Sn=3n+3，所以 2a1=31+3=6，故 a1=3，当 n1 时，2S n1=3n1+3，此时，2a n=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即 an=3n1，所以 an= （）因为 anbn=log3an，所以 b1= ，当 n1 时，b n=31nlog33n1=（n 1）3 1n，高考高中教育所以 T1=b1= ；当 n1 时，T n=b1+b2+bn= +（13 1+232+（n1）3 1n） ，所以 3Tn=1+（13 0+231+332+（n 1）3 2n） ，两式相减得：2T n= +（3 0+31+32+32n（n 1）3 1n）= + （n1）31n= ，所以
35、 Tn= ，经检验，n=1 时也适合，综上可得 Tn= 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题21 （2008全国卷）设数列a n的前 n 项和为 Sn已知a1=a，a n+1=Sn+3n，nN *由（）设 bn=Sn3n，求数列b n的通项公式；（）若 an+1a n，nN *，求 a 的取值范围【分析】 （）依题意得 Sn+1=2Sn+3n，由此可知 Sn+13n+1=2（S n3n） 所以bn=Sn3n=（a 3）2 n1，nN *（）由题设条件知 Sn=3n+（a3）2 n1，nN *，于是， an=SnSn1
36、=，由此可以求得 a 的取值范围是9，+） 【解答】解：（）依题意，S n+1Sn=an+1=Sn+3n，即 Sn+1=2Sn+3n，由此得 Sn+13n+1=2Sn+3n3n+1=2（S n3n） （4 分）因此，所求通项公式为 bn=Sn3n=（a3）2 n1，nN *（6 分）（）由知 Sn=3n+（a3）2 n1，nN *，于是，当 n2 时，高考高中教育an=SnSn1=3n+（a3）2 n13n1（a3）2 n2=23n1+（a3）2 n2，an+1an=43n1+（a3）2 n2= ，当 n2 时， a9 又 a2=a1+3a 1综上，所求的 a 的取值范围是9，+） （12 分
37、）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件22 （2014山东）已知等差数列a n的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S 2，S 4成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）令 bn=（1） n1 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出；（）由（）可得 bn= 对 n 分类讨论“裂项求和”即可得出【解答】解：（）等差数列a n的公差为 2，前 n 项和为 Sn，S n= =n2n+na1，S 1，S 2，S 4 成等比数列， ， ，化为 ，解得 a1=1a n=a1+（n 1）d=
38、1 +2（n 1）=2n1（）由（）可得 bn=（1） n1 = =T n= + + 高考高中教育当 n 为偶数时，T n= + + =1 = 当 n 为奇数时，T n= + + +=1+ = Tn= 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、 “裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题23 （2014安徽）数列a n满足 a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1） ，nN *（）证明：数列 是等差数列；（）设 bn=3n ，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （）将 nan+1=（n +1）a n+n（n+1）的两边同除以 n（n +1）得，由等差数列的定义得证（）由（）求出 bn=3n =n3n，利用错位相减求出数列b n的前 n 项和Sn【解答】证明（）na n+1=（n +1）a n+n（n+1） ， ， ，数列 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列；（）由（）知， ， ，bn=3n =n3n，高考高中教育 3n1+n3n3n+n3n+1得 3nn3n+1=【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法求和的关键是求出通项选方法
