1、1层级快练(三十八)1设a n是首项为 a1，公差为1 的等差数列，S n为其前 n 项和，若 S1，S 2，S 4成等比数列，则 a1( )A2 B2C. D12 12答案 D解析 S 1a 1，S 2a 1a 22a 11，S 44a 16.S 22S 1S4，(2a 11) 2a 1(4a16)4a 124a 114a 126a 1a1 .122(2017山西四校联考)已知等比数列a n中，各项都是正数，且 a1， a3，2a 2成等差数12列，则 ( )a9 a10a7 a8A1 B12 2C32 D322 2答案 C解析 因为 a1， a3，2a 2成等差数列，所以 a32a 12a
2、 2，即 a1q2a 12a 1q，所以12 12q212q，解得 q1 或 q1 (舍)，所以 q 2(1 )2 2a9 a10a7 a8 a1q8（ 1 q）a1q6（ 1 q） 2232 .23已知a n是等差数列，a 115，S 555，则过点 P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( )A4 B.14C4 D14答案 C解析 S 55a 1 d，所以 51510d55，即 d2.所以 kPQ 2d4.542 a4 a24 34(2016四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年
3、增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)2( )A2018 年 B2019 年C2020 年 D2021 年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从 2015 年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列a n，其中，首项 a1130，公比 q112%1.12，所以an1301.12 n1 .由 1301.12n1 200，两边同时取对数，得 n1 ，又lg2 lg1.3lg1.12 3.8，则 n4.8，即 a5开始超过 200，所以 2019 年投入的研发lg2 l
4、g1.3lg1.12 0.30 0.110.05资金开始超过 200 万元，故选 B.5已知各项均不为 0 的等差数列a n，满足 2a3a 722a 110，数列b n是等比数列，且b7a 7，则 b6b8( )A2 B4C8 D16答案 D解析 因为a n为等差数列，所以 a3a 112a 7，所以已知等式可化为 4a7a 720，解得a74 或 a70(舍去)，又b n为等比数列，所以 b6b8b 72a 7216.6已知a n，b n均为等差数列，且 a28，a 616，b 24，b 6a 6，则由a n，b n的公共项组成的新数列c n的通项公式 cn( )A3n4 B6n2C6n4
5、 D2n2答案 C解析 设a n的公差为 d1，b n的公差为 d2，则 d1 2，d 2 3.a6 a26 2 84 b6 b26 2 124a na 2(n2)22n4，bnb 2(n2)33n2.数列a n为 6，8，10，12，14，16，18，20，22，数列b n为1，4，7，10，13，16，19，22，.c n是以 10 为首项，以 6 为公差的等差数列c n10(n1)66n4.7(2017重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎
6、儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同3的量来分配，问各得多少若五只鹿的鹿肉共 500 斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( )A200 B300C. D4005003答案 B解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a1a 2a 3a 4a 5500.由等差数列的性质可得 5a3500，即 a3100，所以a2a 3a 43a 3300.8(2017河南洛阳期末)已知等差数列a n的公差和首项都不等于 0，且 a2，a 4，a 8成等比数列，则 ( )a1 a5 a9a2 a3A2 B3C5 D6答案 B解析 a 2，a 4，a 8成
7、等比数列，a 42a 2a8，即(a 13d) 2(a 1d)(a 17d)，a 1d， 3.故选 B.a1 a5 a9a2 a3 3a1 12d2a1 3d9(2017衡水中学调研卷)在 1 到 104之间所有形如 2n与形如 3n(nN *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg20.301 0)( )A1 631 B6 542C15 340 D17 424答案 B解析 由 2nb2 Ba 3b5 Da 6b6答案 A解析 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为 d，q，则由题意得 解得4 3d 1，4q3 1， )4则 a2b 23 3 0；故选 A.d 1，q 314， ) 316 3
