1、1第一章 电磁场基本概念11 Maxwell 方程组（一）maxwell 方程微分形式 积分形式全电流定律 （1-tJDStdsJdlHLD1） 电磁感应定律 tBEStlELB（1-2）高斯定律 （1-DVSdvsD3）磁通连续性原理 (1-4)0B0SdsB电流连续性方程 （1-tJVdvtJ5）说明：1、四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；积分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系） 、复数形式（可作为稳态场计算） ；梯度、散度、旋度的概念（描述“点”上电磁场的性质） 。2、方程（1-1） 、 （1-2 ） 、 （1-5）是一组独立方程，其它两个方程可以由此推出。但独立方程有
2、 6 个变量（ ） ，因此，方程数少于未知、JDEHB量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式，对于简单媒质，本构方程为(1-6)DJ3、材料性质材料是均匀的 ， ，constcstconst材料是非均匀： ， ，zyx,zyx,zyx,2材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ， ， 材料为非线性：材料参数是未知函数的函数 ， ，EBE（1-7）dJdHBdED 4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转化为标量方程才能求解，另外，在边界上不易写出场量边界条件，因此，常化为位函数的定解问题（位函数容易确定边界条件） ，通过位函数与场量的关系（1-8） tmAEABE 得到场量。12
3、 偏微分方程的基本概念1.2.1 偏微分方程的基本概念微分方程分为常微分方程和偏微分方程（又分为描述不同物理现象的椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程及其线性和非线性方程） ，电磁场问题多为偏微分方程问题。1、常微分方程未知函数是一元函数（即一个变量的函数）的微分方程（组） 。如R、L、C 串联电路是两阶常系数非齐次微分方程，（1-9）sccudtRCtuL2对于一个 n 阶场微分方程，通常可将其分解为有 n 个任意常数的通解形式，根据初始条件解出常数。2、偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程，如 。又分为线性和非线性tyxu,偏微分方程，除了极有限的问题可以用分离变量法求解外，多数问题难以用
4、解析表达式表示。（1） 线性偏微分方程设 ， （如： ，y,xuyuxp,yxEyx , ,3如： ） ，则xyBAxyAu , ,（1-10）0222 fyucbuasrexdpyxf,中，如果 a,b,c,d,e,r,s 与 p 无关，只是 x,y 的函数，则称式 (1-10)为线性微分方程。（2） 非线性微分方程a,b,c, d,e,r,s,f 中只要有一项不满足上述条件，或未知函数及其偏导数是非线性的微分方程，则都称为非线性微分方程。如恒定磁场中的定解问题 AJzAyx11如：在电磁场中，若 ，或媒质不均匀时 ，均为线性方程。cyx,若 ，或 ，则为非线性方程。B1.2.2 偏微分方程
5、的分类宏观电磁场都是二阶微分方程，下面以二阶电磁场偏微分方程为例，看偏微分方程的不同类型所反映的物理现象。以二元函数为例， ，y 可以是时间变量 t，那么偏微分方程的普xu,遍形式为0222fycxbuasruyexdpyxf ,最高阶项称为主部，主部决定着公式所代表的物理特性：椭圆型方程，如 ， ，02bac 22yx1ca0b双曲型方程，如 ， ，2 0224抛物型方程，如 ， ，02bac 02tx1a0cb1、椭圆型方程如泊松方程、拉普拉斯方程 22zyx（ 与椭圆方程 形象对比）122czbyax特点：所有二阶偏导数的系数同符号，描述的物理现象：描述平衡、定常的稳定状态，因此方程与时
