_平面向量复习基本知识点及经典结论总结.doc-道客多多

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1、1平面向量() 向量零向量单位向量一、向量的基本概念内容相等向量相反向量平行向量几何表示法二、向量的表示表示方法符号表示法坐标表示法共线定理共线定理应用向量不共线定理应用实数与向量的积平面向量的数量积三、平面向量的基本定理向量的运算向量的运算律向量平行共线的充要条件向量垂直的充要条件平移公式四、平面向量的基在几何

2、中的应用在解析中的应用本应用在解斜三角形的应用在物理中的应用学习方法：理论意义、实际意义；基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；基本考点：、向量的运算及其几何意义；、向量的线性运算；、共线问题；abc、基本定理应用及其向量分解；、坐标表示及其运算；、平行问题的坐标表示；edf、数量积的运算；、夹角问题；、模长及垂直条件；ghi、在平面几何中应用；、在解析几何中的应用；、在解三角形中的应用；j kl、在物理中的应用；m一、向量有关概念：向量的概念：既有大小

3、又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移；零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；0作用:、解决矛盾；、零向量和任何非零向量平行；、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是 )；单位化AB|AB2相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关；相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是；aa平行向量（共线向量）：、方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量；b、记作：零向量和任何非零向量平行；

4、ab、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；、平行向量无传递性！（因为有 )；0、三点共线共线；ABC、、 A、相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；、向量的运算及其几何意义： a例、下列命题：若，则；两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；ab若，则是平行四边形；若是平行四边形，则；ABDC ABCDABDC若，则；若，则；其中正确的是_,ca/,bc/a例、下列命题正确是：若，则；0a若非零向量与方向相同或相反，则与之一的方向相同；b,b若，则；若，则或；a若，则；abA若，则；c 与

5、方向相同；ab向量与向量共线的充要条件是有且仅有只有一个实数，使得；b ba ；若，则；0ABab、向量的线性运算：“三角形法则”和“平行四边形法则”b例、已知中，点在边上，且，，则的值是_CD DBC2 ACsrsr例、已知分别是的边上的中线,且 ,则可用向量表示为_ ,EBA,AEB,ab例、边长为的正三角形中，设，则？1 3、共线问题：c例、已知，设，如果，那么为何值时，,OAabcOdEetR,2,acdett三点在一条直线上？CDE、、例、如图 1，已知点 G 是的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，

6、且ABC，MxB，则。ANy3y例、例、AB CMNG图 13例、解:用零向量解决矛盾,2()()(2)()0,20CDrABsCDBrADBsCrsADrBsCrAs例、解: 1124,. ()()23aEbEbCbaab 例、解：设，则，由题意，得,CAB,60a，11,23DbBab7cos,364E 例、解：，三点在一条直线上的充要条件是存在实数,()CdcaCEettCDE、、，使得，即，整理得；kkD32tbka32tkatb当共线，则可为任意实数；当不共线，则有；综上，任意，共线，，,abt,065tk 65t不。例、点 G 是的重心，知 O，得

7、 O，ABCGABC()()AGBACG有。又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN 上），于是存在，1()3 ,使得，有 = ，得，(1)且 xy1()313xy于是得。13xy二、向量的表示方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；abc坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内xyij的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。a,xiyj, a,xya如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相

8、同。、坐标表示及其运算；d例、若，则 _(1,)b,)(1,2)cc例、如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点 , ,若点满足 ,O)13(A)BC O BA21其中且 ,则点的轨迹是_R21,21C、基本定理应用及其向量分解：e例、给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为 .B20如图，点在以为圆心的圆弧上变动.CA若，其中，则的最大值是？OxAyB,xyRxy例、已知是的外心， .若，则？21,12AOBC124例、解： baccbac 2312321),(),1(),(, 例、向量中三终点共线存在实数使得且 .直线 PABC、、 ABC、