8、2711数列a n是等差数列，若 a1，a 3，a 4是等比数列b n中的连续三项，则数列b n的公比为_答案 或 112解析 设数列a n的公差为 d，由题可知，a 32a 1a4，可得(a 12d) 2a 1(a13d)，整理得(a 14d)d0，解得 d0 或 a14d.当 d0 时，等比数列b n的公比为 1；当a14d 时，a 1，a 3，a 4分别为4d，2d，d，所以等比数列b n的公比为 .1212(2017广东潮州期末)从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精，然后填满水，再倒出 1 升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之
9、比低于 10%.答案 4解析 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为 1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比 a1 ，设操作 n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为 an，则12an1 a n ，a na 1qn1 ( )n，( )n0，nN *.(1)若 a2，a 3，a 2a 3成等差数列，求数列a n的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e22，求 e12e 22e n2.y2an2答案 (1)a n2 n1 (nN *) (2)n (3n1)12解析 (1)由已知 Sn1 qS n1，得 Sn2 qS n1 1，两式相减得到 an2 qa n1 ，n1.又由 S2q
10、S 11 得到 a2qa 1，故 an1 qa n对所有 n1 都成立所以数列a n是首项为 1，公比为 q 的等比数列从而 anq n1 .由 a2，a 3，a 2a 3成等差数列，可得 2a3a 2a 2a 3，所以 a32a 2，故 q2，所以 an2 n1 (nN *)(2)由(1)可知，a nq n1 .所以双曲线 x2 1 的离心率 en .y2an2 1 an2 1 q2（ n 1）由 e2 2 解得 q .1 q2 3所以 e12e 22e n2(11)(1q 2)1q 2(n1) n1q 2q 2(n1) nq2n 1q2 1n (3n1)1215(2018衡水中学调研卷)若
11、某地区 2015 年人口总数为 45 万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加0.5 万人，从 2026 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 99%.(1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an的表达式(注：2016 年为第一年)；(2)若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则继续实施，问到 2035 年后是否需要调整政策？(说明：0.99 10(10.01) 100.9)答案 (1) (2)不需要0.5n 45， 1 n 10500.99n 10， 11 n 2
12、0)解析 (1)由题意知，当 n10 时，数列a n是以 45.5 为首项，0.5 为公差的等差数列，所以 an45.5(n1)0.50.5n45.6当 11n20 时，数列a n是公比为 0.99 的等比数列，而 a11500.99，所以an500.99 n10 .所以新政策实施后第 n 年的人口总数 an(单位：万)的表达式为 an 0.5n 45， 1 n 10，500.99n 10， 11 n 20.)(2)设 Sn为数列a n的前 n 项和，则从 2016 年到 2035 年共 20 年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S20S 10(a 11a 12a 20)477.54 950
13、(10.99 10)972.5(万)，所以新政策实施到 2035 年人口均值为 48.630.因为 S39，所以 a1a 2a 33a 29，即 a23.因为 2a1，a 31，a 41 构成等比数列，所以(2d) 22(3d)(42d)，所以 d2.所以 ana 2(n2)d2n1.(2)证明：因为 2 n1 (nN *)，anbn所以 bn (2n1)( )n1 ，2n 12n 1 12所以 Tn1( )03( )1(2n1)( )n1 ，12 12 12所以 Tn1( )13( )2(2n3)( )n1 (2n1)( )n，12 12 12 12 12由两式相减得Tn12( )12( )
