1、平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用1 向量的概念与运算【知识要点】1向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量 cba,AB自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量(2)向量的模：向量的长度，记作： |,|向量的夹角：两个非零向
2、量 a，b，作 ，则(AOB 称为向量 a，b 的夹角，记作：a，bbaOBA零向量：模为 0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为 1，方向任意的向量，与 a 共线的单位向量是： )0(|(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量相反向量：长度相等，方向相反的向量向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量记作 ab向量垂直；a，b)90时，向量 a 与 b 垂直，规定：0 与任意向量垂直2向量的几何运算(注意：运算法则、运算律 )(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则(2)减法：三角形法则(3)数乘：记作： a它的长度是
3、： a a它的方向：当 0 时， a 与 a 同向 当 0 时， a 与 a 反向 当 0 时， a0(4)数量积：定义：ababcosa，b其物理背景是力在位移方向所做的功运算律：1(交换律)abba2(实数的结合律) (ab)( a)ba( b)3(分配律)(a b)cacbc性质：设 a，b 是非零向量，则：ab0 aba 与 b 同向时，abab a 与 b 反向时，abab特殊地：aaa 2 或 a|夹角： |ab|a| | b|,cosb3向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)(1)加法：ab(x 1x 2，y 1y 2) (2)减法：ab(
4、x 1x 2，y 1y 2)(3)数乘： a( x1， y1) (4)数量积：abx 1x2y 1y2(5)若 a(x，y)，则 |(6)若 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 221|,cos yxba(7)若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 2121)()(| yxAB(8)a 在 b 方向上的正射影的数量为 21|,cos| xba4重要定理(1)平行向量基本定理：若 a b，则 ab，反之：若 ab，且 b0，则存在唯一的实数 使得 a b(2)平面向量基本定理：如果 e1 和 e2 是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数
5、a1，a 2 使aa 1e1a 2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a(x 1，y 1)，b( x2，y 2) 则：ab x1y2x 2y10，ab x1x2y 1y20(4)若 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 21a【复习要求】1准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题【例题分析】例 1 向量 a、b、c 是非零的不共线向
6、量，下列命题是真命题的个数有( )个(1)(bc)a(ca)b 与 c 垂直， (2)若 acbc ，则 ab，(3)(ab)ca(bc)， (4)ababA0 B1 C2 D3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此( bc)a(c a)bc( bc)(ac)(ca)(bc)0，所以 c(bc)a( ca)b 与 c 垂直；(2)假命题acbcab；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量 a 与向量 b 都是与向量 c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是 a、b 这两个向量不相等；(3)假命题(a b)ca( bc)，实际上( ab)c 是与向量
7、 c 方向相同或相反的一个向量，a(bc)是与 a 方向相同或相反的一个向量，向量 a、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题ababcos a，b ，且 cosa，b1，所以 abab【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量( 共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质例 2 已知向量 a(1，2)，b(2，3) 若向量 c 满足(ca)b，c(ab) ，则 c( )A B C D)37,9( )97,3
8、(97,3)37,9(【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解解：不妨设 c( m，n)，则 ac(1m ，2n)，ab(3，1) ，对于(ca)b，则有3(1 m)2(2n) ；又 c(a b) ，则有 3mn0，则有 故选择 D37,9【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法例 3 (1)已知向量 ，且 A、B、C 三点共线，求实数 k 的值)10,(),54(),12(kOCBkO