9、、、 PABCAB例、解：方法一、设，则，即OxOAyB1cos2(0)xy所以 .2cos120cos3insi6xy 方法二、将向量式两边平方，得，CAyB22 22()3CxOAyBxyxy因为，故 .214xy21,4xy方法三、以直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则OO3,0,2ABC代入可得，即，xy13,2xy 11233xxy，所以由柯西不等式，得 .21,0,2 22213xy方法四、设，作平行四边形，则 .设在中使用正AOCOECDEOD,xyOCE弦定理得 11sin60sini60sini60isin60xyxy 方法五

10、、，设与的交点为，，则由co2BABM1AB，得，且两边取模并平方整理得1OCtMtOABtxyt213t故 .maxax方法六、设，，当时，2cos,in0,3cos3in2si26.2xy例、已知是的外心， .若，则？OABC,1,0ACB12AOBC12解：方法一、点乘法：两边同时乘以得，12,C12AB5即，所以 .122cos4ROABC112125436463R方法二、坐标法：以点为原点，以及其垂直平分线所在的直线分别为轴、轴建立直角坐标系.由余弦xy定理得，再由正弦定理得，，所以，7B 72sinRAO2AD536O即，而，1

11、53153,2626OA1,31,01,3BCB，于是，所以 .121, 12125654363126三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。ba ab、提供证明共线或平行的方法。、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。、平行问题的坐标表示；f例、已知和点满足，若存在实数使得成立，则 ABC0MABCmABCMm例、已知点，，若，则当 _时，点在第一、三象限的角平(2,3)5,4(7,1)()PARP分线上。例、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则？DP0|AD例解：由知，

12、点为的重心，设为边的中点，则向量加法可知0ABCABCDBC。2BC由重心的性质可知：，而且与同向，故23MD。1,3MD例、答：；2例、（答：2）；共线定理应用：、定比分点的概念：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数，使，则叫P21,p21, 12P做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；P12P、的符号与分点的位置之间的关系：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；12012当点在线段的延长线上时；0当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为。P12 21P6、线段的定比分点公式：设

13、、，分有向线段所成的比为，则， 1(,)Pxy2(,)xy(,)Px12P12xy、当时，就得到线段的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，11212y (,)xy、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地1(,)xy2(,)确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，P1M12MP特别地为的中点；212P例、若，，且，则点的坐标为_(3,)M(6,)NN3例、已知，直线与线段交于，且，则等于_,0,AaB2yaxAB2ABa例、如图，在

14、中，点是的中点，点在边上，且，CBCNC与相交于点，求的值？P:M例、解:法一:(,)(3,)(6,1)(3,),(9,1)xyPxyM设 61,29, 7323xMN即解法二: 3741)2(641)1,6()2,3(),(4131 yxNMyxPNP例、2361(,0)3,2),(),20()42axAaBMxyABay214168,3ayxaa在上即或例、设，则，，2,eCN21Ce12Ne和分别共线，存在，使,APBR、 3APM，故，而，1212BAP 123BACe7由平面向量基本定理得，，即 .42533APM:4:1AP、平行四边形法

15、则： 222cosabababa 222abab ： + ：分析：例、已知是两个非零向量，且，则的夹角？,abab与ab例、已知，则等于_3,52例、若向量与向量的夹角为，，则向量模？ 604,2372a例、若正方形的边长为 1，，则 _ABCDABaCbc|abc例、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 _ ,ab |例、若是所在平面内一点，且满足，则的形状？OOBCOABC例、；30例、；2例、；例、；例、；1例、直角三角形；如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，e2 a12,使。1a应用：、

16、解释平面直角坐标系中的任意点坐标的来由。),(yx、共平不共分析：例、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）、、 A12(0,)(1,)e B12(,)(5,7)e、、C356D134例、平面上三个不同点不共线，问：是否存在实数满足，且。,OAB12,k20k120OAkB例、平面上三点不共线，设 ,则的面积等于_, ,aObA（A）（B） 22()ab22()（C）（D）221 221ab例、解：不共线，非零向量。用共线定理否定的方法（答：）；B例、反证法：假设存在，表示不全为零，可设，由，12,kR210k12,k20k120OAkB8，

