1、 1第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作 ；向量的大小即向量的模（长度） ，记作| | 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量不能比较大小，AB AB但向量
2、的模可以比较大小（2）零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j00（3）单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j常用 e 表示（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作 奎 屯王 新 敞新 疆 平行向量也称为共线向量 奎 屯王 新 敞新 疆 ab（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j相等向量经过平移后总可以重合，记为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 大小相等，方向相同 ba 头htp:/
3、w.xjkygcom126t:/.j),(),(21yx（6）相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja a记作 ,零向量的相反向量仍是零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabbb02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则 ”与“平
4、行四边形法则” （2）向量的减法 ：求向量 加上 的相反向量的运算叫做 与 的差abab向量的减法有三角形法则， 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbab（3）向量的数乘运算：求实数 与向量 的积的运算，记作 ；a当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反； 当 时， ，方向0a0a 0a2是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数乘向量满足交换律、结合律与分配律 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3. 两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得
5、 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaba向量 与非零向量 共线 有两个均不是零的实数 、 ，使得 0b二、平面向量的基本定理与坐标表示1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使：2,e a21,，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1a21,e2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 头htp:/w.xjkygcom126t:
6、/.j 由平面向量的基本定理知，该,ij平面内的任一向量 可表示成 ，由于 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y) 叫做向量 的坐标，aija a记作 =(x,y)，其中 x 叫作 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j显然 =（0,0） ， ， 0(,0)i(,1)j（2）设 .则向量 的坐标(x,y)就是终点 A 的坐标，即若 =(x,y)，则 A 点的坐标为(x,y) ，反之亦成OAiyjOA O立（O 是坐标原点） 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 平面向量的坐标运算：（1）若 ，则 12,aybxy
7、 12,abxy（2）若 ，则 ，BA2A211()()xy（3）若 =(x,y)，则 =( x, y)aa（4）若 ，则 12,yb121/0abxy（5）若 ，则 xxy三、平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ， 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积叫做 与 的数量ababbaab积（或内积） ，即 = cos ，规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j032 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.
8、xjkygcom126t:/.j 投影的绝对值称为射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb|abba3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 乘法公式成立： ；22abab22ab5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 平面向量数量积的运算律：交换律成立： ab对实数的结合律成立： abR分配律成立： ；cc特别注意：结合律不成立： 消去律不成立 不能得到 abcbc =0 不能得到 = 或 = 头htp:/w.xjkygco
9、m126t:/.j06 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,)axybab127 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （ ）叫做向量 与 的OABb0018ab夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jcos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.js,ab212yx当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 =1800，同时 与其它任
10、何非零向量之间ab不谈夹角这一问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 垂直：如果 与 的夹角为 900 则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabab O 奎 屯王 新 敞新 疆ab21yx【经典例题】【例 1】 （2010 全国，8）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若 ，CBa4EFDCBA， ，则 = （ ） CAb1,2aCD（A） （B） （C） （D）313ab345ab435ab【答案】B【解析】由角平分线的性质得 ,即有 从而2AB22()()33AB故选 B
