1、2015-2016 学年江西省上饶中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科） （B 、C）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） “sin= ”是“ cos2= ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 （5 分）设 M=y|y=2x，x R，N=y|y=x 2，xR，则（ ）AMN=（2，4） BM N=（2，4） ， （4，16） CM=N DMN3 （5 分）已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为（ ）A5 B4 C3 D24 （5 分）已知函数 f（x）= ，则 f
2、（5 ）= （ ）A32 B16 C D5 （5 分）若非零向量 满足 ， ，则 的夹角为（ ）A30 B60 C120 D1506 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 =3，则 =（ ）A2 B C D37 （5 分）在ABC 中，已知 B=60且 b= ，则ABC 外接圆的面积是（ ）A B C D28 （5 分）已知命题 P：“ x1，2，x 2+1a“，命题 q： “xR，x 2+2ax+2a=0，当命题“p q”真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa2 或 a 1 Ba 2 或 1a2 Ca 1 D2a19 （5 分）设偶函数 f（x）=log a|ax+b|在
3、（0，+）上单调递增，则 f（b2）与 f（a+1）的大小关系是（ ）Af（b 2）=f（a +1） Bf（b2）f（a+1） Cf（b2）f（a+1） D不能确定10 （5 分）若函数 f（x）=sin（x+）的图象（部分）如图所示，则 和 的取值是（ ）A =1， = B =1，= C = ，= D= ，=11 （5 分）设 f（x）=xlnx，若 f（x 0）=2 ，则 x0=（ ）Ae 2 Be C Dln212 （5 分）已知 O 为直角坐标系原点， P，Q 坐标均满足不等式组 ，则使 cosPOQ 取最小值时的POQ 的大小为（ ）A B C2 D二、填空题（本大题共 4 小题，每
4、题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13 （5 分）若命题“xR，使 x2+（a 1）x+10”是假命题，则实数 a 的取值范围为 14 （5 分）直线 l 上有不同三点 A，B，C ，O 是直线 l 外一点，对于向量+ （ 是锐角）总成立，则 = 15 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）f （x +2）=13，f（1）=2，则f（2015）= 16 （5 分）已知二次函数 f（ x）=2x 2（a2）x 2a2a，若在区间0，1内至少存在一个实数b，使 f（b）0，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知 f（
5、x）=asinx+bcosx（a0） ，且当 f（ ）= 时 f（x）的最大值为（1）求 a，b 的值（2）若 f（x）=1 且 xk， （k Z）求 sin2x 的值18 （12 分）已知函数 f（x） =ax x2 的最大值不大于 ，又当 x ， 时，f（x） ，求 a 的值19 （12 分）设命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，其中 a0，命题 q：实数 x 满足（）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围20 （12 分）在数列a n中，a 1=1，a n+1=2an+2n（）设 bn= 证明：数列b n是
6、等差数列；（）求数列a n的前 n 项和 Sn21 （12 分）已知直线 l：Xy+1=0，O：x 2+y2=2 上的任意一点 P 到直线 l 的距离为d当 d 取得最大时对应 P 的坐标（m ，n） ，设 g（x）=mx+ 2lnx（1）求证：当 x1，g（x）0 恒成立；（2）讨论关于 x 的方程： 根的个数选做题：（请考生从 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分。 ） （共2 小题，满分 10 分）22 （10 分）在直线坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =2cos，直线 l 过点 A（1，2
7、） ，且倾斜角为 （1）求直线 l 的参数方程及圆 C 的直角坐标方程；（2）判断直线 l 与圆 C 的位置关系23已知函数 f（x）=|x+a |+|x2|（aR） （1）若 f（x）的最小值为 1，求实数 a 的值；（2）若 a=3，求不等式 f（x）3 的解集2015-2016 学年江西省上饶中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科） （B、C）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2009 湖北） “sin= ”是“ cos2= ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用二倍角的