14、22( )n1 (2n1)( )12 12 12 12 12n1 3 ，整理化简得 Tn6 .又因为1 （ 12） n 11 12 2n 12n 12n 2 2n 12n 2n 32n 1nN *，所以 Tn6 0，可知 q0)的图像在点(a k，a k2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak1 (kN *)，若 a116，则 a1a 3a 5_答案 21解析 由题意，得函数 yx 2(x0)的图像在点(a k，a k2)处的切线方程是ya k22a k(xa k)令 y0，得 x ak，即 ak1 ak，因此数列a k是以 16 为首项，12 12为公比的等比数列，所以 ak16( )k1
15、 2 5k ，所以 a1a 3a 5164121.12 127(2017合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存 2KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后经过_分钟，该病毒占据 64MB 内存(1MB2 10KB)答案 45解析 依题意可知a02，a 12 2，a 22 3，a n2 n1 .64MB642 102 16KB，令 2n1 2 16得 n15.开机后 45 分钟该病毒占据 64MB 内存8一个数字生成器，生成规则如下：第 1 次生成一个数 x，以后每次生成的结果可将上一9次生成的每一个数 x 生成两个数，一个是x，另一个是 x
16、3.设第 n 次生成的数的个数为an，则数列a n的前 n 项和 Sn_；若 x1，前 n 次生成的所有数中不同的数的个数为 Tn，则 T4_答案 2 n1，10解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为 1，公比为 2 的等比数列，故Sn 2 n1.1 2n1 2当 x1 时，第 1 次生成的数为 1，第 2 次生成的数为1，4，第 3 次生成的数为1，2；4，7，第 4 次生成的数为1，4；2，5；4，1；7，10.故 T410.9(2018湖北武汉武昌实验中学模拟)已知数列a n，b n中，a 1a，b n是比公为 的23等比数列，记 bn (nN *)，若不等式 anan1 对一切
17、nN *恒成立，则实数 a 的取值an 2an 1范围是_答案 (2，)解析 因为 bn (nN *)，所以 an ，所以an 2an 1 bn 2bn 1an1 a n bn 1 2bn 1 1 bn 2bn 1 1bn 1 1bn 1 1 bn 1 bn（ 1 bn 1） （ 1 bn）0，解得 bn 或 0 ，则 b1( 13bn（ 1 23bn） （ 1 bn）bn（ 23bn 1） （ bn 1） 32 32)n1 对一切正整数 n 成立，显然不可能；若 02.a1 2a1 110(2018上海虹口区模拟)某市 2017 年发放汽车牌照 12 万张，其中燃油型汽车牌照 10万张，电动
18、型汽车牌照 2 万张为了节能减排和控制总量，从 2017 年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按 50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变(1)记 2017 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列a n，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列b n，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a110 a29.5 a3_ a4_ b12 b23 b3_ b4_ (2)从 2017 年算起，求二十年发放的汽车牌照总量10答案 (1)a 39，a 48.5，b 34.5，b
19、 46.75an n2 212， 1 n 20且 n N*，0， n 21且 n N* )bn 2（ 32） n 1， 1 n 4且 n N*，6.75， n 5且 n N* )(2)229.25 万张解析 (1)a110 a29.5 a39 a48.5 b12 b23 b34.5 b46.75 当 1n20 且 nN *，a n10(n1)(0.5) ；当 n21 且 nN *，a n0，n2 212a n n2 212， 1 n 20且 n N*，0， n 21且 n N*. )a 4b 415.2515，b n 2（ 32） n 1， 1 n 4且 n N*，6.75， n 5且 n N
20、*. )(2)a1a 2a 201020 ( )105，20192 12b1b 2b 3b 4b 5b 20 6.7516124.25.21 （ 32） 41 32从 2017 年算起，二十年发放的汽车牌照总量为 229.25 万张11(2017江西省宜春中学与新余一中联考)设函数 f(x) sinx 的所有正的极小值点x2从小到大排成的数列为x n(1)求数列x n的通项公式；(2)令 bn ，设数列 的前 n 项和为 Sn，求证 Sn02k 0.由题意得 所以 3q25q20.因为 q0，所以 q2，x 11.因此数列x nx1 x1q 3，x1q2 x1q 2， )的通项公比为 xn2