11、1()33CDAbab【例 2】 （2009 北京，2）已知向量 a、b 不共线，c a b R),d a b,如果 c d，k(/那么 （ ）A 且 c 与 d 同向 B 且 c 与 d 反向1k 1C 且 c 与 d 同向 D 且 c 与 d 反向k【答案】D【解析】取 a ，b ，若 ，则 c a b ，d a b ，,0,1k,1显然，a 与 b 不平行，排除 A、B 若 ，则 c a b ，d a b ，1k,1,即 c d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D/【例 3】 （2009 湖南卷文）如图，D ，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则( )A 0B
12、EB CFCD 0E 【答案】A【解析】 , ,BADEDFC得 0AF或 0ECFF【例 4】 （2009 宁夏海南卷文）已知 3,21,ab，向量 ab与 2垂直，则实数 的值为( )A. 17 B. 17 C. 6 D. 16【答案】A5【解析】向量 ab（3 1，2 ） ， 2ab（1,2） ，因为两个向量垂直，故有（3 1，2 ）（1,2）0，即 3 14 0，解得： 17，故选 A【例 5】 （2009 全国卷文）设非零向量 、 、 c满足 cba|,| ，则ba,（ ）A150 B.120 C.60 D.30【答案】B【解析】由向量加法的平行四边形法则，知 a、 b可构成菱形的两
13、条相邻边，且 a、 b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B【例 6】 （2009 安徽卷文）在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或 = + ，其中 ， R ，则 + = _ 【答案】 43【解析】设 BCb、 Aa则 12Fba , 12AEa , Cb代入条件得 243u【例 7】 （2009 辽宁卷文）在平面直角坐标系 xoy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC,ADBC,已知点 A(2，0) ，B（6，8） ，C(8,6),则 D 点的坐标为 _【答案】(0,2)【解析】平行四边形 ABCD 中, OBAC OAC( 2,0)(8,6)(6
14、,8)(0, 2)即 D 点坐标为(0,2)【例 8】 （2012 江苏）如图,在矩形 中, 点 为D2B， ， E的中点，点 在边 上,若 ,则 的值是BFABFAF _【答案】 2【解析】由 ,得 ,由矩形的性质,得2Acos2 cos=AFBDF ， ， BDF 11CF记 之间的夹角为 ，则 AE和 ,AEB又 点 E 为 BC 的中点， 2C， 16 =cos=cos=cossinAEBFAEBFAEBFA. cosini 1212C本题也可建立以 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解 D【例 9】(2009 湖南卷理)在 ABC，已知 2233ABC，求角 A，B，C 的大小【
15、答案】 ,63A【解析】解：设 ,abc由 2BCA得 2os3b，所以 3cos2A又 (0,)A因此 6 由 233得 23bca，于是 23sinsin4CB所以 5sin()64C， 13si(coi)2，因此22ico3sin,is0，既 sin(2)03C由 A= 6知 506，所以 ， 43C，从而,3C或 2,3，既 ,6或 2,故AB或 AB【课堂练习】一、选择题1.（2012 辽宁理）已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=| ab|,则下面结论正确的是（ ）Aab Bab C0,1,3 Da+b= a b2. (2009 年广东卷文)已知平面向量 a= ,1x（ ） ，
16、b= 2,x（ ） ，则向量 ( )A. 平行于 x轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线 C. 平行于 y轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线 3.（2012 天津文）在 ABC中, 90, 1AB,AC=2,设点 ,PQ满足 ,(1),APBQACR.若72BQCP,则 ( )（ ）A 13B 3C 43D24.（2009 浙江卷理）设向量 a， b满足： |a， |b， 0a以 ， b， a的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为 ( ) A B.4 C 5 D 65.（2012 重庆理）设 R,向量 ,且 ,则 （ ）,xy42,1,cyx c/abA B C
17、D105106. （2009 浙江卷文）已知向量 (,2)a， (,3)b若向量 满足 ()/， ()，则 c （ ） A 7(,)93 B 7(,)39 C 7(,)9 D 7(,)93 7 （2012 浙江理）设 a,b 是两个非零向量. （ ）A若|a +b|=|a|-|b|,则 ab B若 ab,则| a+b|=|a|-|b| C若|a+b|=|a|-| b|,则存在实数 ,使得 a=b D若存在实数 ,使得 a=b,则|a+b|=|a|-| b|8.（2009 全国卷理）设 、 、 c是单位向量，且 0，则 acb的最小值为 ( )A. 2 B. 2 C. 1 D. 29.（2012
18、 天津理）已知ABC 为等边三角形, ,设点 P,Q 满足 , , ,若=2AB=APB(1)QACR,则 （ ）3=2BQCPA B C D1121023210.（2009 全国卷理）已知向量 ,|5aba，则 |b ( ) A. 5 B. 10 C. 5 D. 11.（2012 大纲理） 中, 边上的高为 ,若 ,则 （ ）ABCCD,0,|1|2BAaADA B C D 13ab23ab35ab45b812.（2008 湖南）设 D、 E、 F 分别是ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且2,CB,A2,B则 ADECF与 B ( )A. 反向平行 B. 同向平行C. 互相垂直
19、 D. 既不平行也不垂直13.（2008 广东）在平行四边形 C中， 与 交于点 O， 是线段 D的中点， AE的延长线与 CD交于点 F若 ACa， BDb，则 AF （ ）A 142 B 213ab C 124ab D 123ab14.（2007 湖北）设 (4)，a， 在 上的投影为 5， 在 x轴上的投影为 2，且 |4 ，则 为（ ）A (214)， B 27， C 27， D (28)，15.（2012 安徽理）在平面直角坐标系中, ,将向量 按逆时针旋转 后,得向量 则点 的坐标(0,)68OPO34OQ是 （ ）A B C D(72,)(72,)(4,2)(6,2)二、填空题1