9、A(2)已知向量 a(1，1)，b(2，3) ，若 ka2b 与 a 垂直，求实数 k 的值【分析】(1)向量 a 与 b(b0)共线 存在实数 m 使 amb当已知向量的坐标时，ab x1y2x 2y10(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题ab0 ab x1x2y 1y20解：(1) , ,)(),54(),(kOCBkOA )54(),74(kCBkABA、B、C 三点共线， ，即(4 k)(5)(4k)( 7)0，解得：/ 32(2)由(ka2b) a，得( ka2b)aka 22ba2k2(23) 0，所以 k1【评析】向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在
10、实数 m 使 amb；当已知向量的坐标时，ab x1y2x 2y10若判断( 或证明) 两个向量是否共线，只要判断(或证明) 两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合例 4 已知：a2，b5， a，b60，求：ab；(2 ab)b；2ab；2 ab 与 b 的夹角 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：ababcosa，bx 1x2y 1y2，若 a(x，y
11、)，则 |2 2|yx 21|,cos ba解：a2，b5， a，b60，ababcosa，b5；(2ab) b2abbb102535； ;61250164)(| 222 73|)(|,cos 2baba【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式例 5 已知向量 a(sin ，cos 2sin )，b(1 ，2)()若 ab，求 tan的值； ()若ab，0 ，求 的值【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画解：() 因为 ab，所以 2sincos 2si
12、n ， 于是 4sincos ，故 41tan()由ab知，sin 2(cos 2sin )25，所以 12sin2 4sin 25从而2sin2 2(1cos2 )4，即 sin2cos2 1，于是 又由 0 知， ，)2sin( 494所以 ，或 因此 ，或 452472243例 6 设 a、b、c 是单位向量，且 ab0，则(ac)(bc) 的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D) 21【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：a，b，c 是单位向量， (ac)( bc )ab (ab)cc 2 21,cos1ba例 7 在ABC，已知 ，求角 A
13、，B，C 的大小23|.|32ACBA【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题解：设 BCa，ACb，ABc由 得 ，所以|32CBAbcbcos23os又 A(0，)，因此 由 得 ，于是623|BCAa43sinsin2ABC所以 ，43)sinco1(sin,43)5sin( C因此 ，即02i,i2coi2 0)32sin(由 知 ，所以 ，从而 ，或 ，即 ，或6A50342C3C6C，故 ，或3C6,3,B,6,BA2 向量的应用【知识要点】1向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识；2以向量为载体考查三角函数的知识；3在解析几何中用向
14、量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力例 1 若 ，求证三角形 ABC 是正三角形，ABCBA【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论证明 ，即 与 BC 边上的中线垂直，所以0)()( ACBBAB AC，同理 BCBA ，可以得到该三角形是等边三角形；例 2 已知四边形 ABCD 中，若 ，判断四边形 ABCD 的形状DCAB【分析】已
15、知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究解答 1 从几何意义上设 kABD若 k0，则ABC ，BCD，CDA，DAB 都是钝角，与四边形内角和为 360矛盾，舍；同理 k0 时，也不可能，故 k0，即四边形 ABCD 为矩形解答 2 从运算上， 0)()( DCCBCBA同理； 0)()( DCABCDABDAC于是 ，同理 ，得到四边形 ABCD 是平行四边形；/ 2)()( B ，四边形 ABCD 为矩形CA例 3 已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 ，n(cosA，sinA)若)1,3(mmn，且 acosBbcosAcsin C，求角 A，
16、B 的大小【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到 A 角的三角方程，从而求出三角形的内角 A，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角解： ，即 ，三角形内角0sino3nm3tan;3acosBbcosAc sinC，sinAcosBsinBcosAsin 2C，即 sin(AB)sin 2C，sin C1， ,2 6【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达( 比如 等都说明 M 是 AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线 )221OBAMBA、M、或垂直的表达等，要注意
