1、2015-2016 学年福建省三明一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科） （平行班）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填在答题卡的相应位置 ）1已知集合 M=（，0）3 ，+） ，N=0，1，2，3 ，则（ RM）N=（ ）Ax|0x3 B0，1 C0，1，2 D1 ，2，32命题 p：|x+2|2，命题 p： 1，则 q 是p 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3ABC 中，b=7，c=3，B=60，则 a=（ ）A5 B6 C4 D84已知三个数 2，m，
2、8 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ）A B C 或 D 或5设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 a40，a 5|a 4|，则使 Sn0 成立的最小正整数 n 为（ ）A6 B7 C8 D96将函数 f（x）=sin（x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变） ，再将它的图象向左平移 个单位（ 0） ，得到了一个偶函数的图象，则 的最小值为（ ）A B C D7在数列a n中，若 a1=2， an+1=an+n2n，则 an=（ ）A （n2 ）2 n B1 C （1 ） D （1 ）8已知直线 ax+y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点，则直线与抛物线
3、相交弦弦长为（ ）A6 B7 C8 D99若直线 y=x+b 与曲线 y=3 有公共点，则 b 的取值范围是（ ）A ，3 B ，3 C1， D ， 10设 P，Q 分别为圆 x2+（y6） 2=2 和椭圆 +y2=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是（ ）A5 B + C7+ D611如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB=AC，侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为（ ）A2 B1 C D12已知函数 f（x）是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 xf（x+1）=（1+x）f （
4、x） ，则 的值是（ ）A0 B C1 D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相应位置 ）13若函数 f（2x）的定义域是 1，1 ，则函数 f（2x1）+f（2x+1）的定义域是 14已知直线 l 过圆 x2+y26y+5=0 的圆心，且与直线 x+y+1=0 垂直，则 l 的方程是 15数列a n满足： a1= ，a n+1=an+ ，则实数a n的通项公式为 an= 16已知 F 为双曲线 C： 的左焦点，P，Q 为 C 上的点，若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则 PQF 的周长为 三、解答题：（本大题
5、共 6 小题，共 70 分，请将答案写在答题卡的相应位置 ）17设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，且 3b2+3c23a2=4 bc（）求 sinA 的值；（）求 的值18在平面直角坐标系中，O 为原点，A （1，0） ，B （0， ） ，C（3，0） ，动点 D 满足| |=1，求（）动点 D 的轨迹（）求| + + |的最大值19如图，四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCD， ABAD，PAB 和 PAD 是两个边长为2 的正三角形，DC=4 ，O 为 BD 的中点，E 为 PA 的中点（）求证：PO 平面 ABCD；（）求证：OE 平面 PDC；（）求直线
6、 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值20平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： （ab0）右焦点的直线 x+y =0 交 M 于A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 （）求 M 的方程（）C，D 为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值21已知 a 是实常数，函数 f（x）=xlnx+ax 2（1）若曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线过点 A（0， 2） ，求实数 a 的值；（2）若 f（x）有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，求证： a0；求证：f（x 1）0，f（x 2） 22已知等差数列a n的公差不为
7、零， a1=25，且 a1，a 11，a 13 成等比数列（）求a n的通项公式；（）求 a1+a4+a7+a3n22015-2016 学年福建省三明一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科） （平行班）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填在答题卡的相应位置 ）1已知集合 M=（，0）3 ，+） ，N=0，1，2，3 ，则（ RM）N=（ ）Ax|0x3 B0，1 C0，1，2 D1 ，2，3【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据全集 U 及 M，求出 M 的补集，找出 M
8、补集与 N 的交集即可【解答】解：全集为 R，M=（，0）3 ，+） ，N=0，1，2，3 ，RM=0，3） ，则（ RM）N=0，1，2 ，故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2命题 p：|x+2|2，命题 p： 1，则 q 是p 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】先通过解不等式化简命题 p，q，然后求出p，q，判断p 成立q 成立，反之q 成立p 不一定成立；利用充要条件的有关定义得到答案【解答】解：命题 p：|x+2|2 即为 x0
9、或 x 4；命题 p： 1 即为 2x3；所以p：4x0，q：x2 或 x3；所以p 成立q 成立，反之q 成立p 不一定成立；所以q 是p 成立的必要不充分条件，故选 B【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简各个条件，再确定好哪个为条件角色，再两边互推一下，利用充要条件的有关定义加以判断3ABC 中，b=7，c=3，B=60，则 a=（ ）A5 B6 C4 D8【考点】余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】直接利用余弦定理列出关系式，即可求出 a 的值【解答】解：ABC 中，若 c=3，b=7，B=60，由余弦定理：b 2=a2+c22accosB 得：a 23a40=0，
