1、2015-2016 学年江西省上饶中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科） （A ）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ）1设全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2， 3，4，则 A（ UB）=（ ）A1，2，5，6 B1 C2 D1，2，3，42已知函数 f（x）= ，则 ff（2）=（ ）A B C2 D43已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ）A1 B2 C 5 D14x1” 是 x210”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要5设等比
2、数列a n的前 n 项积 Pn=a1a2a3an，若 P12=32P7，则 a10 等于（ ）A16 B8 C4 D26设 f（x）=lnx，0ab，若 p=f（ ） ，q=f（ ） ，r= （f（a）+f （b） ） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aq=rp Bp=rq Cq=rp Dp=r q7等差数列a n前 n 项和为 sn，满足 S30=S60，则下列结论中正确的是（ ）AS 45 是 Sn 中的最大值 BS 45 是 Sn 中的最小值CS 45=0 DS 90=08在数列a n中，a 1=1，a 2= ，若 等差数列，则数列a n的第 10 项为（ ）A B C D9已知 ， 均为
3、锐角，cos= ，cos （ +）= ，则角 为（ ）A B C D10设函数 f（x）=e x（sinxcosx） （0x2015）的极小值点的个数为（ ）A1007 B1008 C2015 D201611已知 x1 是方程 10x=x2 的解，x 2 是方程 lgx=x2 的解，函数 f（x）= （xx 1） （xx 2） ，则（ ）Af（0）f （ 2）f （3） Bf（2）=f（0）f（3 ） Cf（3）f（0）=f（2）Df（0）f（3）f （2）12如图，在ABC 中，ACB=90，AC=2 ，BC=1，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随
4、之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离是（ ）A3 B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置13将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y=sinx 的图象，则= 14设 P 为等边ABC 所在平面内的一点，满足 = +2 ，若 AB=1，则 的值为 15已知命题 p：不等式|x1 |m 的解集是 R，命题 q：f（x）= 在区间（0，+）上是减函数，若命题“p 或 q”为真，命题“ p 且 q”为假，则实数 m 的范围是 16已知数列a n中，a 1=1，a 2n
5、=nan，a 2n+1=an+1，则 a1+a2+a3+a100= 三、解答题：17已知在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C 的极坐标方程为 24cos+3=0（1）求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 P 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的取值范围18等差数列a n足：a 2+a4=6，a 6=S3，其中 Sn 为数列a n前 n 项和（）求数列a n通项公式；（）若 kN*，且 ak，a 3k，S 2k 成等比数
6、列，求 k 值19在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC （）求 A 的大小；（）求 sinB+sinC 的最大值20已知函数（1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）当 x0， 时，函数 y=f（x）的最小值为 ，试确定常数 a 的值21已知数列a n、b n满足：a 1= ，a n+bn=1，b n+1= （1）求证数列 是等差数列；（2）若 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Sn 22已知 f（x）=x 2ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x） （1）若 h（x）的单调减区间是（ ，1
7、） ，求实数 a 的值；（2）若 f（x）g（x）对于定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）设 h（x）有两个极值点 x1，x 2，且 x1（0， ） 若 h（x 1） h（x 2）m 恒成立，求 m 的最大值2015-2016 学年江西省上饶中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科） （A）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ）1设全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，B=2， 3，4，则 A（ UB）=（ ）A1，2，5，6 B1 C2 D1，2，3，4【考点】交、并、补