21、n1 .(2)过 P1，P 2，P n1 向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1，Q 2，Q n1 .由(1)得 xn1 x n2 n2 n1 2 n1 ，记梯形 PnPn1 Qn1 Qn的面积为 bn，由题意得 bn2n1 (2n1)2 n2 ，（ n n 1）2所以 Tnb 1b 2b n32 1 52 072 1(2n1)2 n3 (2n1)2n2 ，又 2Tn32 052 172 2(2n1)2 n2 (2n1)2 n1 .得T n32 1 (22 22 n1 )(2n1)2 n1 (2n1)32 2（ 1 2n 1）1 2122n1 .所以 Tn .（ 2n 1） 2n 1213(201
22、8浙江镇海中学模拟)已知数列a n是各项均为正数的等差数列，其中 a11，且 a2，a 4，a 62 成等比数列；数列b n的前 n 项和为 Sn，满足 2Snb n1.(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)如果 cna nbn，设数列c n的前 n 项和为 Tn，是否存在正整数 n，使得 TnSn成立？若存在，求出 n 的最小值；若不存在，说明理由答案 (1)a n1 b n (2)存在 213n解析 (1)设等差数列a n的公差为 d，依条件有 a42a 2(a62)，即(a 13d) 2(a 1d)(a 15d2)，解得 d (因数列各项均为正数，故舍去)或 d1，12所以 ana
23、 1(n1)d1(n1)n.由 2Snb n1，得 Sn (1b n)12当 n1 时，2S 1b 11，解得 b1 ；13当 n2 时，b nS nS n1 (1b n) (1b n1 ) bn bn1 ，12 12 12 12所以 bn bn1 ，所以数列b n是首项为 ，公比为 的等比数列，故 bn .13 13 13 13n(2)由(1)知，c na nbn ，n3n所以 Tn1 2 3 n 13 132 133 13n在式两边同乘 ，得 Tn1 2 3 n 13 13 132 133 134 13n 1由两式相减得 Tn n ，23 13 132 133 13n 13n 1整理化简得
24、 Tn .34 34 13n n2 13n 34 2n 34 13n又因为 Sn ，13（ 1 13n）1 13 12 123n所以 TnS n .14 2n 14 13n当 n1 时，T 1S 1，13当 n2 时， 3n(2n1)0，14 2n 14 13n 143n所以 TnSn，故所求的正整数 n 存在，其最小值是 2.1设某商品一次性付款的金额为 a 元，若以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，且每期利率 r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( )A. (1r) n元 B. 元an ar（ 1 r） n（ 1 r） n 1C. (1r) n1 元 D. 元an ar（ 1
25、r） n 1（ 1 r） n 1答案 B解析 设每期期末所付款是 x 元，则各次付款的本利和为 x(1r) n1 x(1r)n2 x(1r) n3 x(1r)xa(1r) n，即 x a(1r) n，整理得（ 1 r） n 1rx .故选 B.ar（ 1 r） n（ 1 r） n 12在平面直角坐标系上，有一点列：P 1，P 2，P n，(nN *)，设点 Pn的坐标为(n，a n)，其中 an (nN *)，过点 Pn，P n1 的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 bn，设 Sn表2n示数列b n的前 n 项和，则 S5_答案 1256解析 由题意得，过点 Pn，P n1 的直线为 ，即
26、 2xn(n1)y2(2n1)y 2nx n2n 1 2n（ n 1） n0.令 y0，得 x2n1，令 x0，得 y ，所以 bn (2n1)2（ 2n 1）n（ n 1） 124 4 ，所以 S5451 .2（ 2n 1）n（ n 1） 1n（ n 1） 1n 1n 1 12 12 13 15 16 12563设函数 f(x) sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为x n，x n的前 n 项x2和为 Sn，则 sinSn不可能取的值是( )A0 B.12C D.32 32答案 B14解析 由 f(x) sinx，得 f(x) cosx，令 f(x)0，得 x2k (kZ)，x2
27、12 23当 f(x)0 时，2k 0，y0)，已知数列a n满足：a n(nN *)，若对任意正整数 n，都有 ana k(kN *)成立，则 ak的值为( )F（ n， 2）F（ 2， n）A. B212C. D.89 98答案 C解析 由题意得 an 且 ak(a n)min，由指数函数 y2 x与二次函数 yx 2图F（ n， 2）F（ 2， n） 2nn2像的对比可得当 x0 时， 先减后增，故 有最小值因此2xx2 2xx2a12，a 21，a 3 ，a 41，所以 a2a3且 a30)的图像上若点 Bn的坐标为(n，0)(n2，nN *)，记矩形1xAnBnCnDn的周长为 an