17、，若不然，时，重合，与已知“三点”矛盾，可见，12kOBA1010k,OB 10k，这表明存在，使。可知共线，这与“ ”不共线“矛盾”02A, ,OAB，表明不存在满足全部条件的实数。注：，当时，共线定理。12,k12ae0a例、解析：选 C.2211 ()|sin,|cos,|122 |OAB bSabababa 221()ba实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当,0 时，的方向与的方向相同，当 0 时，的方向与的方向相反，当 0 时，，注： 00。a分析：平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作

18、，称为向量，的夹角，ab,OAaBbAOab当 0 时，，同向，当时，，反向，当时，，垂直。ab2ab（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积|cos（或内积或点积），记作：，即。cosab规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|cosb（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。|a（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：ab、；0a、当，同向时，，特别地，；b

20、则与的夹角？375ab72ab例、已知圆的半径为，、为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为OPABAB、 PAB例、为非零向量， “ ”是“函数为一次函数”的_条件。,abab()fxabx、夹角问题；h例、已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围？)2,()2,3(例、已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围？OFQS1 FQO23S FQO,例、若两向量满足所成的角为，若向量与向量所成的角为钝角，12,e122,e60127te12et求实数的取值范围？ t例 10、已知与之间有关系式，用表示；(cos,in)(cos,in

21、)axbyab3,0akbak其中 kab求的最大值，并求此时与的夹角的大小？b最小值？当取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果做出几何解释；例 11、已知，设，cosin,cosin,2cosaxxbx()fxab求函数的最小正周期；()f当时，求函数的最大值及最小值；0,2()f例、； 51例、； 9cos)cos( BCABCAB例、；例、解：由已知条件得。222(3)(75)0716501,cos,2342308ababbab 例、解析 1、如图所示：设 ,则，().PABxAPO222,1,sin1BPOxx，令，则，4222cos

22、(1sin)1xPAB Ay42x即，由是实数，所以，，4210xy2x2410y2610y解得或 .故，此时 .33min3PABxPABO10解析 2、设，,0APB2221sinsin1coscotanPAB换元：，；2sin,1xx1232xx 解析 3、建系：圆的方程为，设，2y110(,)(,)(,AyBP2101ABxxy22110 110,AOPxxxy22 2010 3Byx 例、必要不充分；解：；为一次函数且；ab2()fxabaxb0ab2a 且；02a0“积木式问题”的解题策略:、先分别对每个条件进行推理，直至得出认为有作用的结果；再认真

23、分析这些结果，探索它们之间的联系；若仍然不能找到解决问题的途径则可以调整以上推理结果；、如果某个“积木”恰好是知识的盲点，不要放弃，要对每个条件进行独立推理，可以得到可观的部分分数；例、或且；43013例、；(,)例、 147,2tt例 10、；(0)kab最小值为， 3 ，当时，的值最小，此时，即说明22113, 4abab12ab102ab02例 11、 ()fx cosincosinsi2coxxx2 分22csix2inosin244x11分2sin4x的最小正周期分()fxT 0分524当，即时，有最大值； 10 分x8x()fx2当，即时，有最小值

24、； 12 分21“细节决定一切”：所得分数与自己估计的相差很大时，说明细节出了问题。向量的运算：、几何运算：、向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；,ABaCbACababABC、向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被,B那么减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。、坐标运算：设，则：12(,)(,)axyb、向量的加减法运算：，。1x12)y、实数与向量的积：。,、若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点12(,)(,)

25、AxyB21A坐标减去起点坐标。、平面向量数量积：。1abxy、向量的模：。 222|,|ax、两点间的距离：若，则。1,AB2211|ABxy例、若点是的外心，且，则的内角为_OBC 0OCC例、已知，，则 (2,3),4(sin,co)2Axy且 ,(,)例、；10例、或；6向量的运算律：、交换律：，，；abaab、结合律：，；,cccabab、分配律：，。 c例、下列命题中正确的是_ ；；；cabca)( cbac)(2()ab| 2|ab 若，则或；若则；；00,12 ；；。2ab 2()ab 22()abab例、（答：