10、解得：a=8 或 a=5（舍去） 故选 D【点评】本题考查余弦定理的应用，三角形的解法，求解角的问题一般利用余弦定理，求解边的问题，一般利用正弦定理4已知三个数 2，m，8 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ）A B C 或 D 或【考点】双曲线的简单性质；等比数列的性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用等比数列的定义即可得出 m 的值，再利用椭圆与双曲线的离心率的计算公式即可得出【解答】解：三个数 2，m，8 构成一个等比数列，m 2=28，解得 m=4当 m=4 时，圆锥曲线 表示的是椭圆，其离心率 e= = = = ；当 m=4 时，圆锥曲线 表示的是双曲线，其离心
11、率 e= = = = 故选 C【点评】熟练掌握等比数列的定义、椭圆与双曲线的离心率的计算公式是解题的关键5设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 a40，a 5|a 4|，则使 Sn0 成立的最小正整数 n 为（ ）A6 B7 C8 D9【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据给出的已知条件，得到 a5+a40，然后由等差数列的前 n 项和公式，结合等差数列的性质得答案【解答】解：在等差数列a n中，a40，a 5|a 4|，得a50，a 5+a40，使 Sn0 成立的最小正整数 n 为 8故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题6
12、将函数 f（x）=sin（x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变） ，再将它的图象向左平移 个单位（ 0） ，得到了一个偶函数的图象，则 的最小值为（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得所得函数为 y=sin（2x+2 ） ，再根据 y=sin（2x+2 ）为偶函数，可得 2 =k+ ，kz，由此求得 的最小值【解答】解：将函数 f（x）=sin（x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变） ，可得函数 y=sin（2x ）图象；再将它的图象向左平移
13、 个单位（ 0） ，可得函数 y=sin2（x+） =sin（2x+2 ）的图象，再根据 y=sin（2x+2 ）为偶函数，可得 2 =k+ ，kz，即 = + ，则 的最小值为，故选：C【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题7在数列a n中，若 a1=2， an+1=an+n2n，则 an=（ ）A （n2 ）2 n B1 C （1 ） D （1 ）【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】利用累加法和错位相减法求数列的通项公式【解答】解：a n+1=an+n2n， an+1an=
14、n2n，ana1=anan1+an1an2+a2a1=（n1） 2n1+222+121，2（ an+2）= （ n1） 2n+（n2） 2n1+223+122，（a n+2）=（ n1）2 n+2n1+2n2+23+22+2=（n1） 2n+ =（n 1） 2n2+2n，an=（n 1）2 n+22n2=（n2）2 n，故选：A【点评】本题考查了数列递推式，训练了累加法和错位相减法求数列的通项公式，是中档题8已知直线 ax+y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（ ）A6 B7 C8 D9【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析
15、】求出抛物线的焦点和准线方程，代入焦点，可得 a=1，联立直线和抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义可得弦长 AB=x1+x2+p=6+2=8【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点为（1，0） ，准线为 x=1，由题意可得，a+1=0，解得 a=1，联立直线 y=x1 和抛物线方程 y2=4x，可得 x26x+1=0，设交点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，即有 x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x 1+x2+p=6+2=8故选 C【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题9若
16、直线 y=x+b 与曲线 y=3 有公共点，则 b 的取值范围是（ ）A ，3 B ，3 C1， D ， 【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】曲线即 （x2） 2+（y3） 2=4（1 y3） ，表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆，由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2，解得 b结合图象可得 b 的范围【解答】解：如图所示：曲线 y=3 ，即 （x2） 2+（y3） 2=4（ 1y3，0x4） ，表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2，可得 =2， b=1+2 ，或 b=12 结合图象可得
17、12 b3，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题10设 P，Q 分别为圆 x2+（y6） 2=2 和椭圆 +y2=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是（ ）A5 B + C7+ D6【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出 P，Q 两点间的最大距离【解答】解：设椭圆上的点为（x，y） ，则圆 x2+（y 6） 2=2 的圆心为（0，6） ，半径为 ，椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为 = =5 ，P， Q 两点间的最大距离是
18、 5 + =6 故选：D【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题11如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB=AC，侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为（ ）A2 B1 C D【考点】球内接多面体【专题】空间位置关系与距离【分析】判断球心的位置，设正方形的边长，利用勾股定理求出边长，然后求解四边形的面积【解答】解：球心在平面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，BAC=90 ，底面外接圆的圆心 N 位于 BC 的中点，A1B1C1 的外心 M 在 B1C1 中点上，设正方形 BCC1B1 的边长为 x，RtOMC1 中，OM= ， ，OC 1=R=1， ，即 x= ，则 AB=AC=1，故选：C【点评】本题考查与球有关的几何体的问题，考查勾股定理，空间点、线、面的位置关系的应用12已知函数 f（x）是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 xf（x+1）=（1+x）f （x） ，则 的值是（ ）A0 B C1 D【考点】函数的值；偶函数【专题】计算题；压轴题【分析】从 xf（x+1 ）= （1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得 ，再由 依此求解【解答】解：若 x0，则有 ，取 ，则有：f（ x）是偶函数，则