17、分析并积累向量语言表达的信息例 4 已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0 ，0)、C(c，0) (1)若 ，求 c 的值； (2)若 c5，求 sin A 的值0CB解：(1) )4,3(),43(A由 可得3(c3) 160 解得A32c(2)法一 当 c5 时，可得 AB5， ，BC5，ABC 为等腰三角形，C过 B 作 BDAC 交 AC 于 D，可求得 故2B,52sinABD法二 .co|),42(),3( CAA 52sin,0,5cos16cos52例 5 若等边ABC 的边长为 ，平面内一点 M 满足 ，则3AB361_MBA解析：建立直角坐标系，因为三
18、角形是正三角形，故设 C(0，0)， ，利用向量坐标运算，),()0,2(求得 ，从而求得 ，运用数量积公式解得为2)21,3( )5,3(),213(BMA另外，还可以通过向量的几何运算求解解： ),3265()13()()( CABCAMBCAMB ，60cos2,32| C得到 .例 6 已知向量 a(cosa，sina)，b(cos ，sin )，c(1，0)()求向量 bc 的长度的最大值； ()设 ，且 a(bc)，求 cos的值4【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法 1：bc(cos 1，si
19、n )，则bc 2(cos 1) 2sin 22(1cos )1cos 1，0b c 24，即 0bc 2当 cos1 时，有bc2，所以向量 bc 的长度的最大值为 2解法 2：b1，c1，bcbc2当 cos1 时，有bc( 2，0)，即bc2， bc 的长度的最大值为 2(2)解法 1：由已知可得 bc(cos 1，sin )，a(bc) cos cossin sincos cos( )cos a(bc) ，a(bc )0，即 cos( )cos 由 ，得 ，即44oss).(42Zk 或 2k ，(kZ )，于是 cos0 或 cos1k解法 2：若 ，则 ，又由 b(cos ，sin
20、 )，c(1，0) 得42,a ,2sinco)sin,1(co)2,()( cbaa(bc) ，a(bc )0，即 cos(cos1)0sin 1cos ，平方后 sin2(1cos )21cos 2，化简得 cos(cos1)0解得 cos0 或 cos1，经检验， cos0 或 cos1 即为所求例 7 已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b) ，n (sinB，sinA) ，p( b 2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 求ABC 的面积,3【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三
21、角形的条件解决问题证明：(1)m n，asin AbsinB，即 ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，ab，bRa2ABC 为等腰三角形解(2)由题意可知 mp，mp0，即 a(b2)b(a2) 0，abab，由余弦定理可知，4a 2b 2ab(ab) 23ab，即(ab) 23ab40，ab4(舍去 ab1) sin1siCS例 8 已知向量 ，其中)2sin,(co),23sin,(coxxba .2,0(1)求 ab 及ab；(2)若 f(x)a b2 ab的最小值是 ，求 的值【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识解：(1) xxx2
22、cosin23sco3s ,0)(| 2 ba或 2,0cos2s2)sin23(i)cos3| 2 xxx(2)f(x)ab 2abcos2 x4 cosx2cos 2x4 cosx12(cosx )22 21 ,10(s,0x当 0 时；f(x )的最小值是1，不可能是 ，舍；23当 0 1 时，f(x )的最小值是 ，解得12;21当 1 时，f(x )的最小值是 ，解得 ，舍；485向量形式 坐标形式a(x1，y 1)，b(x 2，y 2)运算律向量cba,ABa(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则,1自由向量可以平移相等向量ab 2
23、1yba加法 (平行四边形法则 )ADCB(三角形法则 )ab(x 1x 2，y 1y 2)交换律：abba结合律：a( bc) (ab)c减法(三角形法则)BCAab(x 1x 2，y 1y 2)实数与向量的积a(1)长度是：|a |a|(2)方向：当 0 时， a 与 a 同向当 0 时， a 与 a 反向当 0 时， a0a(x 1，y 1)结合律：(a)(a)(、R )(实数)分配律：(向量)分配律：数量积 ababcos a，b abx 1x2y 1y2abba(ab)( a)ba(b)(a b)ca cb c向量的长度 |a(x，y)，则 2|2121)()| yAB向量的夹角 |