26、）向量平行(共线)的充要条件： 0。/a22()(|)ab 12xy例、若向量，当 _时与共线且方向相同；(,1)(4,)axbx例、已知，，，且，则 _；2ubv/uv例、设，则 _时，共线；,2,5(10,)PAkBPCkABC、、例、2；例、4；例、2 或 11；向量垂直的充要条件： .0|abab120xy特别地。()()ABABC、模长及垂直条件i例、已知，若，则 (1,2)(3,)OmOBm例、以原点和为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，，则点的坐标？4 90B例、已知向量，且，则的坐标是_ ,nabn例、；例、 (1,3)或（3，1）

27、；例、2 (,)(,)ba且平移公式：如果点按向量平移至，则；(,)Pxy,ahkPxyxhyk曲线按向量平移得曲线。0f(,)0f例、按向量把平移到，则按向量把点平移到点_a(2,3)(1,2)a7,2)例 2、已知，则把向量按向量平移后得到的向量是？14ABAB13例 3、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则 _xysina 12cosxya例、（，）；例 2、解: 例 3、)2,4(,1)0,(AB),4(四、平面向量的应用：向量在几何中的应用：向量的几何表示是有向线段，其加法和减法的几何意义、模长、平行、垂直等内容的结合。、在几何

28、中的应用“三角形“四心”向量”j在中：ABC若，则其重心的坐标为。123,xyCxy123123,xyG 为的重心，特别地为的重心；()3PGPGAB0PABCPABC 为的垂心；C向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；()(0|ABC 的内心；| |P1、重心(中线交点) G 是 ABC 的重心； 0GABC证明作图如右，图中，连结 BE 和 CE，则 CE=GB， BE=GC BGCE E 为平行四边形 D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线.将代入GBCE13= ，得 = ，故 G 是 ABC 的重心。(反之亦然)GABC0GAE02AGE

29、D 为ABC 的重心( P 是平面上的点).1()3PP证明 G 是 ABC 的重心BC3()()BCPABC = = ，即，由此可得。 AB0A0A1()3PABC例、向量、、满足，，求证是正三角形。1OP23123O123O23例、若为内一点，，则是的（）A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心例、是平面上不共线三点，是的重心，动点满足，ABC、、 OABCP1232OABOC则点一定为的（）PA、边中线的中点、边中线的三等分点（非重心）、重心、边的中点D例、证明由已知 + =- ，两边平方得 = ，同理 = = ，1O2P31OP2

30、2OP31OP2| |=| |=| |= ，从而 P1P2P3是正三角形。12P3反之，若点 O 是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有 + + = 且| |=| |=| |.1230123即 O 是 ABC 所在平面内一点， + + = 且| |=| |=| | 点 O 是正 P1P2P3的中心.230例、解析：由得，如图以 OB、OC 为相邻两边 0ABC A构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，OD2ED，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。2E例、解：；取边的中点，则，由，MB2123OPABOC可得，，即点为三角形中边上的中线的一个三等分点

31、，3OPCP且点不过重心，故选；B2、垂心(高线交点)H 是 ABC 的垂心 HAHCA由 ,()00AB BC 同理， .故 H 是 ABC 的垂心.CBC(反之亦然(证略)若是 (非直角三角形)的垂心，则,:tan:tanBHCAHBSSA故 .tant 0例、是所在平面上一点，若，则 P PACBP是的（）、外心、内心、重心、垂心D例、解析:由 .即CP得 0,0)( CAPB即则，所以 P 为的垂心. 故选 D.ABAB,同理 AB CEDOA BCDHA BCDO14、外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)是的外心 (或 )(点到三边距离相等)OA