8、余弦函数公式化简 cos2= ，得到 sin 的值等于两个值，得到“sin= ”是“ ”的充分不必要条件即可【解答】解：由 可得 12sin2= ，即 sin2= ，sin= ，故 是 成立的充分不必要条件，故选 A【点评】此题考查学生掌握充分及必要条件的证明方法，灵活意义二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道基础题2 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）设 M=y|y=2x，x R，N=y|y=x 2，xR，则（ ）AMN=（2，4） BM N=（2，4） ， （4，16） CM=N DMN【分析】集合 A 和集合 B 都是数集，M 是指数函数的值域，N 是函数 y=x2，xR 的值域，
9、求出两集合后可得答案【解答】解：集合 M=y|y=2x，x R=y|y0，集合 N=y|y=x2，xR =y|y0，则 MN=M，MN故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了指数函数和二次函数的值域，属基础题3 （5 分） （2006 广东）已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A5 B4 C3 D2【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即 5a1+（2d+4d+6d+8d） ，写出数列的第二、四、六、八、十项的和即 5a1+（d+3d+5d+7d+9d） ，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果【解答】解： ，故选 C【点评】等差数
10、列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数4 （5 分） （2014 大武口区校级一模）已知函数 f（x）= ，则 f（5）=（ ）A32 B16 C D【分析】根据题设条件知 f（ 5）=f（2）=f（1）=2 1= 【解答】解：f（5）=f（2） =f（1）=2 1= 故选 C【点评】本题考查函数值的求法，根据题设条件知 f（5）=f（2）=f（1）=2 1= 5 （5 分） （2010 湖南）若非零向量 满足 ， ，则 的夹角为（ ）A30 B60 C120 D150【分析】由（2 + ） =0，化
11、简得到| |2=2 ，结合条件| |=| |，将化简式变为| | |=2 ，再结合 cos= ，易求出 与 的夹角 【解答】解：（2 + ） =0（2 + ） = 2+2 =0即| |2=2 又| |=| | |2=| | |=2 又由 cos=易得：cos= 则 =120故选：C【点评】若 为 与 的夹角，则 cos= ，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握6 （5 分） （2009 辽宁）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 =3，则 =（ ）A2 B C D3【分析】首先由等比数列前 n 项和公式列方程，并解得 q3，然后再次利用等比数列前 n 项和公式则求得答案【解答】解
12、：设公比为 q，则 = = =1+q3=3，所以 q3=2，所以 = = = 故选 B【点评】本题考查等比数列前 n 项和公式7 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）在ABC 中，已知 B=60且 b= ，则ABC 外接圆的面积是（ ）A B C D2【分析】利用正弦定理列出关系式，将 b 与 sinB 的值代入计算求出 R，即可确定出外接圆面积【解答】解：根据正弦定理得： =2R，且 B=60，b= ，R= = =1，则ABC 外接圆面积是 故选 C【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键8 （5 分） （2012 昌乐县校级模拟）已知命题 P
13、：“x1，2，x 2+1a“，命题q：“ xR，x 2+2ax+2a=0，当命题“pq”真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa2 或 a 1 Ba 2 或 1a2 Ca 1 D2a1【分析】据复合命题的真假与简单命题真假的关系，得到 p，q 全真；p 真即不等式恒成立转化成求最值，q 真即二次方程有根，0【解答】解：“pq” 为真命题，得 p、q 为真，若 p：“x1，2，x 2+1a”为真，则有 a（x 2） min=2，即 a2；若 q：“xR ， x2+2ax+2a=0”为真，则有=4a 24（2a ）0，即 a2，或 a1综上 a2 或 1a2故选 B【点评】本题考查复合命题的真假
14、与简单命题真假的关系及如何解决不等式恒成立问题，二次方程有根问题9 （5 分） （2012 陆川县校级一模）设偶函数 f（x）=log a|ax+b|在（0，+）上单调递增，则 f（b 2）与 f（a+1）的大小关系是（ ）Af（b 2）=f（a +1） Bf（b2）f（a+1） Cf（b2）f（a+1） D不能确定【分析】由条件可得 b=0，a1，故 f（b2）=f（2）=f （2） ，故 a+12，由函数的单调性求出 f（a+1）f（2） ，由此求得结论【解答】解：偶函数 f（x）=log a|ax+b|在（0，+）上单调递增，故 b=0，a1故 f（b 2）=f（ 2）=f（2） ，故
