1、第 1 章 矩阵 练习题1、设 f (x) = x2 3x + 2， ，求 f (A) 。 （ ）3A012)(Af2、计算下列矩阵的乘积（其中 m，k，n 均为正整数）：。nkm 100101（ ）1nk3、已知矩阵 A = BC，其中 ，C = ( 2, 1, 2 ) ，求 A100 。 （ ）12B 241294、设向量 = ( 1 , 2 , 3 , 4 )， = ( 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 )，且 A = T ，求 A10 。 （ ）13/42/195、已知 ，求 A 的伴随矩阵 A* 。 （ ）1203A 02366、求矩阵 的逆矩阵。 （ ）0101A 01001
2、07、设三维列向量 = ( 1 , 0 , 1 )T ，三阶方阵 A = 3E T ，其中 E 为三阶单位矩阵，求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 A1 。 （ ）2013,20318、 （1）设分块矩阵 可逆，其中 A 、 B 分别为 m 阶、n 阶可逆矩阵，求 CBH0H1 ；（2）利用（1）的结果，计算下列矩阵的逆矩阵： 。 （ 31250H） 02153421680111ABCH9、当 时，A 6 = E，求 A11 。 （ ）2/1/3 2/13/1A10、已知三阶方阵 A 的逆矩阵 ，求 ( A* )1 （ 3121） 。10251*)(A11、已知三阶方阵 ，求 ( (A*)T )1
3、。2/5301A（ ） 046det1)*(TTA12、已知三阶方阵 ，求 ( (A*)1 )T 。 （ 312A） 2/1/det1)*(1TTAA13、求解矩阵方程 AX = B，其中 ， 。 （ ）120A104B152/7914、设矩阵 ， 。求矩阵方程 X XA = B 。 （ 1043A120B） 0251(EBX15、已知 A= ，三阶矩阵 X 满足 A2 X = 2E + AX，求矩阵 X 。 （ 102）3/24/3/4/)(21AX16、已知 ，且 A2 AB = E（其中 E 为三阶单位矩阵） ，求矩阵 B 。 （ 10A）21B17、设三阶方阵 A、B 满足关系式 A1
4、 BA = 5A + BA，其中 ，求矩阵 1/062/1AB 。 （ ）2/105)(51E18、已知矩阵 ， ，且矩阵 X 满足 10A01BA X A B X B = B X A A X B + B 1 ，求矩阵 X 。 （ 102/3)()(1BA）19、已知 3 阶矩阵 满足关系 （其中 为矩阵的伴随矩102, A *28 ABE*A阵） 。求矩阵 B 。 （ ） 204)(4*)(811E20、设矩阵 ，矩阵 X 满足 A* X=A1 + 2X，其中 A* 是 A 的伴随矩阵，1A求矩阵 X 。 （ ）4/10/)2(1E21、设矩阵 满足 AB + E = A2 + B ，求矩阵
5、 B 。 （ 102A 2013EA）22、求矩阵 X，使 AX + BA1 A1 BX = 0，其中 ， 。 （ 102A1206B）12/03)(11BAX23、设 11)2(CET，其中 E 是 4 阶单位矩阵， TA是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，102,1031B，求矩阵 A。 （ ）10201)2(TBC24、设 A 为三阶方阵， detA = 1 / 3，A* 为 A 的伴随矩阵，求行列式 ( 2A )1 3A* 之值。 （ 3 / 8 ）25、设 、 2 、 3 、 4 是四维列向量，且 A = , 2 , 3 , 4 = 4， B = , 2 , 3 , 4 = 1，求 A
6、+ B 。 （ 40 ）26、设 、 1 、 2 均为 3 维行向量，并且 ， ，已知 A = 6，213A21B B = 1 / 2，求 A B 。 （ 1 ）27、设矩阵 ，求 A6 。 （ A6 = A 6 = 1012 ）5074228、设 A 是 n 阶方阵，A TA = E，且 A = 1，求 A+E 。 （ 0 ）29、设矩阵 A* 为 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，求出 A* A 的值。 （ ）12nA30、设 A 是四阶可逆矩阵，并且 A = 6，A* 是矩阵 A 的伴随矩阵，求 A* A 、 A1 A 、 A* A 1 。 （ 613 、1 / 216、36 ）31、计算下列