32、BCOABC22OABCO（为三边垂直平分线)0若是的外心，则 :sin:si:sinsi2:in;s2BCABSSABABC故 . sin2sisin20例、若为内一点，，则是的（）AB、内心、外心、垂心、重心D例、解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心，选 B。OOC4、内心(角平分线交点，内切圆圆心)是的内心充要条件是OC()()()0|ABCBAA如果记，，的单位向量为，是内心的充要条件可以写成 AB123,e( + )= ( + )= ( + )=1e31e2O0是内心的充要条件也可以是 . 0abcO若是的内心，则

33、 ,:BCABSSa故或 ,0aObcsinsisinC为 ABC 的内心;|ABPCAP向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；()(| A*设是所在平面内任意一点，为内心的充要条件是IBaPAbBcCI例 1、是平面上一个定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：OABC、、，则点轨迹一定经过的（）(),0,PA PC外心内心重心垂心() ()()D例、已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，动点满足、、 P，则的轨迹一定通过的（）,0,2coscsOBCABCP ABC外心内心重心垂心()A()()()D例、已知非零向量

34、与满足，且，则为（）BAC0BAC12ABCAB例 1、分别表示上的单位向量，因此；,A, 表示菱形对角线；（设，角平分线）；BCABDC,ABC 表示，即起点，终点在射线上的向量。()(0A DA BCDO15 表示以为邻边的平行四边形的对角线上动点为终()ABCOP ,()ABCO P点：因为点总在的平分线上，所以点过的内心。选；PABB例、因为与都点乘以后分母可以约去，且有，coscos 0coscsAC即动点满足，其中是边的中点，移向并整理，POBCDBCD得，是的中垂线，选；0,BP B例、角的平分线垂直于

35、；角；等边，选；,AA1,2AC60AD向量在解析中的应用：条件以向量形式给出；定比分点公式以向量的形式给出；解决垂直问题时不用考虑斜率；、在解析中的应用k例、为直角坐标系的原点，平面内，点对应的向量，其中OXY(3,1),ABCOAB，求点轨迹方程？,1RC例、直线与双曲线的渐近线交于两点。记任取双曲线上的点 ,2x42yx21,E12,eE p若满足 ,则满足的等式?),(1RbaePba例、在中，已知，，边上的中线，求的值？AB636cosBAC5BDsinA例、设，，根据，，依据“约束条件”(,)OCxy(,)(1,3)AOO3xy“ ”

36、得：，110(3)xy。(3)()1,25000xyxy例 41)(4)(2)(),(),(),4,2 22212 bababayxPE 即则设例、方法一、建系以为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点位于第一象限，由，则BCx A30sin6B，设，则 .由条件得出4645cos,in,33AB ,0BCx4325,6xBD，从而或（舍去）.故，于是，225xBD2x143,CA16，所以 .314cosBAC 270sin1cos4A方法二、几何设为的中点，连结，则，且，设，在中，余弦定理知：EDEB623DEABExBD，，解得或（舍），2

37、2cosBDB85x173故 .从而，即 .又因为，C2cos3ACA 23C0sin6故 .21703,sinsin406方法三、过点作交于点，延长到使，连结，过点作AHBCHBDP,APC交的延长线于点，则，，而PNN45cos,3AH2103BNH，所以，由，所以 .43C21,C 3sin06A7sin14A向量在解斜三角形的应用：、在解斜三角形的应用l例 1、已知向量，向量与向量的夹角为，且，1,mnm431nm求向量；n若向量与向量的夹角为，向量，1,0q22cos,CpA其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围？C

38、BA、 CBA、 pn例、已知在锐角中，两向量，且与是共线sin,cosi,sico,1sipqAq向量.求的大小；求函数取得最大值时，的大小；23()sincosfxBB例 1、设，由，有夹角为，，yn,1m1yx43143cosnm，则，解得： 2x0或 1,0,1n或由与垂直知，由nq1,0n ,32,3,2ACABCA知17因为，则，1,0n CACApncos,12cos, 21cos23npA，，3523,A23255, ,4np例、 sin1icosinsco0,si,602pq ，当时， .2 2()coi(6)1n3CBfx BB max2f向量在物理中的应用：物理中的速度、位移、力等都是向量，与物理知识结合。、在物理中的应用m

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