15、a+12，f（a+1）f（2） 综上，f（b 2）f（a+1） ，故选 C【点评】本题考查对数函数的单调性和特殊点，利用函数的单调性比较两个式子的大小，判断 b=0，a1，是解题的关键10 （5 分） （2004 辽宁）若函数 f（x）=sin（x+ ）的图象（部分）如图所示，则 和 的取值是（ ）A =1， = B =1，= C = ，= D= ，=【分析】由图象知函数 f（x）的最小正周期是 4，进而求得 w，再根据 f（ ）=1 求得【解答】解：由图象知，T=4 （ + ）=4= ，= 又当 x= 时，y=1 ，sin（ +）=1， +=2k+ ，kZ，当 k=0 时，= 故选 C【点评
16、】本题主要考查利用函数 y=Asin（x+）的图象来确定函数解析式得问题要注意观察图象的周期、与 x 轴 y 轴的交点，利用这些特殊点来求11 （5 分） （2008 海南）设 f（x）=xlnx，若 f（x 0）=2，则 x0=（ ）Ae 2 Be C Dln2【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出 f（x 0）=2 解方程即可【解答】解：f（x）=xlnxf（x 0）=2lnx 0+1=2x 0=e，故选 B【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分12 （5 分） （2012 碑林区校级模拟）已知 O 为直角坐标系原点，P，Q
17、坐标均满足不等式组 ，则使 cosPOQ 取最小值时的POQ 的大小为（ ）A B C2 D【分析】画出不等式组式组 ，对应的平面区域，利用余弦函数在0，上是减函数，再找到POQ 最大时对应的点的坐标，就可求出 cosPOQ 的最小值【解答】解：作出满足不等式组 ，因为余弦函数在0，上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当 P 与 A（1，7）重合，Q 与 B（4，3）重合时，POQ 最大此时 kOB= ，k 0A=7由 tanPOQ= =1POQ=故选 D【点评】本题属于线性规划中的拓展题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）围成的角的问题，注意
18、夹角公式的应用二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13 （5 分） （2010 盐城三模）若命题“xR ，使 x2+（a1 ）x+10”是假命题，则实数 a 的取值范围为 1a 3 【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“xR，使 x2+（a 1）x+10”的否定是：“ xR，使 x2+（a1）x+10”即：=（a 1） 240，1 a3故答案是1a3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题14 （5 分） （2013 临淄区校级模拟）直线 l 上有不同三点 A，B，C，O 是直线 l 外一点，对于向量 + （ 是锐角）
19、总成立，则 = 45 0 【分析】若向量 = + ，则 A、B、C 三点共线的充要条件是 +=1，由此结合题意建立关于 的方程，解之即可得到角 的度数【解答】解：A、B、C 三点共线，且向量 +（1cos）+sin=1 ，可得 cos=sin两边都除以 cos，得 tan=1 是锐角，=45故答案为：45【点评】本题给出向量含有三角函数系数的线性表达式，求角 的度数着重考查了同角三角函数基本关系和平面向量的基本定理等知识，属于基础题15 （5 分） （2015 秋 上饶校级月考）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x） f（x+2）=13，f（1）=2 ，则 f（2015）= 【分析】由条
20、件：“f（x） f（x+2）=13”得出函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，从而利用 f（1）的值求出 f（2015）的值【解答】解：f（x）f（x+ 2）=13f（x+2）f （x+4）=13 ，f（x+4）=f（x） ，f（x）是一个周期为 4 的周期函数，f（2015）=f（4503+3） =f（3）=f （1+2）= = ，故答案为： 【点评】本题主要考查函数值的计算，考查分析问题和解决问题的能力，利用条件判断函数的周期性是解决本题的关键16 （5 分） （2014 陕西三模）已知二次函数 f（x）=2x 2（a2）x 2a2a，若在区间0，1内至少存在一个实数 b，使 f（ b）0，则实数 a 的取值范围是 （2，1） 【分析】二次函数开口向上，若 f（0）0 且 f（1）0 ，则区间0，1内均有 f（x）0，求出 a 的范围，取其否定，即可得出结论【解答】解：二次函数开口向上，若 f（0）0 且 f（1） 0，则区间0，1内均有 f（x）0f（0）=2a 2a，f（1）=2a 22a+4=2（a+2） （a 1）f（0）0 则有 a0 或 a ；f（1）0 则有 a1 或 a 2故当 a2 或 a1 时，0，1内不存在 b 满足条件，即当2 a1 时，区间0，1内至少存在一个实数 b，使 f（b）0