8、集的混合运算【分析】进行补集、交集的运算即可【解答】解： RB=1，5，6；A（ RB） =1，21， 5，6=1故选：B2已知函数 f（x）= ，则 ff（2）=（ ）A B C2 D4【考点】分段函数的应用【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数在即可【解答】解：函数 f（x）= ，则 f（2）= ff（2）=f（ ）= = = 故选：A3已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ）A1 B2 C 5 D1【考点】简单线性规划【分析】首先画出平面区域，z=2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域
9、如图阴影部分，当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由 得到 A（1，1） ，所以 z 的最大值为21+1= 1；故选：A4x1” 是 x210”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先将 x210 化简得 x1 或 x 1，然后根据规律 “小能推大，大不能推小“得x1 是 x21 0 的充分不必要条件【解答】解：由不等式 x21 0 解得 x1 或 x 1，则 x1 是 x210 的充分不必要条件，故选：A5设等比数列a n的前 n 项积 Pn=a1a2a3an，若 P12=32P7，则 a1
10、0 等于（ ）A16 B8 C4 D2【考点】等比数列的性质【分析】利用 P12=32P7，求出 a8a9a12=32，再利用等比数列的性质，可求 a10【解答】解：由题意，P 12=32P7，a 1a2a3a12=32a1a2a3a7，a 8a9a12=32，（a 10） 5=32，a 10=2故选：D6设 f（x）=lnx，0ab，若 p=f（ ） ，q=f（ ） ，r= （f（a）+f （b） ） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aq=rp Bp=rq Cq=rp Dp=r q【考点】不等关系与不等式【分析】由题意可得 p= （lna+lnb ） ，q=ln （ ）ln（ ）=p，r= （
11、lna+lnb） ，可得大小关系【解答】解：由题意可得若 p=f（ ）=ln（ ）= lnab= （lna+lnb） ，q=f（ ）=ln （ ）ln （ ）=p，r= （f（a）+f（b） ）= （lna+lnb ） ，p=rq，故选：B7等差数列a n前 n 项和为 sn，满足 S30=S60，则下列结论中正确的是（ ）AS 45 是 Sn 中的最大值 BS 45 是 Sn 中的最小值CS 45=0 DS 90=0【考点】等差数列的通项公式【分析】设 Sn=pn2+qn（p0） ，由 S30=S60，得 q=90p，从而得到 S90=0【解答】解：等差数列a n的公差为 d，等差数列a n
12、前 n 项和为 Sn，满足 S30=S60，若 d=0，可排除 A，B ；若 d0，可设 Sn=pn2+qn（p0） ，S 30=S60，900p+23q=3600p+60q，解得 q=90p，S 90=8100p8100p=0故选：D8在数列a n中，a 1=1，a 2= ，若 等差数列，则数列a n的第 10 项为（ ）A B C D【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知结合等差数列的定义可得等差数列的公差，代入通项公式后化简可得 an，则答案可求【解答】解：a 1=1，a 2= ，且 等差数列，则等差数列 的首项为 1，公差为 ， ，则 故选：C9已知 ， 均为锐角，cos= ，cos
13、 （ +）= ，则角 为（ ）A B C D【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式求得 cos=cos（ +）的值，可得 的值【解答】解：， 均为锐角， cos= ，cos （ +）= ，+ 为钝角，sin= = ，sin（ +）= = ，cos=cos（+ ）=cos （+）cos +sin（ +）sin = + = = ，= ，故选：A10设函数 f（x）=e x（sinxcosx） （0x2015）的极小值点的个数为（ ）A1007 B1008 C2015 D2016【考点】利用导数研究函数的极值【分析】令 f（ x）=0，即 sinx=0
14、，解得 x=k， （k Z） 根据 0x2015 ，可得0k2015，解出即可得出【解答】解：f（x）=e x（cosx+sinx ）+e x（sinx cosx）=2e xsinx令 f（x）=0，即 sinx=0，解得 x=k， （k Z） 0x2015，0k2015，0k2015，k 的取值为 2016 个因此函数 f（x）=e x（sinxcosx） （0x2015）的极小值点的个数为 2016故选：D11已知 x1 是方程 10x=x2 的解，x 2 是方程 lgx=x2 的解，函数 f（x）= （xx 1） （xx 2） ，则（ ）Af（0）f （ 2）f （3） Bf（2）=f（
15、0）f（3 ） Cf（3）f（0）=f（2）Df（0）f（3）f （2）【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【分析】设 l：y= x2，设 l 与 y=10x，y=lgx 分别相交于 A，B 两点，利用 y=10x 与 y=lgx互为反函数可得 AB 的中点在 y=x 上，从而可求得 x1+x2 的值，从而可知 f（x）=（xx 1）（xx 2）的对称轴，再利用其单调性即可得到答案【解答】解：设直线 l 的方程为： y=x2，设 l 与 y=10x， y=lgx 分别相交于 A，B 两点，y=10 x 与 y=lgx 互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称，由题意得：点 A