6、间无关，定解条件中只有边界条件，没有初始条件。如重力场、静电场、恒定电场、恒定磁场、稳定温度分布过程。2、双曲型方程如波动方程 无损耗，无激励源0222tuzyx（ 与双曲型方程 形象对比）122cba特点：对时间的偏导数系数与对空间偏导数的系数相差一负号。描述波的传播过程，它具有对时间可逆的性质（用（-t）代入方程后，方程不变）如：弦振动、膜振动、声波、电磁波。3、抛物型方程如，热传导方程 tzyxfzuyxatu,22扩散率或导温系数a涡流方程 ， ， tH2 tE2 tJ2（ 与双曲型方程 形象对比）2byaxz特点：对时间变量的二阶导数为零。描述各种场的扩散过程，它具有对时间不可逆的性
7、质。51.2.3 定解问题1、初值问题只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁波传播问题等。2、边值问题只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。3、混合问题既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电磁场问题等。4、解的稳定性问题如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定的。反之称为不稳定解。（第 1 次课）13 电磁场中的定解问题定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件）下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。1.3.1 静态、稳态电磁场中的泛
8、定方程1、静电场方程静电场的基本方程 0E ,D泊松方程 三维方程 zyx若 是均匀、各向同性介质，上式为椭圆型方程2静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。2、稳态电流场问题稳态（直流）电流场满足的基本方程： 6 0E0J , 说明在导电媒质中，电流不会自成闭合回路（从电源正极出发到电源负极终止） ，电位满足拉普拉斯方程 椭圆型方程0若 是均匀、线性、各向同性介质，上式为 02产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。3、稳态磁场稳态（直流）电流产生的磁场满足的基本方程 HB , ,JH0（1） 标量磁位的泊松方程当求解区域内 ，那么 ，必定存在一个标量函数，使得0m根据 ，上式为拉普拉斯方程
9、HB ,椭圆型方程0m上述方程只能用于 的单连通域（见雷银照教材） ，因此应用的局限性J较小。当磁场区域内存在铁磁质时，展开后为非线性方程为： 0zyxmmm若为线性，则为拉普拉斯方程： 02m若已知磁化强度 M，那么 MHBm00代入 ，得到0m2此时，媒质的磁导率为 。0（2） 矢量磁位的泊松方程7根据 ，有双旋度方程AB0JH , , J1取库伦规范 ，及矢量恒等式 ，得0AA矢量泊松方程 JA1J11zyx若为线性、均匀媒质 JA2若存在铁磁质，可将其作用等效为磁化电流的作用，它与磁化强度的关系为 mJM磁矢位 A 的方程可以写为真空中的泊松方程 A021.3.2 交变电磁场中的泛定方
10、程时变场中 ， （下面分段没有绝对的分界线）0t缓慢变化 ( f 10 KHz ) 快速变化准静态场 准静态场 电磁波MQS： 00DtBEBJH, , ,EQS： tD , , , 0DtBEJH , MQS 场求解时，磁场可以用稳态磁场的方法求解，然后用上述公式求电场；EQS 场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。1、扩散方程（抛物型方程）忽略位移电流，MQS 场的方程为 00DtBEBJH , , ,8由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度）非线性介质 ， JtA10t线性介质 ， t2 2t若为正弦交变场，扩散方程为， JAj2 02j涡流损耗是引起导体发热的主要