28、，则 a2a 3a 10等于( )A208 B216C212 D220答案 B15解析 由 Bn(n，0)，得 Cn(n，n )，令 x n ，即 x2(n )x10，得 xn 或1n 1x 1n 1nx ，所以 Dn( ，n )，所以矩形 AnBnCnDn的周长 an2(n )2(n )4n.所以1n 1n 1n 1n 1na2a 3a 104(2310)216.故选 B.6一企业的某产品每件利润 100 元，在未做电视广告时，日销售量为 b 件当对产品做电视广告后，记每日播 n 次时的日销售量为 an(nN *)件，调查发现：每日播 1 次则日销售量a1件在 b 件的基础上增加 件，每日播
29、 2 次则日销售量 a2件在每日播 1 次时日销售量 a1件b2的基础上增加 件，每日播 n 次，该产品的日销售量 an件在每日播 n1 次时的日销售b4量 an1 件的基础上增加 件合同约定：每播一次企业需支付广告费 2b 元b2n(1)试求出 an与 n 的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？答案 (1)a nb(2 ) (2)每日电视广告需播 5 次，日利润最大12n解析 (1)由题意，电视广告每日播 k 次时，该产品的日销售量 ak满足aka k1 (kN *，a 0b)，b2ka nb b(2 )(nN *)b2 b22 b2nb1 （ 1
30、2） n 11 12 12n即该产品每日销售量 an(件)与电视广告播放量 n(次/日)的关系式为 anb(2 )12n(nN *)(2)该企业每日播放电视广告 n 次时的获利为cn100b(2 )2bn100b(20.02n )(nN *)12n 12nc nc n1 100b( 0.02)0，12n即 2n50，nN *，n5(nN *)c n1 c n100b( 0.02)0，12n 12 n25，n5.n5.要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播 5 次167已知函数 f(x)log kx(k 为常数，k0 且 k1)，且数列f(a n)是首项为 4，公差为 2的等差数列(1
31、)求证：数列a n是等比数列；(2)若 bna nf(an)，当 k 时，求数列b n的前 n 项和 Sn；2(3)若 cna nlgan，问是否存在实数 k，使得c n中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由答案 (1)略 (2)S nn2 n3 (3)(0， )(1，)63解析 (1)由题意知 f(an)4(n1)22n2，即 logkan2n2，a nk 2n2 ， k 2.an 1an k2（ n 1） 2k2n 2常数 k0 且 k1，k 2为非零常数数列a n是以 k4为首项，k 2为公比的等比数列(2)由(1)知，b na nf(an)k 2n
32、2 (2n2)，当 k 时，b n(2n2)2 n1 (n1)2 n2 .2S n22 332 442 5(n1)2 n2 ，2Sn22 432 5n2 n2 (n1)2 n3 .，得 Sn22 32 42 52 n2 (n1)2 n32 3(2 32 42 52 n2 )(n1)2 n3 ，S n2 3 (n1)2 n3 n2 n3 .23（ 1 2n）1 2(3)存在由(1)知，c na nlgan(2n2)k 2n2 lgk，要使 cn1 时，lgk0，n1(n2)k 2对一切 nN *恒成立，只需 k2( )min，n 1n 2 1 单调递增，n 1n 2 1n 2当 n1 时，( )
33、min .n 1n 2 23k 2 ，且 0k1，因此 0k .23 63综上所述，存在实数 k(0， )(1，)满足条件638(2017衡水中学调研卷)设各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn满足Sn2(n 2n3)S n3(n 2n)0，nN *.17(1)求 a1的值；(2)求数列a n的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 .1a1（ a1 1） 1a2（ a2 1） 1an（ an 1） 13答案 (1)a 12 (2)a n2n (3)略解析 (1)令 n1 代入得 a12(负值舍去)(2)由 Sn2(n 2n3)S n3(n 2n)0，nN *，得S n(n 2n)(S n3)0.又已知各项均为正数，故 Snn 2n.当 n2 时，a nS nS n1 n 2n(n1) 2(n1)2n，当 n1 时，a 12 也满足上式，所以 an2n，nN *.(3)证明：kN *，4k 22k(3k 2 3k)k 2kk(k1)0，4k 22k3k 23k. ( )1ak（ ak 1） 12k（ 2k 1） 14k2 2k 13k2 3k 131k 1k 1 1a1（ a1 1） 1a2（ a2 1） 1an（ an 1） ( ) (1 ) .1311 12 12 13 1n 1n 1 13 1n 1 13不等式成立