16、（x 1，x 12）与点 B（x 2，x 22）关于直线 y=x 对称，AB 的中点在直线 y=x 上， = ，即x 12x22=x1+x2，x 1+x2=2，f（x）= （x x1） （xx 2）=x 2（x 1+x2）x+x 1x2=x2+2x+x1x2，其对称轴方程为：x= 1，f（x）在 1，+）上单调递增，f（0）f （2）f （3） ，故选 A12如图，在ABC 中，ACB=90，AC=2 ，BC=1，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离是（ ）A3 B C D【考点】两点间距
17、离公式的应用【分析】Rt AOC 的外接圆圆心是 AC 中点，设 AC 中点为 D，根据三角形三边关系有OBOD+BD=1 + ，即 O、D、B 三点共线时 OB 取得最大值【解答】解：作 AC 的中点 D，连接 OD、BD，OBOD+BD，当 O、D、B 三点共线时 OB 取得最大值，BD= = ，OD=AD= AC=1，点 B 到原点 O 的最大距离为 1+ 故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置13将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y=sinx 的图象，则= 【考点】正弦函数的图
18、象【分析】由题意利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 f（x）=sin（ x+ ） ，从而求得 f（ ）的值【解答】解：将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得 y=sin（2 x+）的图象；再把图象向右平移 个单位长度得到 y=sin2（x ）+=sin（2x +）的图象再根据所得图象为 y=sinx， ，求得 = ，且 = ，f（x）=sin（ x+ ） ，则 =sin（ + ）=sin = 14设 P 为等边ABC 所在平面内的一点，满足 = +2 ，若 AB=1，则 的值为 3 【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量加法的几何意义和运算法则，转
19、化为 的运算【解答】解：如图，四边形 CBPD 为平行四边形 =（ ） =（ ） = + 2=211cos60+212=3，故答案为：315已知命题 p：不等式|x1 |m 的解集是 R，命题 q：f（x）= 在区间（0，+）上是减函数，若命题“p 或 q”为真，命题“ p 且 q”为假，则实数 m 的范围是 0，2） 【考点】复合命题的真假；绝对值不等式的解法【分析】分别求出命题 p，q 成立的等价条件，然后根据若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，确实实数 m 的取值范围【解答】解：不等式|x1| m 的解集是 R，m0，即 p：m0若 f（x）= 在区间（0，+）上是减函数，则
20、 2m 0，即 m2，即 q：m2若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则 p，q 一真一假若 p 真，q 假，则 此时 m 无解若 p 假，q 真，则 ，解得 0m 2综上：0m2故答案为：0m2 或0，2 ） 16已知数列a n中，a 1=1，a 2n=nan，a 2n+1=an+1，则 a1+a2+a3+a100= 1306 【考点】数列的求和【分析】由已知条件得 a1+（a 2+a3）+（a 4+a5）+（a 98+a99）=1+2+3+50=1275，a 100=50a50=29+（a 1+1）=31，由此能求出 a1+a2+a3+a100【解答】解：a 2n=nan，a
21、2n+1=an+1，a n=na2n，a n=a2n+11，a 2n+1+a2n=n+1，a 1+（a 2+a3） +（a 4+a5）+（a 98+a99）=1 +2+3+50=1275，a100=50a50=50（25 a25）=25+a12+1=26+（6 a6）=32（3a 3）=29+（a 1+1）=31，a 1+a2+a3+a100=1275+31=1306故答案为：1306三、解答题：17已知在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C 的极坐标方程
22、为 24cos+3=0（1）求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 P 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的取值范围【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】 （1）利用直角坐标与极坐标间的关系：cos =x，sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得 C 的直角坐标方程，将直线 l 的参数消去得出直线 l 的普通方程（2）求出圆心到直线的距离 d，结合圆的性质即可求得点 P 到直线 l 的距离的取值范围【解答】解：（1）由 24cos+3=0，化为直角坐标方程：x 2+y24x+3=0，即曲线 C 的方程为 x2+y
23、24x+3=0，由直线 l 的参数方程为 （t 为参数）消去 t，得直线 l 的方程是： xy+3 =0（2）曲线 C 的标准方程为 （ x2） 2+y2=1，圆心 C（2，0） ，半径为 1圆心 C 到直线 l 的距离为：d= = 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围是 1， +118等差数列a n足：a 2+a4=6，a 6=S3，其中 Sn 为数列a n前 n 项和（）求数列a n通项公式；（）若 kN*，且 ak，a 3k，S 2k 成等比数列，求 k 值【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】 （）设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则数列a n