24、,cosbacos a，b 221x向量平行若有实数 ，使 a b，则 ab；反之：若 ab，且 b0，则有且只有一个实数 使 abab x1y2x 2y10向量垂直ab0 abab x1x2y 1y2 0向量的概念与运算练习1平面向量 a，b 共线的充要条件是( )Aa，b 方向相同 Ba，b 两向量中至少有一个为零向量C R，b a D存在不全为零的实数 1， 2， 1a 2b02已知平面向量 a(1，3)，b(4，2) ， ab 与 a 垂直，则 是( )A1 B1 C2 D23已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2) ，B (1，2)，C(3，1) ，且 ，则顶点 D 的坐标为(
25、 )ABC2A B C(3，2) D(1 ，3)27,( )2,(4设ABC 的三个内角 A，B，C，向量 ，若 mn1cos( AB)，)cos3,(),sin,3(Am则 C( )A B C D632655设 a(2k2，4)，b(8，k1)，若 a 与 b 共线，则 k 值为_6已知向量 ，若 ，则 m_),(),1(OAAB7已知 M(3，2) ，N (5，1) ， ，则 P 点坐标为_MN218已知 a21，b 22，(a b)a0，则 a 和 b 的夹角是 _9已知向量 a(x3，x 23x4)与 相等，其中 A(1，2) ，B(3，2)，求实数 x 的值B10已知向量 a 与 b
26、 同向，b(1，2) ，ab10(1)求向量 a 的坐标； (2)若 c(2 ，1)，求(bc) a11若向量 a 与 b 的夹角为 60，b4，(a2b) (a3b)72，求向量 a 的模向量的应用练习1若为 a，b，c 任意向量，m R ，则下列等式不一定成立的是( )A(ab) ca(bc) B(ab)cac bcCm(ab)mamb D( ab)ca(bc)2设 ，且 ab，则 的值是( )31,os,sin3A B C D(4Zk),42Zk)(,4Zk)(,4Zk3在ABC 中， ，且 ab0，则ABC 的形状为( )aCA,A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角
27、形4已知：ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P，且 ，则点 P 与ABC 的位置关系是ABPC( )AP 在ABC 内部 BP 在ABC 外部CP 在 AB 边上或其延长线上 DP 在 AC 边上5若向量 a，b 满足a1，b2，且 a 与 b 的夹角为 ，则ab_36已知向量 a(cos ，sin )，向量 ，则 2ab的最大值是_)1,3(b7若 ，且(a2b) (2ab) ，则 x_,),3(x8已知向量 ，且 ，则向量 _5,64OBAOBAC/,C9平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2，0) ，b 1，求a2b10P 在 y 轴上， Q 在 x 轴的正半轴上，H(
28、 3，0)，M 在直线 PQ 上， PMH,0Q23当点 P 在 y 轴移动时，求点 M 的轨迹 C 方程11已知向量 a(sin ，1)， (1)若 ab，求 ； (2)求ab的最大值2),cos,1(b综合练习1已知平面向量 a(1，2)，b(2，m)，且 ab，则 2 a3b( )A(5，10) B(4，8) C(3，6) D( 2，4)2给出下列五个命题：a 2a 2； ；(ab) 2a 2b2； (ab) 2a 22abb 2；若 ab0，则 a0 或2b0；其中正确命题的序号是( )A B C D3函数 y2 x1 的图象按向量 a 平移得到函数 y2 x1 的图象，则( )Aa(
29、1，1) Ba (1，1) Ca(1，1) Da( 1，1)4若 a21，b 22，(ab)a0，则 a 与 b 的夹角为( )A30 B45 C60 D905已知在ABC 中， 则 O 为ABC 的( ),AOAA内心 B外心 C重心 D垂心6已知 p(1，2)，q( 1，3) ，则 p 在 q 方向上的正射影长为_；7如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： CF2AFBD2 ABD )()(E其中真命题的代号是_( 写出所有真命题的代号) 8给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 120如图所示，点 C 在O以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动若 ，其中 x，y R，
30、则 xy 的最大值是_ByAxC9已知向量 a(2，4)，b(1，1) ，若向量 b(a b)，则实数 的值_；若 ，则向量 a 与bac)(c 的夹角为_；10已知a3，b4，ab2，则ab_11已知 ).1,3(),1(1)证明：ab； (2)若 kab 与 3akb 平行，求实数 k； (3)若 kab 与 kab 垂直，求实数 k12设向量 a(cos23，cos67 )，b(cos68，cos22)，uatb，(tR)(1)求 ab (2)求 u 的模的最小值13在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c， .73tnC(1)求 cosC； (2)若 ，且 ab9，求 c2514已知函数 f(x)kxb 的图象与 x，y 轴相交于点 A，B， ，分别是与 x，y 轴正半轴同方向的ji,(2单位向量)函数 g(x)x 2x 6，(1) 求 k，b 的值；(2) 当 x 满足 f(x)g(x)时，求函数 的最小值)(1xfg15已知向量 a(x 2，x1)，b(1 x ，t)，若 f(x)ab 在区间(1，1)上是增函数，求 t 的取值范围