11、原因。2、波动方程（双曲型方程）一般不考虑非线性问题，因为如果在铁磁材料中传播电磁波，高频下的涡流损耗及磁滞损耗很大，电磁波很快衰减，能量不可能传递很远。因此，场量的波动方程 022 tHt22tEtE取洛伦兹规范 ，则位函数满足的波动方程tAJtAt22 22tt1.3.3 定解条件1、初始条件（柯西问题）在瞬态电磁场中，初始条件是整个系统初始状态的表达式扩散方程初始条件：010tzyxftzyxu,波动方程初始条件：010tzyxftzyxu,020tzyxftzyxut ,9如：初始的速度、电流、电压等。2、边界条件（1）第一类边界条件（Dirichlet 狄利赫里条件） 强加边界条件t
12、,zyxgt,zyxu1例 1 铁磁体的磁场和电容器的电场（二维）图 1-1 第一类边界条件 （a）磁场问题；（b）静电问题在距离磁体足够远的地方，设磁力线平行于边界，因此可以假设 。在0A距离电容器足够远的地方，设等位线平行于边界，可以假设 。关键问题是第一类边界条件取得多远，才能保证计算精度。例 2 电机的磁场图 1-2（ a） 、 （b）：需要考虑定子外的漏磁，因此，第一类边界条件取在大于定子外径 20%之处，磁力线于边界平行，可以设 A=0。图 1-2（ c） 、 （d）：如果定子深度饱和，漏磁很小，可以忽略，可将第一类边界条件取在定子外径，减少计算量。图 1-2（ e） 、 （f）：
13、如果要分析远场，第一类边界条件可以取在大于定子外径 56 倍之处，如图（e）所示。或者用开于边界条件，如 Kelvin-transformation 边界（后面介绍） ，边界可以小一些，如图（f）所示。10(a) (b) (c) (d)(e) (f)图 1-2 电机的磁场计算（第一类边界条件） （第二次课）（2）第二、三类边界条件（Neumann 聂以曼条件） 自然边界条件t,zyxgt,zyxun211 自然边界条件),(tzyxqun3（先复习平行平面场、轴对称场及两种场的等 A 线方程，球对称场）已知边界上的法向导数，代表着几种物理意义：(a) 已知边界上的激励源：面电荷分布或面电流分布
14、已知面电荷分布 2222 gDEnnn已知面电流分布 以平行平面场为例：ttt HBK ,zzA ,如：面电流在边界 XOZ 平面上， 沿 x 方向，计算场域在 区域，t 0y区域场为零（如电流方向相反的一对平行平板电流） （0y）xABzyzx ,那么 则 第二类非齐次边界条件zxtKzzxKyAB如果面电流在 YOZ 平面，电流方向不变， 沿 y 方向，计算场域在 区域tH0x那么 则 第二类非齐次边界条件zytBzzyxAB(b) 已知边界为场分布的对称线（面）， 第二类齐次边界条件，自然边界条件0nm（提问 1：磁场对称问题。若平行平面场中，对称线上磁力线与其平行，是哪一类边界条件？（
15、对 A 而言，由于磁力线为等 A 线，所以是第一类边界条件，可以设为参考位。对 而言，是第二类边界条件， ，在 Ansoftm0nBmn中称为偶对称） 。垂直呢？（如由于磁力线垂直于对称线，即其切线分量等于零，12所以 ，所以是第二类齐次边界条件，如例 3。对 而言，是第一类边0nA m界条件， 。在 Ansoft 中称为奇对称） 。cm轴对称场中磁场沿 轴对称？（如螺线管，磁力线垂直于对称线，所以。如磁力线平行于对称线，则 ，是第一类边界条件） 。0zAn crA提问 2：电场对称问题。若对称线上电力线与其平行，是哪一类边界条件（齐次第二类边界条件）？垂直呢（第一类，可以设为参考位）？如例
16、4例 3 如图 1-3 所示，对称线上磁力线与对称边界垂直，即对称线上只有法向分量根据 ，且二维场中 ，则有 ABzAeyzxzyxee由于 ，所以，在对称边界上 0x图 1-3 齐次第二类边界条件0nAyzz例 4 如图 1-4（）所示，对称线上电力线与之平行，即只有切向分量，等位线与之垂直，根据 -EyxyxeeE由于 ，所以，在对称边界上 。还可进一步简化，再利0x 0n用另一对称边界，如图 1-4()所示，电力线与之垂直。在100V 电压之间的0V 等位线可以作为第一类边界条件。这样只需计算四分之一区域，计算量大大减少。 13(a) (b)图 1-4 对称线边界条件例 5 计算 E 型