24、通项公式可求；（）求出 S2k，结合 ak，a 3k，S 2k 成等比数列列式求 k 值【解答】解：（）设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 a2+a4=6，a 6=S3，得，解得 a n=1+1（n1）=n ；（） ，由 ak，a 3k，S 2k 成等比数列，得9k2=k（2k 2+k） ，解得 k=419在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC （）求 A 的大小；（）求 sinB+sinC 的最大值【考点】余弦定理的应用【分析】 （）根据正弦定理，设 ，把 sinA，sinB，sinC 代入2asin
25、A=（2b+c）sinB +（2c +b）sinC 求出 a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出 cosA 的值，进而求出 A 的值（）根据（）中 A 的值，可知 c=60B，化简得 sin（60+B）根据三角函数的性质，得出最大值【解答】解：（）设则 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC2asinA=（2b+c）sinB +（2c+b）sinC方程两边同乘以 2R2a 2=（2b+c） b+（2c +b）c整理得 a2=b2+c2+bc由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA故 cosA= ，A=120（）由（）得：sinB+sinC=sinB+sin（60
26、B）= cosB+ sinB=sin（60 +B）故当 B=30时，sinB +sinC 取得最大值 120已知函数（1）求函数 y=f（x）的单调递增区间；（2）当 x0， 时，函数 y=f（x）的最小值为 ，试确定常数 a 的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）=（ ）sin（x+ ） ，由 x+ 2k ，2k+ （kZ）且 ，即可解得 f（x）的单调递增区间（2）当 x0， 时，可求 x+ ， ，从而可求 f（x）最小值为，由已知得 = ，即可得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：
27、= +sinx+a2sin（x+ ）= sin（x+ ）+a 2sin（x+ ）=（ ）sin（x+ ） ，（1）由 x+ 2k ，2k+ （kZ ）得：x2k ，2k+ （k Z） ， ， ，函数 y=f（x）的单调递增区间是：2k ，2k ） ， （ 2k ，2k + （kZ） （2）当 x0， 时，x+ ， ，当 x+ = 时，函数 y=f（x）取得最小值为 ，由已知得 = ，a=121已知数列a n、b n满足：a 1= ，a n+bn=1，b n+1= （1）求证数列 是等差数列；（2）若 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Sn 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】 （
28、1）由题意可得 an=1bn，代入条件，化简变形，可得 bn+11= ，再取倒数，由等差数列的定义，即可得证；（2）运用等差数列的通项公式，求得 an= ，代入可得 cn= ，计算 c1，由cn0，即可得证【解答】证明：（1）a 1= ，a n+bn=1，可得 an=1bn，b 1= ，即有 bn+1= = = ，即 bn+11= ，则 = 1，即有数列 是首项为 =4，公差为1 的等差数列；（2）由（1）可得 =4（n 1）=3n，由于 an=1bn，可得 an= ，cn= = ，当 n=1 时，c 1= ，且 cn0，则前 n 项和 Snc 1= 22已知 f（x）=x 2ax，g（x）=
29、lnx，h（x）=f（x）+g（x） （1）若 h（x）的单调减区间是（ ，1） ，求实数 a 的值；（2）若 f（x）g（x）对于定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）设 h（x）有两个极值点 x1，x 2，且 x1（0， ） 若 h（x 1） h（x 2）m 恒成立，求 m 的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（ ，1） ，建立导数关系即可，求实数 a 的值；（2）将 f（x）g（x）对于定义域内的任意 x 恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数
30、a 的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论【解答】解：（1）由题意得 h（x）=x 2ax+lnx（x0） ，则要使 h（x）的单调减区间是 则 ，解得 a=3；另一方面当 a=3 时 ，由 h（x）0 解得 ，即 h（x）的单调减区间是 综上所述 a=3（2）由题意得 x2axlnx（x0） ， 设 ，则 ，y=x 2+lnx1 在（0，+）上是增函数，且 x=1 时，y=0当 x（0，1）时 （x） 0；当 x（1，+）时 （x） 0，（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+）内是增函数 min=（1）=1 a min=1，即 a（ ，1（3）由题意得 h（x）=x 2ax+lnx（x0） ，则方程 2x2ax+1=0（x0）有两个不相等的实根 x1，x 2，且又 ， ，且设 ，则 ，（x）在（ 1，+）内是增函数， ，即 h（x 1）h（x 2） ， ，则 m 的最大值为 2017 年 1 月 4 日
