1、2015-2016 学年海南省海口中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用 2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答1 （5 分）已知集合 U=R，A= x|3xx20，B=y|y=log 2（x+1） ，x A，则 A（ UB）为（ ）A2，3） B （2，3） C （0，2） D2 （5 分）已知复数 z=1+i，则复数 的共轭复数为（ ）A3i B3+i C5+3i D53i3 （5 分）双曲
2、线 2x2y2=8 的实轴长是（ ）A4 B4 C2 D24 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 bm ，则“ ”是“ab”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 me，众数为 mo，平均值为 ，则（ ）Am e=mo= Bm e=mo Cm em o Dm om e6 （5 分）定义： ，其中 为向量 与 的夹角，若 ， ，则 等于（ ）A8 B8 C 8 或 8
3、 D67 （5 分）已知角 的终边经过点 ，则对函数 f（x）=sin cos2x+coscos（2x ）的表述正确的是（ ）A对称中心为B函数 y=sin2x 向左平移 个单位可得到 f（x）Cf（x）在区间 上递增D方程 f（x）=0 在区间 上有三个零点8 （5 分）已知 z=2x+y，其中实数 x，y 满足 ，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ）A B C4 D9 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a2+a4=154，a 7+a9=114，则当 Sn 取得最小值时的 n为（ ）A20 B21 C22 D2310 （5 分）已知 M 是ABC
4、 内的一点，且 ，BAC= ，若MBC，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y，则 的最小值为（ ）A16 B18 C20 D2411 （5 分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=x（x表示不大于 x 的最大整数）可以表示为（ ）Ay= By= Cy= Dy= 12 （5 分）设 P 是 60的二面角 l 内一点，PA 平面 ，PB 平面 ，A，B 为垂足，PA=4 ，PB=2 ，则 AB 的长为：（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4
5、 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷中的横线上） 13 （5 分）已知 x、y 的取值如下表所示，若 y 与 x 线性相关，且 =0.95x+ ，则 = x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.714 （5 分）已知函数 的部分图象如图所示，则满足f（x）1 的 x 的区间为 15 （5 分）已知两圆相交于 A（1，3） ，B（3， 1）两点，且两圆圆心都在直线 y=mx+n 上，则 m+n= 16 （5 分）设 M 是椭圆 + =1 上的一点，F 1、F 2 为焦点，F 1MF2= ，则MF 1F2 的面积为 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知函数（）求函数 f（x）在区间 上的最大值和最小值；（）在ABC 中，三内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f（x）的图象经过点 ，b、a、c 成等差数列，且ABC 的面积为 ，求 a 的值18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BCD=60，已知 PB=PD=2，（）证明：PCBD；（）若 E 为 PA 的中点，求二面角 PBCE 的余弦值19 （12 分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，
7、重量的分组区间为（490，495， （495，500， （510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列（3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率20 （12 分）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F（0， c） （c0）到直线 l：x y2=0 的距离为 ，设P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点（1）求抛物线 C 的方程；
8、（2）当点 P（x 0，y 0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；（3）当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值21 （12 分）已知 a0，函数 f（x）=lnxax 2，x0 （f （x）的图象连续不断）（）当 a= 时求 f（x）的单调区间；证明：存在 x0（2，+） ，使 f（x 0）=f（ ） ；（）若存在均属于区间1，3的 ，且 1，使 f（）=f（） ，证明 选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，ABC 为圆的内接三角形，AB=AC，BD 为圆的弦，且 BDAC过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F（1
9、）求证：四边形 ACBE 为平行四边形；（2）若 AE=6，BD=5 ，求线段 CF 的长选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知圆锥曲线 C： （ 为参数）和定点 A（0， ） ，F 1、F 2 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 AF2 的直角坐标方程；（2）经过点 F1 且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点，求|MF 1|NF1|的值选修-不等式24设函数 f（x）=2|x 1|+|x+2|（）求不等式 f（x）4 的解集；（）若不等式 f（x）|m2|的解集是非空集合，求实数 m 的取值范围2015-
10、2016 学年海南省海口中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用 2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答1 （5 分） （2014 宁城县模拟）已知集合 U=R，A=x|3xx 20，B= y|y=log2（x+1） ，xA，则A（ UB）为（ ）A2，3） B （2，3） C （0，2） D【分析】解一元二次不等式求得 A、解对数不等式求得 B，从而求得 A（ UB） 【解答】
11、解：A=x|3x x20=x|0x3） ，B=y|y=log 2（x+1） ，x A=x|0x2，则 A（ UB）= x|0x3x|x0，或 x2=x|2x3，故选：A【点评】本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法，集合间的运算，属于中档题2 （5 分） （2012 春 临川区校级期中）已知复数 z=1+i，则复数 的共轭复数为（ ）A3i B3+i C5+3i D53i【分析】先由复数的运算化简复数 Z，然后再由共轭复数的定义可得答案【解答】解：由题意可得 = = 3 i，故 Z 的共轭复数为：3+i故选 B【点评】本题为复数的基本运算，涉及共轭复数的定义，属基础题3 （5 分） （2