17、、U 型电磁铁的磁场分布（近似为二维场， ）zzJA ,两种模型无限远处的磁感应强度为零，取计算场域足够大时，可以认为模型的截断边界上磁感应强度为零，所以可以取 A=0。对于 E 型电磁铁，对称轴为 y 轴，磁力线与 y 轴重合，是等磁位线。且电磁铁左右两部分中的电流方向相反，两边 A 值相等，符号相反，故 y 轴上的A=0，是第一类边界条件。yxOB11yx1O2B图 1-5 E 型、U 型电磁铁对于 U 型电磁铁，对称轴为 y 轴，但磁力线与 y 轴垂直，即 y 轴与等 A 线垂直（平行平面场中 B 线就是等 A 线） ，因此在 y 轴上 ，在有限元法中，0nA这类边界节点不需要处理，按内
18、部节点对待（Ansys 中是默认值） 。如果这两种电磁铁的结构还具有上下对称的特点，那么，B 线与 x 轴垂直，14，在 x 轴上满足第二类齐次边界条件 。0xB 0yAn例 6： U 型电磁铁如图 1-7 所示（三维） ，只需计算四分之一区间，即， 区间（第一象限） ，三维边界条件分为（三个分量都yx, z应有表达式）1、无限远边界条件 无限远处 ，所以取三个截断边界面上：0B 0Azyx2、 边界条件（也可以是 的边界）neH0 ,U 型磁铁对 平面呈对称，即在边界面 yoz 上，只有磁场垂直于分界面，x即只有 分量，故 Ax=0，且 ，根据 ，展开xBzyBA（1）yxxAzy xzzy
19、yx 所以 0 ,x ,0Azyx第一式按强加边界处理，后两式是自然边界条件，且为齐次，不需要专门处理。15图 1-7 U 型电磁铁边界条件 2、 边界条件（也可以是 的边界）0neB磁场强度 平行于边界面 xoz（ ） ，根据 A 与 B 的正交关系，所以H0yB在该平面上 。但因为 ，无法从 A 的旋0zxAA , ,、 0zx ,度中写出 Ay 分量的边界条件（只有 是已知的，而zzy。反之，如果 ） ，所以，考虑 A 的散度，0zx 0yzx B , 0,、稳态场取库伦规范，即 zAy x由于在边界面 xoz 上，A x、A z 分量处处为零，因此其偏导数也为零，也是齐次第二类边界条件
20、，最终边界条件为 0A ,y ,0zx 第一、三式是第一类边界条件，第二式是齐次第二类边界条件，不需专门处理。例 7 用三维静磁磁矢位有限元法对CJ20-25 交流接触器 E 形磁系统进行计算，如图 1-8(a)所示。由于几何结构前后、左右对称，因此只需取四分之一空间计算，如图 1-8(b)所示。同上分析，无限远处 ，所以0B0Azyx16（a） （b）图 1-8 CJ20-25 交流接触器 E 形磁系统 B 平行于对称面 yoz 平面，因此该平面上 ，即 ，从 A 的0zyAxB旋度中无法得到齐次第二类边界条件，从 A 的散度中得到 Ax 的表述如图示。B 又平行于对称面 xoz 平面，因此
21、该平面上 ，即 ，从 Azx 0y的旋度中无法得到齐次第二类边界条件，从 A 的散度中得到 Ay 的表述如图示。例 8 圆盘形电磁铁的磁场计算。采用圆柱坐标系，设矢量磁位 A 和电流密度J 垂直于 zor 平面，只有 方向的分量，即 ， ， ，0zrJ。微分方程为0zrJrAz令 ，则轴对称场的微分方程可以r/ ,rA写为 Jrz 17在截断边界上 0A1在 z 轴上，磁力线平行于轴线，因此n2（3） 周期边界条件由于电机的磁场是呈周期性分布，在一个对极下的电磁场分布正好是一个周期分布，因此，在一个对极下沿径向可以采用周期边界条件，即相应边界节点的位函数相等，如图 1-6 所示。也可采用半周期边界条件（整数槽） ，则相应边界节点的位函数大小相等，符号相反。 周期边界 1yxA半周期边界 图 1-6 四极感应电机（第三次课）3、开域问题的边界条件如果电磁装置的附近有屏蔽装置，如电机、带有屏蔽外壳的变压器等，这种情况下的电磁能量被限制在有限的区域，区域外的电磁能量近似等于零。
