1、平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，把数量|a|b| cos 叫做 a 和 b 的数量积( 或内积)，记作 ab.即 ab|a|b|cos ，规定 0a 0.2向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab )a(b)；(3)(ab )cacbc.来源:学科网 ZXXK3平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，结论 几何表示 坐标表示模 |a| aa |a| x21 y21夹角 cos ab|a|b|cos x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2a
2、 b 的充要条件 ab0 x1x2y 1y 20【问题思考】1若 abac，则 bc 吗？为什么？提示：不一定a0 时不成立，另外 a0 时，由数量积概念可知 b 与 c 不能确定来源:学科网2等式(a b)ca(b c)成立吗？为什么？提示：(a b)ca(b c)不一定成立( ab)c 是 c 方向上的向量，而 a(bc)是 a 方向上的向量，当 a与 c 不共线时它们必不相等来源:学科网 ZXXK3|a b|与|a|b| 的大小之间有什么关系 ？提示：|a b|a|b|. 因为 ab|a|b|cos ，所以| ab|a|b|cos | a|b|.【基础自测】1若非零向量 a，b 满足|a
3、| |b|，(2ab)b0，则 a 与 b 的夹角为( )A30 B60 C120 D150解析 ：选 C (2ab) b0，2a bb 20， 来源:Zxxk.Com2|a|b|cos |b| 20.又|a| | b|，2cos 10，即 cos .12又 0， ，即 a 与 b 的夹角为 120.232已知向量 a(1，1)，b(2，x)，若 ab1，则 x( )A1 B C. D112 12解析：选 D a(1，1)，b(2，x)，ab1，2x 1，即 x1.3设向量 a，b 满足|a| |b| 1，ab ，则|a2b| ( )12A. B. C. D.2 3 5 7解析：选 B |a2
4、b| .a 2b2 |a|2 4ab 4|b|21 4( 12) 4 34已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，c t a(1t)b.若 bc0，则 t_.解析：因为向量 a，b 为单位向量，所以 b21，又向量 a，b 的夹角为 60，所以 ab ，由12bc0，得 bt a(1t)b 0 ，即 t ab(1t)b 20，所以 t(1t)0，所以 t2.125已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 _.AEBD解析：选向量的基底为 ， ，则 ， ，那么 ABD12AEBD( )2.12ADBA【考点分析】【考点一】平面向量数量积的概念及运算例 1 (1)已知点 A(
5、 1,1)、B(1,2)、C( 2，1)、D(3,4) ，则向量 在 方向上的投影为ABCD( )A. B. C D322 3152 322 3152(2)如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC 2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 2 AB ，则 的值是 _AF2 EF解 (1)A(1,1)，B(1 ，2)，C(2， 1)，D(3,4)， (2,1)， (5,5)，因此 cos ， ，DABC31010向量 在 方向上的投影为| |cos ， .AB5 31010 322(2)以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则 B( ，0)，
6、E( ，1)，2 2D(0,2)，C( ，2)设 F(x，2)(0x )，由 x x1，所以 F(1,2)， (2 2 ABF2 2 2 A，1)(1 ，2) .2 2 2【互动探究】在本例(2)中，若四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 是 AB 上的动点，求 的值及 的最大值ED解：以 A 点为原点，AB 边所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则正方形各顶点坐标分别为 A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设 E(a，0)，0a1. (a，1)(0 ，1)a0(1) (1)1.DE (a，1)(1,0)a( 1)0a1，故 的最大值为 1. DE
7、C【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式 ab|a| b|cos ；二是坐标公式abx 1x2y 1y2.(2)求复杂的平 面向量数量积 的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简变式：1若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3 ，x )，满足条件(8ab)c30，则 x_.解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3) 又 c(3 ，x)，(8ab)c183x30， x4.2若 e1，e 2 是夹角为 的两个单位向量，ae 12e 2，b ke 1e 2，若 ab0，则实数 k 的值23为_解析： e1
8、，e2 的模为 1，且其夹角 .23ab(e 12e 2)(ke1e 2)k e e 1e22ke 1e22e21 2k(1 2k)cos 22k .23 52又 ab0，2 k 0，即 k .52 54【考点二】平面向量的夹角与模的问题1平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题2高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模例 2 (1)若非零向量 a，b 满足|a| 3|b| a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_(2)已知向量 与 的夹角为 120，且
9、| |3，| |2.若 ，且ABCABCAPBC ，则实数 的值为 _P(3)在平行四边形 ABCD 中， AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若 1, 则 ABE的长为_解 (1)由|a|a2b|，两 边平方，得|a| 2| a2b| 2|a| 24|b| 24ab，所以 ab| b|2.又|a |3|b|，所以 cosa，b .ab|a|b| |b|23|b|2 13(2) ， 0，APBC( ) 0，即( )( ) 2 2 ABCABCABC0.向量 与 的夹角为 120，| |3， | |2，(1)| | |co s 1209 40，解得 . 712(3)法一：由题意可知， ， .