12、011 安徽）双曲线 2x2y2=8 的实轴长是（ ）A4 B4 C2 D2【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长【解答】解：双曲线 2x2y2=8，可化为a=2，双曲线 2x2y2=8 的实轴长是 4故选 B【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题4 （5 分） （2012 安徽）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且bm，则“ ”是“ ab” 的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论【解答】解：bm，当 ，则由面面
13、垂直的性质可得 ab 成立，若 ab，则 不一定成立，故“” 是“ ab” 的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键5 （5 分） （2011 江西）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 me，众数为 mo，平均值为 ，则（ ）Am e=mo= Bm e=mo Cm em o Dm om e【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定
14、义求出平均值，比较它们的大小【解答】解：由图知 m0=5，有中位数的定义应该是第 15 个数与第 16 个数的平均值，由图知将数据从大到小排第 15 个数是 5，第 16 个数是 6，所以5.9故选：D【点评】本题考查利用众数、中位数、平均值的定义求出一组数据的众数、中位数、平均值；注意：若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值6 （5 分） （2012 泉州校级模拟）定义： ，其中 为向量 与 的夹角，若， ， ，则 等于（ ）A8 B8 C 8 或 8 D6【分析】由 求出 cos 的值，进而得到 sin 的值，再由 运算求得结果【解答】解：由题意可得 25cos=6，解得 cos= ，
15、再由 0 可得 sin= =25 =8，故选 B【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求出 sin= ，是解题的关键，属于中档题7 （5 分） （2015 秋 海南校级月考）已知角 的终边经过点 ，则对函数 f（x）=sincos2x+coscos（2x ）的表述正确的是（ ）A对称中心为B函数 y=sin2x 向左平移 个单位可得到 f（x）Cf（x）在区间 上递增D方程 f（x）=0 在区间 上有三个零点【分析】由题意：角 的终边经过点 ，求出 sin，cos 的值，带入化简函数 f（x） ，根据三角函的性质对下列各选项进行判断即可得到答案【解答】解：由题意：角 的终边经过点 ，那么
16、：sin= ，cos =则：函数= cos2x sin2x=cos（2x+ ）对称中为（ ，0） （k Z） ，考查 A 不对函数 y=sin2x 向左平移 个单位得到：sin2 （x ） =cos（2x ） ，故 B 不对函数 f（x）在 2k2x+ 2k， （k Z）是增函数，考查 C 对如果 x 上，则 2x+ ， （kZ） ，方程 f（x）=0 只有 1 个零点D 不对故选 C【点评】本题考查了三角函数的定义和三角函数的化简计算，性质的综合应用属于中档题8 （5 分） （2015 文昌校级模拟）已知 z=2x+y，其中实数 x，y 满足 ，且 z 的最大值是最小值的4 倍，则 a 的值
17、是（ ）A B C4 D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的4 倍，建立方程关系，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大，由 ，解得： ，即 A（1，1） ，此时 z=21+1=3，当直线 y=2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得： ，即 B（a ，a ） ，此时 z=2a+a=3a，目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，3=4
18、3a，即 a= ，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键9 （5 分） （2015 秋 海南校级月考）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a2+a4=154，a 7+a9=114，则当 Sn 取得最小值时的 n 为（ ）A20 B21 C22 D23【分析】利用等差数列通项公式可得 an，令 an0，解得 n 即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 2+a4=154，a 7+a9=114，2a 1+4d=154，2a 1+14d=114，解得 a1=85，d=4a n=85+4（n 1）=4n 89，令 an=4n890，解得 n2
19、2则当 Sn 取得最小值时的 n 为 22故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分） （2015 烟台一模）已知 M 是ABC 内的一点，且 ，BAC= ，若MBC ，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y，则 的最小值为（ ）A16 B18 C20 D24【分析】由 ，BAC= ，利用数量积运算可得 ，即 bc=4利用三角形的面积计算公式可得 SABC = =1已知MBC ，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y可得 ，化为 x+y= 再利用基本不等式 = = 即可得出【解答】解： ，BAC= ， ，bc
20、=4S ABC = = =1MBC ，MCA，MAB 的面积分别为 ，x，y ，化为 x+y= = = =18，当且仅当 y=2x= 时取等号故 的最小值为 18故选：B【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题11 （5 分） （2010 陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=x（x表示不大于 x 的最大整数）可以表示为（ ）Ay= By= Cy= Dy= 【分析】根据规定 10 推
21、选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9 时可以增选一名代表，也就是 x 要进一位，所以最小应该加 3进而得到解析式代入特殊值 56、57 验证即可得到答案【解答】解：根据规定 10 推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增加一名代表，即余数分别为 7，8，9 时可以增选一名代表，也就是 x 要进一位，所以最小应该加 3因此利用取整函数可表示为y= 也可以用特殊取值法若 x=56，y=5，排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A；故选：B【点评】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即
22、可得到答案对于选择题要会选择最恰当的方法12 （5 分） （2004 重庆）设 P 是 60的二面角 l 内一点，PA平面 ，PB平面 ，A，B 为垂足，PA=4，PB=2，则 AB 的长为：（ ）A B C D【分析】利用线面垂直作出二面角的平面角，然后在平面 PAB 中利用互补求出APB=120 度，最后利用余弦定理解三角形 PAB，得出 AB 的长为 【解答】解：设平面 PAB 与二面角的棱 l 交于点 Q，连接 AQ、BQ 可得直线 l平面 PAQB，所以AQB 是二面角 l 的平面角， AQB=60，故PAB 中， APB=18060=120，PA=4 ，PB=2，由余弦定理得：AB 2=PA2+PB22PAPBcos120， ，所以 ，故选 C【点评】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角平面的定义，属于中档题，在做题时应该注意利用正、余弦定理解三角形所起的作用二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷中的横线上）
