1、线性空间练习题一、单项选择题R3中下列子集（ ）不是 R3的子空间A B1|),(2321xxw 0|),(33212 xRxwC D|333 |3214 二、判断题1.设 则 是 的子空间.nPV,0nWAPV2、已知 为 上的线性空间，则维( ）2.(,)abicdiabcR V3、设线性空间 V 的子空间 W 中每个向量可由 W 中的线性无关的向量组线性表出，则维(W)s12,s4、设 是线性空间 V 的子空间，如果 则必W ,VW， ， 且有 .三、1已知 , 是 的两个子空间，求,|01Rba ,|0112RcaW2的一个基和维数2121,2已知 关于基 的坐标为（1，0，2） ，由
2、基 到基,321 ,321的过渡矩阵为 ，求 关于基 的坐标,3214,321四、设 是数域 P 上的 n 维列向量空间，n 2,nAP且记 nWAXX12,0,1.证明： 都是 的子空间；21,n2. 证明： .2Pn线性变换练习题一、填空题1设 是线性空间 的一组基， 的一个线性变换 在这组基下的矩阵是23,V则 在基 下的矩阵 _，而可逆矩阵3123() ,ijAaxx321,BT_满足 在基 下的坐标为 _ .,BTA12,2设 为数域 上秩为 的 阶矩阵，定义 维列向量空间 的线性变换 ： PrnnnP,则 _， _， _ .(),nA1(0)1dim(0)dim()n3复矩阵 的全
3、体特征值的和等于_ ，而全体特征值的积等于_ .(ijna4设 是 维线性空间 的线性变换，且 在任一基下的矩阵都相同，则 为_变换 .V5数域 上 维线性空间 的全体线性变换所成的线性空间 为_维线性空间，它与_P ()LV同构.6设 阶矩阵 的全体特征值为 ， 为任一多项式，则 的全体特征值为_ .nA12,n ()fx()fA二、判断题1设 是线性空间 的一个线性变换， 线性无关，则向量组V12,sV也线性无关. （ ）2(),()s2设 为 维线性空间 的一个线性变换，则由 的秩 的零度 ，有 nn1()(0).V（ ）3在线性空间 中定义变换 ： ，则 是 的一个线性变换. （ ）2
4、R(,)1,)xy2R4若 为 维线性空间 的一个线性变换，则 是可逆的当且仅当 0. （ ）nV1()5设 为线性空间 的一个线性变换， 为 的一个子集，若 是 的一个子空间，则 必为WVWVW的子空间. （ ）V三、计算与证明1设01Aa，问 为何值时，矩阵 A可对角化?并求一个可逆矩阵 ，使 .X,-1=2在线性空间 中定义变换 ： nP122(,)(0,)nnxx（1）证明： 是 的线性变换.（2）求 与()n1(0)（3） .nP3若 是一个 阶矩阵，且 ，则 的特征值只能是 0 和 1.A2A欧氏空间练习题一、填空题1设 是一个欧氏空间， ，若对任意 都有 ，则 _VVV(,)02
5、在欧氏空间 中，向量 ， ，那么 _， _3R(1,0)0,13在 维欧氏空间 中，向量 在标准正交基 下的坐标是 ，那么n 2n 12(,)nx_， _(,)i4两个有限维欧氏空间同构的充要条件是_5已知 是一个正交矩阵，那么 _， _A1A2A二、判断题1在实线性空间 中，对于向量 ，定义 ，那么 构成2R1212(,)(,)xy12(,)xy2R欧氏空间。( )2在 维实线性空间 中，对于向量 ，定义 ，则 构nn1212(,),(,)nnab 1(,)abn成欧氏空间。 ( )3 是 维欧氏空间 的一组基， 与分别是 V 中的向量 在这组12,n V1212(,),(,)nnxy ,基
6、下的坐标，则 。( )12(,)nxyy4对于欧氏空间 中任意向量 ， 是 中一个单位向量。( )5 是 维欧氏空间的一组基，矩阵 ，其中 ，则 A 是正定矩阵。( )12,n ijnAa(,)ijij6设 是一个欧氏空间， ，并且 ，则 与 正交。( )V,V7设 是一个欧氏空间， ,并且 ，则 线性无关。( )(,)0,8若 都是欧氏空间 的对称变换，则 也是对称变换。( ),三、计算题1把向量组 ， 扩充成 中的一组标准正交基. 1(2,0)2(,1)3R2求正交矩阵 ，使 成对解角形。TA02四、证明题1设 ， 为同级正交矩阵，且 ，证明： ABAB0A2设 为半正定矩阵，且 ，证明：
7、 0E3证明： 维欧氏空间 与 同构的充要条件是，存在双射 ，并且 有 nVT :V,V小 测 验 九一、填空题1、已知三维欧式空间 中有一组基 ，其度量矩阵为 ，则向量V123,1023A的长度为 。1232、设 在此内积之下的度量矩阵为 1021,),( ，AR则中 的 内 积 为 。3、在 n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。4、在欧氏空间 中，已知 ，则 ， 与 的夹角为 4(2,3),(,)|（内积按通常的定义） 。5、设 为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。nR二、已知二次型 22123131232(,)()fxtxxx（1）t 为何值时二次型 f 是正定的？（
8、2）取 ，用正交线性替换化二次型 f 为标准形三、设 是 3 维欧氏空间 V 的一组基，这组基的度量矩阵为12,126（1）令 ，证明 是一个单位向量；12（2）若 与 正交，求3kk四、设 为 n 维欧氏空间 V 中一个单位向量，定义 V 的线性变换 A 如下：(,).A证明：（1）A 为第二类的正交变换（称为镜面反射） 。（2）V 的正交变换 B 是镜面反射的充要条件为 1 是 B 的特征值，且对应的特征子空间的维数为 n-1.五、已知 是对称变换，证明： 的不变子空间 的正交补 也是 的不变子空间 W小测验(六)一、填空题1、已知 是 的一个子空间，则维（V ）0,AVabcabcR3
9、， V 的一组基是 .2、在 P4 中，若 线性无关，则 k 的取1234(,0),(1,),(1,),(0,1)kk值范围是 .3、已知 a 是数域 P 中的一个固定的数，而1(,),niWxn 是 Pn+1 的一个子空间，则 a ，而维(W) .4、设 Pn 是数域 P 上的 n 维列向量空间， 记2,nAP且12,0,nAXX则 W1、W 2 都是 Pn 的子空间，且 W1W 2 ， .12W5、设 是线性空间 V 的一组基， ，则由基 到基3, 123xx3,的过渡矩阵 T ，而 在基 下的坐标是 .231, 32,二、计算与证明1、在线性空间 P22 中， 2121,0037AB1）
10、求 的维数与一组基.1212(,)(,)LAB2）求 的维数与一组基.2、在线性空间 P4 中，求由基 到基 的过渡矩阵，并求1234,1234,在基 下的坐标，其中(1,3)1234, 40,(0),(,0),(,)123(,8),71621.3、设 ,01) 证明：在 与 A 可交换的矩阵的全体 W 是一个子空间；Pn2) 求 W 的维数和一组基；3) 写出 W 中矩阵的一般表达式。4、证明： 是 的一组基，并求 在此基下的坐标。2,1xx3P273x5、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12(),(),(fVfxf证明：W 1、W 2 皆为 V 的子空间，且 12.W6、设 是 的任意两个非平凡子空间，证明：,VV