10、因为 1，所以ABDE12ABDBE( ) 1，即 2 21.ABD212 12因为| |1， BAD60 ，所以| | ，即 AB 的长为 .12 12法二：以 A 为原点，AB 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系，过 D 作 DMAB 于点 M.由AD1， BAD60，可知 AM ，DM .来源:学科网 ZXXK12 32设|AB| m(m0)，则 B(m,0)，C ，D .(m 12，32) (12，32)因为 E 是 CD 的中点，所以 E .所以 ， .来源:学科网(m2 12，32) BE(12 12m，32) AC(m 12，32)由 1，可得 1，即 2m2m 0，所以 m0(
11、舍去)或 .AC(m 12)(12 12m) 34 12故 AB 的长为 .12答案 (1) (2)5 (3)13 12【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角 cos ，要注意 0，ab|a|b|(2)两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：aba b0| ab|ab|.(3)求向量 的模利用数量 积求解 长度问题的处理方法有：a2a a|a| 2 或| a| .aa|ab| .ab2 a22ab b2若 a (x，y)，则| a| .x2 y2变式：1若 a(1,2)，b(1 ，1)，则 2ab 与 ab 的夹角等于( )A B. C. D.4 6 4
12、 34解析：选 C 2ab2(1,2) (1 ，1) (3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)， (2ab)( ab) 9， |2ab|3 ，|ab| 3.2设所求两向量夹角为 ，则 cos ，又 0，故 .9323 22 42已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则k_.解析：a 与 b 是不共线的单位向量，|a| |b|1.又 kab 与 ab 垂直，(ab)(k ab) 0，即 ka2kababb 20.k1kaba b0，即 k1kcos cos 0( 为 a 与 b 的夹角)(k1)(1cos )0，又 a与 b 不共线，co
13、s 1，k1.3已知平面向量 ，| |1，(2,0)，(2 )，则|2 |的值为_解析：(2,0)， |2，又 (2 )，( 2) 22120. .12(2) 24 2 2444210.|2 | .10【考点三】 平面向量数量积的应用例 3 已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0，所以 ， .12 56 6【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题 形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向
14、量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.变式：设向量 a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若 a 与 b2c 垂直，求 tan( )的值；(2)若 tan tan 16，求证：ab.解：(1)由 a 与 b2c 垂直，得 a(b2c)ab2a c0，即 4sin() 8cos( )0 ，tan() 2.(2)证明：由 tan tan 16，得 sin sin 16cos cos ，即4cos 4cos sin sin 0，所以 ab.小结】1 个条件两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件 为：a ba b0.2 个
15、结论与向量夹角有关的两个 结论(1)若 ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角或 0；(2)若 ab0，即 (1,2)(1 ，2)0.(1 )2(2)0. .53当 a 与 ab 共 线时，存在 实数 m，使 abm a，即(1， 2)m(1,2) ，Error!解得 0.即当 0 时，a 与 a b 共线，综上可知，实数 的取值范围为 (0，)( 53，0)11在平面直角坐标系 x Oy 中，已知点 A(1，2)，B (2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( t ) 0，求 t 的值ABOC解：(1)由 题设 知 (3,5)， ( 1,1)，则 (2,6) ， (4,4)AB所以| |2 ，| |4 .故所求的两条对角线长分别为 2 ，4 .10 2 10 2(2)由题设知 (2，1)， t (32t, 5t )由( t ) 0，得(32t, 5t )(2， 1)0，从而 5t11，所以 t .115