7、行列式（1） （ x + ( n 1 ) a ( x a )n 1 ）xDn aa（2） （ x 4 ）11xx（3） （ 0 ）dbca（4） （ ( 5a+b ) ( a b )5 ）aabab（5） （ n 3 ） （ ）1323133 n )!3(6)1(2(nn（6） （ ）nnnn nbbaaaa aaa111111 222121 nnb21)3(（7） （ ）n21n21b00aa niib1a)(（8） （ 34 ）50143211（9） ，其中 ai 1，i = 1，2，n （ ）n32a1a1 niinjj11)a()(（10） ，其中 bi 0，i = 1，2，n （ n
8、321n321 baababa ）)(11ninib（11） （ 1 ）cba010（12） （ ）a1000aa5 D50)a(ii（13） （n 1） （ a 0 x n1 + a 1 x n2 + + a n2 x + a n1 ）xxn00a1a121 （14） （ x 2 y2 ）yxD224（15） （ 16 x 2 y2 ）yxxyx004（16） （n 1） （ a1 a2 a n + ( 1) n + 1 b1 b2 b n ）nn bDa00bab121 （17） （ 665 ）520355D（18） （ 2000 ）6943132、设 n 阶行列式 Dn 的元素 aij
9、满足 aij = min ( i , j ) ，求 Dn 的值。 （ 1 ）33、求出方程 的根 。 （ 2， ， ）032123434、当 x、y 满足什么条件时，可使行列式 。 （ y = 2x 或 y = x ）0xy35、 （1）设行列式 ，又设 Aij 是 A 中元素 aij 的代数余子式（i 32857162A，j = 1 ，2， 3） ，求 A11 + A12 + A13 + A14 的值。 （ 0 ）（2）已知五阶行列式 ，其中 A 41 ，A 42 ，A 43 ，A 44 ，A 455123451det 27435 D 0是 a 41 ，a 42 ，a 43 ，a 44 ，a
10、 45 的代数余子式， 求： A 41 + A 42 + A 43 的值； A 44 + A 45 的值。 （ 9 ； 18 ）（3）设 4 阶行列式 ，若 Aij 是 aij 的代数余子式（i , j = 1, 2, 3, 4） ，求 01243 132A的值 。 （ 1 ）36、设 A = ( a i j ) 为 n （n 3）阶非零实矩阵，且已知 A i j = a i j （ i ，j = 1 , 2 , , n ） ，其中 A i j 为该矩阵元素 a i j 的代数余子式，求 det A 。 （ 1 ）37、证明题（1）设 n 阶矩阵 ，其中 ai aj （ i j，i , j =
11、 1，2，n ） 。求证：nAaa21与 A 可交换的矩阵只能是对角矩阵。（2）设 A、B 均为 n 阶矩阵，且满足 A2 = E，B 2 = E（E 为单位矩阵） ，求证：( AB )2 = E 的充分必要条件是 A 与 B 可交换。（3）证明：若 A 为 n 阶可逆矩阵，且与矩阵 B 可交换，则 A1 也与 B 可交换。（4）设 A 和 B 都是数域 F 上的 n 阶矩阵，试证：如果 E AB 可逆，则 E BA 也可逆，且 ( E BA ) 1 = E + B ( E AB ) 1 A 。（5）设 A 为 n 阶可逆矩阵，并且 A2 = A E，证明： A* = A 。（6）设 A 是一个 n 阶可逆矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，试证：( A* )1 = ( A1 )* 。（7）设 A 是 n 阶方阵，且 AAT = E，证明： ( A* )T = ( A* ) 1 。（8）设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对换后得到矩阵 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 1B。 （ 1 = P ( i , j ) ）（9）证明 。01112210 aaaa00 xxxx nnnn （10）设三阶行列式 D = aij ，且 aij 的代数余子式为 Aij （i ，j = 1，2，3） ，证明：。31332312211aaijijAxx