20、6.（2012 浙江文）在ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 ABC=_.17.（2009 安徽卷理）给定两个长度为 1 的平面向量 O和 ，它们的夹角为 120o.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB上变动.若 ,xAyB其中 ,xyR,则 y的最大值是_.18.（2012 上海文）在知形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足|CDNBM,则 的取值范围是_ .19.（2012 课标文）已知向量 a,b夹角为 045,且| a|=1,| 2b|= 10,则| |=_.20.（2012 湖南文）如
21、图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,APBD,垂足为 P, 3AP且 C= _.9A DBCP21.（2012 湖北文）已知向量 (1,0)(,ab,则()与 2ab同向的单位向量的坐标表示为_;()向量 3与向量夹角的余弦值为_.22.（2012 北京文）已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DECB的值为_.23.（2012 安徽文）设向量 (1,2)(1,)(2)ambcm,若 ()ac b,则 a_.24.（2012 江苏）如图,在矩形 中, 点 为 的中点,点ABCDBC， ， 在边F上,若 ,则 的值是_.CDFEF25.（2012 安徽理）若平面
22、向量 满足: ;则 的最小值是ab23abA_三、解答题26. (2009 年广东卷文)（已知向量 ),(sin与 )cos,1(互相垂直，其中 )2,0(（1）求 sin和 co的值（2）若 s53)(5， 02,求 s的值27.（2009 上海卷文）已知 ABC 的角 A、B 、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 (,)mab，(sin,)BA， (,)pba.（1） 若 m/ ，求证：ABC 为等腰三角形； （2） 若 ，边长 c = 2，角 C = 3，求 ABC 的面积 .28. 已知 A、 B、 分别为 AB 的三边 a、 b、 c所对的角，向量 )sin,(BAm， )cos
23、,(A，且Cnm2si.（）求角 的大小；（）若 Ai， in， Bsi成等差数列，且 18)(ACB，求边 c的长.【课后作业】一、选择题101.（2009 辽宁卷理）平面向量 a 与 b 的夹角为 06， (2,)a， 1b 则 2ab( )A. 3 B. 23 C. 4 D. 22.（2009 宁夏海南卷理）已知 O，N ，P 在 ABC所在平面内，且 ,0OABCNAB，且PABC，则点 O，N，P 依次是 的( )A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心3.（2008 安徽）在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 (2
24、,4)AB， (1,3)C,则 BD（ ）A （2，4） B （ 3，5） C （3，5） D （2，4）4.（2008 浙江）已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足 0)(cba,则 的最大值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 25.（2007 海南、宁夏）已知平面向量 (1)(1)，ab，则向量 3ab（ ）A (21)， B 2，C 0 D ()6.（2007 湖南）设 ，ab是非零向量，若函数 ()fxxAab的图象是一条直线，则必有（ ）A B C |D |7. （2007 天津）设两个向量 2(cos)，a和 sin2m，b，其中 m，为实数若 2
25、ab，则 m的取值范围是 （ ）A-6，1 B 48，C （-6，1 D-1，68. 在 ABCBABC 则已 知 向 量中 ),27cos,632(),7cos,1(, 的面积等于（ ）11A 2B 42C 23D 29. 已知平面向量 (3,1)(,)/,abxabx则 等于 （ ）A9 B1 C1 D910. 已知 、 b是不共线的 A(,)R，则 A、 B、 C 三点共线的充要条件是： （ ）A 1 B 1 C 1 D 1二、填空题11. 设向量 2,3,19,ACAB则 _.12. 若向量 2()abba 满 足，则向量 ba与 的夹角等于 .13. 已知平面上的向量 P、 满足24
26、P,，设向量 2PCAB，则 PC的最小值是 .14.（2008 江苏） ， 的夹角为 10， ， 3 则 5 15. （2007 安徽）在四面体 OABC中， OBD， ， ，abc为 的中点， E为 D的中点，则 OE （用 ， ，abc表示） 16.（2007 北京）已知向量 241， ， ，a=b若向量 ()+，则实数 的值是 . 17. 已知向量 (cos15,in)a， (sin5,cos)，则 ab的值为 .18.（2007 广东）若向量 、 满足 a与 的夹角为 120，则 ba .三、解答题19.（2009 湖南卷文）已知向量 (sin,co2sin),(12).ab（1）若
27、 /ab，求 t的值； （2）若 |,0,求 的值。 20.已知向量 )cos2sin7,cosin6()cos(in b ，设函数 baf)(.()求函数 f的最大值；()在锐角三角形 ABC中，角 、 、 C的对边分别为 a、 b、 c， ()6fA， 且 ABC的面积为 3，1223bc,求 a的值.【参考答案】【课堂练习】一、选择题：1、B 2、C 3、B 4、C 5、B 6、D 7、C 8、D 9、A 10、C 11、D 12、A 13、B 14、B 15、A二、填空题：16、-16 17、2 18、1 19、 3或 (舍) 20、 18 21、 ()10,()32,1025cos5
28、Aba22、1；1 23、 224、25、 98三、解答题：26、 2cos 27、 （1） /,sini,maAbBuvQ即 2abR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， abABC为等腰三角形（2）由题意可知 /0,()()0p即 ab由余弦定理可知， 2243abab 2()340即134(1)ab舍 去 1sin4si32SabC28、 （） 3C.（）c=6【课后作业】一、选择题：1、B 2、C 3、B 4、C 5、D 6、A 7、A 8、A 9、B 10、D 二、填空题：11 、 6012、 413、214、 715、14abc16、-317、118、 2三、解答题：19、 3C. .6c 20、 1tan42，或 3.4 21、 max()f 10a
